2022年一元二次方程的判别式和根系关系 .pdf
学习必备欢迎下载25（补充内容）一元二次方程的根的判别式一、新知识引入1.请你简述用公式法解一元二次方程的一般步骤；2.方程20(0)axbxca什么时候有解？什么时候无解二、知识目标要点1.一元二次方程的根的判别式任何一个一元二次方程都可以化为一般形式：20(0)axbxca，通过配方可得2224()24bbacxaa因为0a，所以240a，于是：（1）当240bac时，有2142bbacxa，2242bbacxa，且21xx（2）当240bac时，有122bxxa（3）当240bac时，方程无实根由此可见，方程20(0)axbxca的根的情况可由24bac的符号来判定，我们把24bac叫一元次方程20(0)axbxca的根的判别式，记作“”2.一元二次方程20(0)axbxca的根的情况：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）0方程有两个相等的实数根；（3）0方程无实数根三、典型例题例 1 不解方程，判别下列方程的根的情况（1）22340 xx；（2）216924yy；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（3）25(1)70 xx例 2 已知关于x的方程222(41)210 xkxk，当 k 取什么值时：（1）方程有两个不相等的实根？（2）方程有两个相等的实根？（3）方程没有实根？例 3 求证：无论 k 取何值时， 关于 x 的方程222(1)240kxkxk没有实数根四、课堂训练1.不解方程，判别下列方程的根的情况（1）23420 xx；（ 2）23220 xx； （3）252 5tt2.已知关于x 的方程22(21)(2)0 xmxm，m 取什么值时，（1）方程有两个不等实根？（2）方程有两个相等实根？（3）方程无实根？课后训练A级名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1.如果关于x 的方程222(41)210 xkxk有两个不相等的实根，那么k 的取值范围是2.关于 x 的一元二次方程2210mxx有两个相等的实根，则m3.如 果m 为 任 意 实 数 ， 那 么 一 元 二 次 方 程2213022xmxmm的 解 的 情 况是4. 若 方 程23410 xxk无 实 根 ， 求k的 取 值 范 围 ， 并 化 简 代 数 式22112393kkk5.求证，关于x 的方程2(21)10 xkxk，有两个不相等的实数根B级6. 若 方 程222340 xxa有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则221 68aaa7.如果 a,b,c 是有理数，那么一元一次方程20axbxc有有理根的条件是8.若方程22 (4)60 x kxx没有实数根求k 的最小整数值9.已知 a,b,c 是 ABC的三边长，且方程22(1)2(1)0axbxcx两根相等，试判断ABC的形状10.求证，不论k 取何值，方程2(2)()xxkk都有不相等的实数根名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载26（补充内容）一元二次方程的根与系数的关系（1）一、新知识引入1已知一元二次方程20axbxc（a0） ，当0时，它的两个根12,x x可由系数 a,b,c 怎样表出？2两根之和12xx，两根之积12xx，与系数a,b,c 又有怎样的关系呢？二、知识目标要点1.一元二次方程的根系关系如 果 一 元 二 次 方 程02cbxax（0a） 的0， 那 么 它 的 两 根 为2142bbacxa，2242bbacxa于是221244222bbacbbacbbxxaaa2221222()(4)444bbacaccx xaaa可见：如果02cbxax（0a） 的两根是12,x x， 那么12bxxa，12cxxa，这个结论叫一元二次方程的根系关系，也称韦达定理三、典型例题例 1 已知方程2560 xkx的一个根是2，求它的另一根及k 的值（可由韦达定理或根的定义来解）例 2 设12,x x是方程22310 xx的两根，不解方程，求下列各的值（1）122221x xx x（2）2221xx（3）1211xx例 3 已知关于x 的方程22(21)20 xkxk的两个实数根的平方和比两根之积名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载的 3 倍少 10，求 k 的值四、课堂训练1.下列方程的两根的和与两根的积各是多少？（1）2310 xx；（2）2322xx；（3）2230 xx；（4）231x2.已知方程23190 xxm的一根是1， 则另一根为， m 的值为课后训练A级1.已 知 一 元 二 次 方 程20 xpxq的 两 根 分 别 是 -2 和12， 则 p= ，q= 2.如果方程2(1)30 xkx的一根是1，那么k 的值是，另一个根是3.若1,2x x是方程22310 xx的两个根，则2212xx4.已知1,2x x是方程22430 xx的两极，不解方程求下列各式的值（1）12(1)(1)xx；（2）2112xxxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5.已知1,2x x是方程22(2)0 xkxk的两个实数根，且22121214x xx x，求 k 的值B级6.若 0 和 -3 是方程20 xpxq的两个根，则p+q7.如果方程20(0)axbxca有实数根，且a+b 0，那么此方程的两根之间的关系是8.已知方程21104xxk的一个根比另一个根大54，求 k 的值9.已知方程2380 xxm的两根之比为3：1，求 m 的值10.设1,2x x是方程2(1)20 xkx的两根，且1211xx2，求 k 的值26（补充内容）一元二次方程的根与系数的关系（2）一、新知识引入你能迅速地构造一个一元二次方程，使它的两根为3 和 5 吗？二、知识目标要点名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1.韦达定理的推论1 如果方程20 xpxq的两根是1,2x x那么12xxp，12x xq（推论 1 是韦达定理的特例） 2.韦达定理的推论2 设1,2x x是方程02qpxx的两根则1212,xxp x xq12()pxx，12qx x所以方程20 xpxq就是21212()0 xxx xx x于是可得韦达定理的推论2：以两个数x1,x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0 xxx xx x三、典型例题例 1 （1）求一个一元二次方程，使它的两个根是113,232（2）已知方程2320 xx,不解这个方程求作一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程各根的2 倍例 2 已知两个数的和为8，积为 9，求这两个数 （分析：根据根系关系可知，这两个数是方程2890 xx的两根）例 3 已知关于 x的方程2(1)20 xkxk的两个实数根的平方和等于6， 求 k 的值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载四、课堂训练1.求一个一元二次方程，使它的两个根分别为（1） 4，7 （2）13,132.已知两个数的和为-6，积为 2，求这两个数课后训练A级1.若一元二次方程的两个根是35和35，则此方程是2.已知两数的和等于2 5，两数的积是1，则这两个数是3.当 k= 时，方程21104xxk的一个根比另一个根大544.若方程290 xmx有两个相等的正根，那么m5.若一元二次方程220 xxa的两根同号，试化简2221aaaB级6.以方程25430 xx的各根倒数为两根的方程是7.已知,是方程2250 xx的两个实数根，则228.如果关于x 的方程20 xxm有两个不相等的实数根，且两根之差的平方小于1， 求 m的范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载9.利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程01322xx的各根的平方10.已知关于 x 的一元二次方程2(21)30mxmxm（1）如果方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）如果方程的一个根2，另一个根为，求(2)(2)的值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -
