2022年步步高高考复习函数的奇偶性与周期性 .pdf
学习必备欢迎下载步步高高考复习函数的奇偶性与周期性一、选择题1. 已知定义在R 上的奇函数( )f x满足(4)( )f xf x, 且在区间0,2上是增函数, 则( ) A.( 25)(11)(80)fff B. (80)(11)( 25)fffC. (11)(80)( 25)fff D. ( 25)(80)(11)fff域为 R,所以(0)0f, 且函数的图象关于2x对称, 因为函数( )f x在区间0,2上 是 增 函 数 , 所 以 在0,2上 的 函 数 值 非 负 , 故(1)0f, 所 以(2 5 )( 2 5 )(fff, (80)(0)0ff,(11)(3)0ff, 所以( 25)(80)(11)fff, 故选 D. 答案 D 2已知定义在 R上的奇函数， f (x) 满足 f ( x2)f ( x)，则 f (6) 的值为( )A1 B0 C1 D2 解析( 构造法 ) 构造函数 f (x) sin 2x，则有 f ( x2)sin2xsin 2xf ( x)， 所以 f (x) sin 2x 是一个满足条件的函数， 所以 f (6) sin 30，故选 B. 答案B 【点评】根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法. 3. 下列函数中，既是偶函数，且在区间,0内是单调递增的函数是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载A21xy Bxycos Cxyln Dxy2答案D 4若函数 f ( x) xxxa为奇函数，则 a( ) A.12 B.23 C.34 D1 解析( 特例法 ) f ( x)xxxa是奇函数，f ( 1) f (1) ，121a1a，a13(1a)，解得 a12. 答案A 【点评】本题采用特例法，可简化运算，当然也可用奇函数的定义进行解题，不过过程较为繁琐，若运算能力较弱容易出错. 5函数 f ( x) 的定义域为 R ，若 f ( x1)与 f ( x1)都是奇函数，则 ( )Af ( x) 是偶函数 Bf ( x)是奇函数Cf ( x) f ( x2) Df ( x3)是奇函数解析由已知条件对 xR都有 f ( x1)f ( x1)，f ( x1)f (x1)因此 f ( x3) f (x2) 1 f ( x2)1 f ( x1)f ( x1)f ( x21) f ( ( x2) 1) f ( x2) 1) f (x3) ，因此函数f ( x3)是奇函数答案D 6. 已知 f ( x)是定义在 R 上的偶函数，并满足f ( x2)1fx，当 1x2时，f (x) x2，则 f (6.5) ( ) A4.5 B4.5 C0.5 D0.5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载解析f ( x2) 1fx， f ( x4) f ( x2) 2 1fxf ( x) ，f ( x)周期为 4，f (6.5) f (6.5 8)f ( 1.5) f (1.5) 1.5 20.5. 答案D 【点评】本题采用直接法，所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、定义、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理与计算来得出题目的结论，然后再对照题目所给的四个选项来“对号入座”. 其基本策略是由因导果，直接求解 . 7. 已知 f ( x)是 R上最小正周期为 2 的周期函数， 且当 0 x2 时，f (x) x3x，则函数 yf ( x) 的图象在区间 0,6 上与 x 轴的交点的个数为 ( ) A6 B7 C8 D9 解析当 0 x2 时，令 f (x) x3x0，得 x0 或 x1 或 x 1(舍去)，又 f (x) 的最小正周期为 2，f (0) f (2) f (4) f (6) 0，f (1) f (3) f (5)0，yf ( x)的图象在区间 0,6 上与 x 轴的交点个数为 7. 答案B 二、填空题8. 已知函数 f (x) 满足： f (1) 14，4f ( x) f ( y)f ( xy)f ( xy)( x，yR)，则f (2 013) _. 解析法一当x1，y0 时，f(0) 12；当x1，y1 时，f(2) 14；当x2，y1 时，f (3) 12；当 x2，y2 时，f (4) 14；当 x3，y2 时，f (5) 14；当 x3，y3 时，f (6) 12；当 x4，y3 时，f (7) 14；当 x4，y4 时，f (8) 14；.f ( x)是以 6 为周期的函数，f(2 013) f(33356)f(3) 12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载法二f (1) 14，4f (x)f (y) f (xy) f (xy)，构造符合题意的函数f ( x)12cos 3x，f (2 013) 12cos32 013 12. 答案129. 若函数f ( x) aex1aex( a 为常数 ) 在定义域上为奇函数，则实数a 的值为_解析f (x) aex1aexaex1exaf (x) f (x) aexaexaexaexaexexaa2e2xa2e2x1aexexa0 恒成立，所以a1 或1. 答案 1 或1 10 若 f (x) 是 R上周期为 5 的奇函数，且满足 f (1) 1， f (2) 2， 则 f (3) f (4)_. 解析f ( x5)f ( x) 且 f ( x) f ( x) ，f (3) f (3 5)f ( 2)f (2) 2， f (4) f ( 1) f (1) 1， 故 f (3)f (4) (2)( 1)1. 答案1 11设奇函数 f ( x) 的定义域为 5,5 ，当 x0,5 时，函数 yf ( x)的图象如图所示，则使函数值y0 的 x 的取值集合为 _解析由原函数是奇函数， 所以 yf ( x)在 5,5 上的图象关于坐标原点对称，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载由yf(x) 在0,5 上的图象，得它在 5,0 上的图象，如图所示由图象知，使函数值 y0 的 x 的取值集合为 ( 2,0) (2,5) 答案( 2,0) (2,5) 12. 对于函数( )lg21f xx，有如下三个命题：(2)f x是偶函数；( )f x在区间,2 上是减函数，在区间2,上是增函数；(2)( )f xf x在区间2,上是增函数其中正确命题的序号是（将你认为正确的命题序号都填上）解析 函数( )f x和(2)f x的图像如图所示， 由图像可知正确；函数2(2)( )lglg2lglg 122xf xf xxxxx，由复合函数的单调性法则， 可知函数(2)( )f xf x在区间 2,上是减函数。所以错。答案 三、解答题13. f (x) 是定义在 R 上的奇函数且满足f ( x2)f ( x) ，当 x(0,1) 时，f (x)2x1，求 f (log 12 6) 的值解析 log 12 6 log260，且 f (x) 为奇函数，f (log 12 6) f (log26)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载又f(x2) f(x)，f (log26) f (log262) f (log232) ，而 log232(0,1) f (log232) 2log232132112. f (log 12 6) 12. 14已知函数 f ( x)对任意 x，yR，都有 f ( xy) f ( x) f ( y) ，且 x0 时，f ( x) 0，f (1) 2. (1) 求证 f ( x) 是奇函数；(2) 求 f (x) 在 3,3 上的最大值和最小值解析 (1) 证明令 xy0，知 f (0) 0；再令 yx，则 f (0) f (x)f ( x) 0，所以 f (x) 为奇函数(2) 任取x1x2，则x2x10，所以f(x2x1) fx2(x1) f(x2) f( x1)f ( x2) f (x1) 0， 所以 f ( x) 为减函数而 f (3) f (2 1)f (2) f (1) 3f (1)6，f (3)f (3) 6. 所以 f ( x)maxf ( 3)6，f ( x)minf (3) 6. 15已知函数 f ( x) x2ax( x0，常数 aR) (1) 讨论函数 f ( x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数 f ( x) 在 x2 ，)上为增函数，求实数a 的取值范围解析(1) 函数 f (x) 的定义域为 x| x0，当 a0 时，f ( x)x2，(x0)显然为偶函数；当a0时，f (1) 1a，f ( 1) 1a，因此 f (1) f (1)，且 f (1) f (1) ，所以函数 f (x)x2ax既不是奇函数，也不是偶函数(2) f (x)2xax22x3ax2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载当a0，f(x) 0，则f(x)在(2，)上是增函数，当 a0 时，由 f (x) 2x3ax20，解得 x3a2，由 f (x) 在2 ，)上是增函数，可知3a22. 解得 0a16综上可知实数 a 的取值范围是 ( ， 16 16. 已知函数 f ( x)x28x，g(x) 6ln xm . (1) 求 f (x) 在区间 t ，t 1 上的最大值 h( t ) ；(2) 是否存在实数 m ，使得 yf (x) 的图象与 yg( x) 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由解析(1) f (x) x28x( x4)216，当 t 14，即 t 4时，f (x) 在 t ，t 1 上单调递减，h( t ) f ( t ) t28t . 综上， h( t ) t26t 7，t 4. (2) 函数 yf (x) 的图象与 yg( x) 的图象有且只有三个不同的交点， 即函数 ( x)g( x)f ( x)的图象与 x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点( x) x28x6ln xm ，(x)2x86x2x28x6xxxx( x0)当 x(0,1) 时，(x)0，( x)是增函数；当 x(1,3) 时，(x)0，(x) 是增函数；当 x1 或 x3 时，(x) 0. ( x)极大值(1) m 7，(x)极小值(3) m 6ln3 15. 当 x 充分接近 0 时，(x)0. 要使 ( x) 的图象与 x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需x极大值m 70 x极小值m 6ln3 150，即 7m 156ln3. 所以存在实数 m ，使得函数 yf ( x)与 yg(x) 的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为 (7,15 6ln3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
