2022年江苏专转本高等数学常微分方程例题加习题 .pdf
学习必备欢迎下载第五章常微分方程（简记ODE ）本章主要知识点可分离变量的ODE 一阶线性非齐次常微分方程及推广二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程一些特殊类方程一、可分离变量的ODE 1基本型的解法基本型：( )( )dyG x H ydx基本解法：( )( )dyG x dxHy( )( )dyG x dxH y例 5.11)0(,yedxdyyx解：dxedyexydxedyexy通解为：ceexy将1,0 yx得：1ec得1eeexy例 5.2(1)lny yyxdx解：(1)lny dyxdxy1(1)lndyxdxy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页学习必备欢迎下载得：ln |lnyyxxxC例 5.3dxyxdyyx)1 ()1 (122解：dxxxydyy2211)1(，22(1)11y dyxdxyx得：221arctanln 112yyxC例 5.4已知( )f x满足0( )(1)( )1xf t dtxfx，求( )f x。解：由0( )(1)( )1xf t dtxfx知(0)1f。方程两边对x求导得( )( )(1)( )0f xf xxfx，分离变量求得2( )(1)cfxx，将(0)1f代入得1c，21( )(1)f xx。2可转化的可分离变量的齐次方程()xyfy方法：令( )ypyp x xypxpxxdxppfdppfdxdpxp)()(。例 5.5yxyxdxdy解：xyxydxdy11令ppdxdpxpxppypxyxyp11,ppppppdxdpx121112精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页学习必备欢迎下载xdxppdpp221)1(xdxpdpp2)1 (2)1(Cxppln21ln212，将xyp代入即可。例 5.6dxyxdyx)(222解：2)(1xydxdy，令,ypypx ypxpx21dppxpdxppdxdpx21xdxppdp21221()213()()22d pdxxp1222arctanln33pxC即，221arctanln33pxC，将xyp代入即可。二、一阶线性齐次方程（ODE ）1基本型( )( )yp x yq x公式公式：( )()( )p x dxp x dxyq x eC e注：应用此公式要注意：不定积分不带C；基本型又称标准型。例 5.732xyyx解：22yyxx，其中22( ),( )p xq xxx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页学习必备欢迎下载2( )2lnp x dxdxxx( )21p x dxex，( )2p x dxex2( )2( )p x dxxq x edxdxxx由公式得，()()232( )()p x dxp x dxyq x eC exC xxCx。例 5.81)(,sinyxyxy解：xxqxpxxyxysin,1,sin1lnp x dxx，xxdxxxexqdxxpcossin)()(lncos(cos)xCxyxC ex将1, yx代入得11C，1C，xxycos1。2 Bernoulli 方程( )( )nyp x yq x y方法：令1 nyz，方程可简化为(1)( )(1)( )dzn P x zn Q xdx例 5.92xyydxdyx解：令zy1，zy1则，得dxdzzdxdy2122111zxzdxdzzxxzdxdzx1,1, 11qxpzxdxdz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页学习必备欢迎下载xdxxdxxpln1)(，xdxxdxexqdxxpln11)()(xcxecxzx)(ln)(lnln故，)(ln1cxxy例 5.1042323yyx yx解：令411333413,dydzyyzyzdxzdx，代入即得：242343213123xzxdxdzzxzxdxdzz即xdxxpxqxpln32)(,322cxdxxdxxxdxexqdxxp3734322)(73)(723327/3331()37()7zxC xyxxC三、二阶常系数线性ODE 1齐次方程0ypyqy，其中,p q为常数。求解步骤：1）特征方程02qp，求根21,。2）21,互异实根，xxececy2121，21，xxxececy2121；)0(2, 1i，12(cossin)xyecxcx。其中21,cc为任意实数。例 5.11043yyy解：,0432得=4，-1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页学习必备欢迎下载xxececy241（其中21,cc为任意实数）例 5.12440yyy解：212440,2，2212xxyc ec xe例 5.1340yy解：)1(2,042ii，12cos2sin 2ycxcx。例 5.140yyy解：210，132i，121233(cossin)22xyeCxCx。2非齐次方程cossinxmnypyqyePxxPxx其中mPx，nPx表示,m n次多项式。解结构：y齐次方程通解y特解y。特解y形式设定如下：（1）识别,m n；（2）计算i，k和特征根12,相等个数，max,lm n。（ 3）特解可设为?cossinkxllyxx eQxxQxx，其中,llQxQx为l次多项式。注：这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成。例 5.1522xyyye解： （）20yyy，2210, 2110，121,12，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页学习必备欢迎下载齐次通解1212xxyC eC e（）22cos 00 sin 0 xxeexx，1,0,0mn，1i0,max,0klm n，又设0cos 0sin 0 xxyxeAxBxAe，代入原方程得221xxxxAeAeAeeA，xye。1212xxxyC eC ee例 5.162xyyyxe解： （）21220,210,1yyy，12xxyC eC xe（）cos 00 sin 0 xxxeexxx，1,0,1,0mn，1i，2,max,1klm n可设2cos 0sin 0 xyx eAxBxCxDx232xxx eAxBAxBxe计算得：3232xyAxAB xBx e326642xyAxAB xAB xB e代入原方程得162,06AxBxAB，316xyx e，1216xxxyC eC xexe。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页学习必备欢迎下载例 5.174sin 2xyyxe解： （）240,40,2yyi，12cos2sin 2yCxCx（）4sin 2yyx的特解1y0sin 20 cos21 sin 2xxexx，0,2,0mn，2ii，max,0lm n，1k。又设01cos2sin 2cos2sin 2xyxeAxBxx AxBx12sin22cos2cos2sin2yAxBx xAxBx14sin24cos24cos24 sin2yAxBxxAxBx代入原方程得1144sin 24cos2sin 2yyAxBxx解得1,04AB1,cos 24xyx；（ 3）4xyye的特解2y可设2xyDe，代入得5xxDee，D15，215xye。综合得_12121cos2sin 2cos245xxyyyyCxCxxe。例 5.18 设0( )s i n() () ,xf xxx t f td t其中( )f x为连续函数， 求( )f x的具体表达式。解：原式两边求导得：00( )cos( )( )( )cos( ),xxfxxf t dtxf xxf xxf t dt再求导得：( )sin( )fxxfx，即( )( )sinfxf xx且(0)0,(0)1ff（1）( )( )0fxf xcossinfAxBx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页学习必备欢迎下载（ 2）设特解为(cossin),fx CxDx代入原方程得1,02CD1cos2fxx。1( )cossincos2f xffAxBxxx。由条件(0)0,(0)1ff得10,2AB，1( )(sincos ).2f xxxx四、特殊类方程（ 1）( )yf x,( )yf x等方法：直接积分例 5.192xyxe解：2xyxe积分，22211()22xxxyxedxec再积分，3212164xxyec xc（ 2）( ,)yf y y不显含x方法：令( )yp y，则dpdpdydpypdxdydxdy，则得到( ,)dppf y pdy，降为一阶方程例 5.202()0yyy解：令yp，dpypdy20dpy ppdy，()0dpp ypdy如果0p，则0dpypdy，dpdypy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页学习必备欢迎下载1lnlnlnpyC1pC y或1yC y分离积分法12C xyC e如果0p，那么yC（其包含在上述解之中）方程通解12c xyc e（其中1c,2c为任意实数） 。单元练习题5 1下列微分方程哪一个是线性的（）(A) 2()sinyyx(B) 22yyx(C) 2sincosyyxx(D) 24yy2方程424()1yyyx，它是阶微分方程。3方程0yy的通解是。4方程323xyyyxe的特解可设为。5求解下列常微分方程：10) 1(dyxxydx2(1)()0 xyyyxy3yxyxy422xyxyxe552, (0)4xyyex y621()0yyy722()(1)0,(1)2,(1)1yyyyy84sinyyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页学习必备欢迎下载9369xyyye6求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于yx2，并且曲线通过原点。7设曲线上任一点),(yxM处切线与OM直线垂直，求这个曲线的方程8 一链条挂在一个无摩擦的钉上，假定运动开始时，链条一边垂下8m， 另一边垂下10m，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？9设0( )()( )xf xxxt f t dt，( )f x为连续函数。求( )f x。10设( )f x处处可导， 且(0)1,f并对任意实数x 和 y 有()( )( ),xyf xye fye fx求( )f x. 11有连结A(0,1) ，B(1,0) 两点的一条凸曲线，它位于AB 弦的上方。P(x,y) 为该曲线上的任一点。已知该曲线弧与AP 之间的面积为3x。求该曲线方程。历年真考题1 （2001）微分方程6130yyy的通解为： 。2 （2001）求微分方程tansecyyxx，满足初始条件00 xy的特解。3 （2002）微分方程20yyy的通解是（）A. 12cossinyCxCxB. 212xxyC eC eC. 12()xyCC x eD. 12xxyC eC e4 （2002）设( )y x满足微分方程1xe yy，且(0)1y，则y。5 （2002）求sin(cos)xyx ye，满足(0)1y的解。6 （2003）0yy满足000 ,1xxyy的解是（）A. 12cossinycxcxB. sinyxC. cosyxD. cosycx7 （2003）解微分方程的通解2xxyyx e。8 （2004）微分方程232xyyyxe的特解y的形式应为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页学习必备欢迎下载A.2xAxeB. 2()xAxB eC. 22xAx eD. 2()xx AxB e9 （2004）设函数( )f x可导，且满足方程20( )1( )xtf t dtxfx，求( )f x。10 （2005）求微分方程0 xxyye满足初始条件1|xye的特解。本章测试题1微分方程0)(423yyxyx的阶数。2023yyy的通解是。3xeyyyxcos442的特解*y形如。4微分方程tandyyydxxx的通解是（）sinyCxx1sinyxCxsinxCxy1sinxyCx5323xyyye6xyysin 7 （1）22lnyyyyy（2）212yyy8设( )f x为连续函数且满足30( )( )333xtf xfdtx。求( )f x。9已知12,xxyeye是0,.ypyqyp qConst的解。（1）求 p,q （2）写出该方程的通解；并求满足条件(0)1,(0)2yy的特解。单元练习题5 答案1C 2二阶3xCxCysincos214)(3*BAxxeYx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页学习必备欢迎下载5. (1) 解：dxxydydxxxydy)111(,1Cxxy|1|ln|ln。(2)1111ydyxyxdxdydxyxyx11(1)(1)11dydxyxCxxyy|1|ln|1|ln。(3)令dxdPxPdxdyPxyxyP,1dPPxPdxP，即Cxxy|ln2122。(4) 222 ,xpx qxepdxx2)(2122xdxexedxqexxdxxP221()2xyxC e。(5)xeqPx,2xPdx2xxxxdxxPxdeedxexedxexq22)(21)()(221122xxxexeedx221124xxxexee22221111()2424xxxxxxyexeeC eexCe，将50,4xy代入，151244CC211224xxyexe（ 6）令dydppypy,012pdydpyp精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页学习必备欢迎下载211dpdyppyydyppdp2120.5ln(1)ln |pyC221121CpC yy，21121CyCyyy21Cydydxy，21ydydxCy21ydydxCy212CyxC。即2221()yxCC，12,CC为任意常数（ 7）令0)1(2,2dydppyppy0) 1(2(dydpypp若0p，即yC（不合定解条件）若0p，121dpdypy11lnln(1)2pyC21(1)pCy21(1)dyCydx，将1x，(1)2y，(1)1y代入，11C12(1)dyCy1211C xCy1211C xCy2)1 (, 1 yx代入，得20C，即11x y（ 8）解：（1）i,012精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页学习必备欢迎下载齐次方程通解xcxcysincos21，04sin(0 cos4sin)xxexx，0, 1, 0nm,1,max(, )0ii Klm n又设*0(cossin )(cossin )xyxeAxBxx AxBx(cossin)(sincos )yAxBxxAxBx( 2sin2cos )(cossin)yAxBxAxBx x代入原方程得2sin2cos4sinyyAxBxx0,2 BA得到：xxycos2*。xxxcxcycos2sincos21（ 9）解：（ 1）212690,690,3yyy齐次方程通解xxxeccey323。（ 2）33(cos 0sin 0)xxeexx0,0,3nm，3,0,2ilk可设23xyAx e23(32)xyAxAx e32323(62 )(96)(9122)xxxyAxA eAxAx eAxAxA e222369(91226(32)9)xyyyAxAxAAxAxAxe332xxAee，得到12A，33231212xxxyC eC xex e6解：yxy2且0)0(y，即xqpxyy2,1,2，xpdx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页学习必备欢迎下载2222pdxxxxxqedxxe dxxdexee，2222xxxxyxeec exce，由0)0(y得02,2cc所以222xyex7设原曲线的方程为),()(yxMMxfy则1xydxdy即x d xy d y221122yxc22xyc8设左边绳x 处在 t 时刻滑过钉子，此时，18(22 )xx g且满足定解条件(0)0 ,(0)0 xx，解得：1212133tgtgeex令8x得到3318ggttee解得：)809ln(93t。91( )()2xxf xee10令0,0 xy得 f(0)=0 00()( )( )( )(1)()(0)( )limlimxxxxxxe fxef xf xf x eefxffxxx0( )()|(0)( ),xxxxf x ee ffxe即( )( )xfxf xe，解得( )xf xxe。11设曲线方程为( )yf x，则梯形OAPQ 的面积(1( )2xSf x，依题意得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页学习必备欢迎下载30( )(1( )2xxf x dxf xx，两边对x 求导得116,|0 xyyxyxx，解得2156yxx。本章测试答案1. 一阶2. 212xxC eC e3. xBxAeyxsincos*24.A 5.032yyy0322，3，1，312xxyc ec e设3xyAxe，333(3)(13 )xxxyA exeAx e333(13 )3xxyAeAxexexA3)96(333323(69 )2(13 )34xxxxyyyAx eAxAxeAee41A，3314xxexe原方程解为xxxxeececy3231416 （1）0yy12cossinycxcx（2）设(cossin)yx AxBx，cossin(sincos )yAxBxxAxbx2sin2cos(cossin)yAxBxxAxBx代入得xxBxAsincos2sin2，21A，0B1cos2yxx，xxxcxcYcos21sincos217 (1)yyyyyln22yyyln)(yyln)(ln令yuln则uu，xxececu21，xxececey21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页学习必备欢迎下载（ 2）令uy，udydudxduyyudyduu212dyyduuu2112。积分得cyuln21)1ln(212，211uc y，11yc y，积分11dydxc y，12121c yxcc2122141()c yxcc或221124(1)()c ycxc，其中21,cc为任何实数。8求导得：( )3 ( )3,(0)3fxfxf，解得3( )21xfxe。9特征根121,1，则特征方程为(1)(1)0，方程为0,yy故有0,1pq。通解12xxyc ec e；特解1322xxyee。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页
