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同济大学微积分第三版课件第同济大学微积分第三版课件第二章第四节二章第四节本节要点本节要点 本节引入高阶导数的概念及计算方法本节引入高阶导数的概念及计算方法, 并给出高阶导并给出高阶导数的莱布尼兹公式数的莱布尼兹公式.例例5 求求ln 1yx的的 阶导数阶导数.n解解 1,1yx 一般一般, 若若 则则ln,yabx 111 !.nnnnnbyabx 111 !,.1nnnnyx21,1yx 31 2,1yx 例例6 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数sin01yxy解解 方程两边对方程两边对 求导求导, 得得x1cos.yy y 因因 , 所以所以 即有即有11cos0,y1.1cosyy y 的二阶导数的二阶导数.上式两边继续求导上式两边继续求导, 得得23sinsin.1cos1cosyyyyyy 例例7 求由方程求由方程 确定的隐函数确定的隐函数 y57230yyxx解解 方程两边对方程两边对 求导求导, 得得x整理后有整理后有00,xy46521210,y yyx 641210,25xyy 0 x 在在 的二阶导数的二阶导数.因因即有即有 10.2y对对式继续求导式继续求导, 得得234520521260,yyy yyx将将 代入代入得得, 10,0,2xyy 00.y 上节我们建立了由参数方程所确定的函数的导数上节我们建立了由参数方程所确定的函数的导数, 在在 设函数设函数 和和 为二阶可导函数为二阶可导函数, 且且 xt yt 232d.dttttyxt 但更多的情况下但更多的情况下, 我们宁可采取直接求导的方法来求我们宁可采取直接求导的方法来求二阶可导的条件下二阶可导的条件下, 我们建立相应的的二阶导数公式我们建立相应的的二阶导数公式.出高阶导数出高阶导数, 而不是死记这个烦琐的公式而不是死记这个烦琐的公式. 0,t则由方程所确定的函数的二阶导数为则由方程所确定的函数的二阶导数为例例8 计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程sin1 cosxa ttyat所确定的函数的二阶导数所确定的函数的二阶导数.解解 1 cosdsincot,d1 cos2sinatyattxata tt22cotd2dsintyxa tt2 ,.tkkZ221csc12 2,1 cos1 costatat 阶导数的莱布尼茨公式阶导数的莱布尼茨公式: 设设 n( ),( )uu x vv x 1212nnnnn nuvuvnuvuv若记若记 则有则有: 0,uu 0.nnn kkknkuvC uvxn在在 处有处有 阶导数阶导数, 则则: 121.!n kknn nnnkuvuvk例例9 已知已知22e ,xyx解解 设设 22e ,xuvx 22 e0,1,2,20 ,kkxuk代入莱布尼茨公式代入莱布尼茨公式, 得得20202219218220 192 e20 2 e22 e22!xxxyxx 2 ,2,03,4,20 ,kvx vvk20222 e2095 .xxx求求20.y则则20 结束语结束语