2022年《用向量法求异面直线所成的角》教案 .pdf
学习必备欢迎下载第一讲：立体几何中的向量方法利用空间向量求异面直线所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。高中新教材中， 向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。教学目标1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法；2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点求解异面直线所成的角的向量法. 教学难点求解异面直线所成的角的向量法. 教学过程名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载、复习回顾一、回顾有关知识：1、两异直线所成的角： （范围：2,0(）（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与 b 的平行线a与 b，那么直线 a与b所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与 b 所成的角 . （2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b 的方向向量分别为a和b，问题 1： 当a与b的夹角不大于90时，异面直线 a、 b 所成的角与a和b的夹角的关系？问题2：a与b的夹角大于90 时，异面直线a、b 所成的角与a和b的夹角的关系？两向量数量积的定义：bababa,cos|ObaObaba,ba,a b O 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载两向量夹角公式：|,cosbababa结论：异面直线a、 b 所成的角的余弦值为|,cos|cosbababa2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形）、典例分析与练习思考： 在正方体1111DCBAABCD中，若1E与1F分别为11BA、11DC的四等分点，求异面直线1DF与1BE的夹角余弦值？（1）方法总结：几何法；向量法（2）11,cosBEDF与BEDF11,cos相等吗？（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？例 1 如图，正三棱柱111CBAABC的底面边长为a,侧棱长为a2，求1AC和1CB所成的角 . 分析： 建立空间直角坐标系，转化为向量与向量的夹角问题。步骤： 1.写出异面直线的方向向量的坐标。AxDCB1Azy1D1C1B1E1Fx y Z AyxCB1AD1B1C名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系xyzA，则)2,0(),0 ,21,23(),2,21,23(),0 ,0 ,0(11aaBaaCaaaCA)2,21,23(1aaaAC，)2,21,23(1aaaCB即21323|,cos22111111aaCBACCBACCBAC1AC和1CB所成的角为3总结 : （1）11,cosBEDF与BEDF11,cos相等吗？（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？点拨求异面直线所成的角可利用空间向量表示直线的方向向量，转化为向量所成的角。两异面直线所成角的范围是0,2，两向量的夹角的范围是0,。当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角。练习 1：在Rt AOB中，AOB=90，现将AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。解：以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，并设1OA, 则 A(1,0,0) ，B(0,1,0) ，F1(21,0,1) ，D1(21, 21,1) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载) 1 ,0 ,21(1AF)1 ,21,21(,1BD103023451041|,cos111111BDAFBDAFBDAF所以，异面直线BD?与 AF?所成的角的余弦值为1030 . 练习 2： 在正方体ABCDA?B?C?D?中，M是AB的中点，求对角线DB?与CM所成角的余弦值.解：建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0， 0，0)，C(0， 1，0)，B1(1，1，1)，M1，12，0 . DB1(1，1，1)，CM 1，12，0 ， cosDB1，CMDB1CM|DB1|CM|123521515. 异面直线DB1与CM所成角的余弦值为1515. 、小结与收获1、异面直线所成的角的余弦值：|,cos|cosbababa；2、用空间向量解决立体几何问题的一般步骤. 、课后练习1、如图，在棱长为的正方体1111ABCDA B C D中， E、F 分别是棱1111,A DA B的中点名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载求异面直线1DEFC与所成的角 . 2、如图 , 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC 3，BC4，AA14，点D是AB的中点 . 求异面直线1AC与CB1所成角的余弦值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -
