最新同级高数第6章课件第1节精品课件.ppt
计算电场力计算电场力 F 对它所作的功对它所作的功 2rqkF 例例1 把一个带把一个带 +q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 r 轴上坐标轴上坐标原点处，原点处，它产生一个电场它产生一个电场这个电场对周围的这个电场对周围的电荷有作用力电荷有作用力若一个单位正电荷放在这个电场若一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为中距离原点为 r 的地方，的地方， 那么电场对它的作用力那么电场对它的作用力的大小为的大小为（k是常数），是常数），当这个单位当这个单位正电荷在电场中从正电荷在电场中从r = a 处处沿沿 r 轴移动到轴移动到 r = b处时，处时，dxxRxdP222 dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 小矩形片的压力元素为小矩形片的压力元素为 端面上所受的压力端面上所受的压力 解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积元素面积元素,)(2dxxa dxxaaxdP)(2)2( dxxaaxPa)(2(20 .373a 求薄板所受的侧压力求薄板所受的侧压力 例例5 将直角边各为将直角边各为a及及2a的直角三角形薄板垂的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直地浸人水中，斜边朝下， 直角边的边长与水面直角边的边长与水面平行，平行， 且该边到水面的距离恰等于该边的边长，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，质点质点M， 引力的方向沿着两质点的连线方向引力的方向沿着两质点的连线方向21, mm, 221rmmkF 质量分别为质量分别为相距为相距为 r 的两个质点间的两个质点间的引力的大小为的引力的大小为其中其中k为引力系数，为引力系数，例例6 有一长度为有一长度为l、线密度为线密度为 的均匀细棒，的均匀细棒，在其中垂线上距棒在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的的计算该棒对质点计算该棒对质点 M 的引力的引力2l2l xyoMa解解,2,2lly 小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力,22yadxmkdF ,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm . 0 yF取取y为积分变量为积分变量取任一小区间取任一小区间 y , y+dy (1) 平面图形的面积平面图形的面积 badxxfA)( badxxfxfA)()(12直角坐标情形直角坐标情形Axyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy Aab基本方法：基本方法：元素法元素法如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有连续导数，具有连续导数，)(ty 连续连续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cd badxxAV)(平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积xoxdxx ab)(xA(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为)(xfy xoyab dyxdxx 其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22 )()(tytx )( tB曲线弧为曲线弧为弧长弧长 drrs )()(22C曲线弧为曲线弧为)( )( rr (4) 变力所作的功变力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(5) 水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(为为比比重重 (7) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧(6) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(为引力系数为引力系数G(8) 细棒的质量细棒的质量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (9) 转动惯量转动惯量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(为线密度为线密度x 二、典型例题二、典型例题例例1 1.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体积及表面积体体它绕轴旋转而成的旋转它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求星形线星形线已知已知 ataytaxa aoyx解解.10A设面积为设面积为由对称性由对称性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设弧长为设弧长为由对称性由对称性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a .,30VS 体积为体积为设旋转体的表面积为设旋转体的表面积为由对称性由对称性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 例例2 2?,)2(;)0()1( .至至少少需需作作功功多多少少若若再再将将满满池池水水全全部部抽抽出出面面上上升升的的速速度度时时水水求求在在池池中中水水深深内内注注水水的的半半球球形形水水池池的的流流量量往往半半径径为为以以每每秒秒RhhRa oxyRh解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx 半半圆圆的的方方程程为为于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 时时水水池池内内水水的的体体积积为为为为的的球球缺缺的的体体积积即即水水深深故故半半球球内内高高为为的的立立体体轴轴旋旋转转而而成成圆圆绕绕因因已已知知半半球球可可看看作作此此半半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th时时已已注注水水的的时时间间为为又又设设水水深深,)(athV 则则有有atdyyRyh 02)2(即即得得求求导导两两边边对对,t,)2(2adtdhhRh 故所求速度为故所求速度为.)2(2hRhadtdh .)2(所所需需的的功功水水全全部部提提升升到到池池沿沿高高度度需需的的最最小小功功即即将将池池内内将将满满池池的的水水全全部部抽抽出出所所的的功功约约为为所所需需降降到到抽抽水水时时使使水水位位从从dyyRyy )0()1(),(2水水的的比比重重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即即功功元元素素故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R 例例3 3.,4,20,3050,的的静静压压力力求求闸闸门门一一侧侧所所受受的的水水米米顶顶部部高高出出水水面面如如果果闸闸门门米米高高为为米米米米和和分分别别为为梯梯形形的的上上下下底底如如图图所所示示一一等等腰腰梯梯形形闸闸门门解解xyo164 xdxx AB如图建立坐标系如图建立坐标系,的的方方程程为为则则梯梯形形的的腰腰 AB.2321 xy此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为 160)2321(2dxxgxP 16023)233(xxg )25623409631( g g 67.4522 ).(1043. 47牛牛 练习：若练习：若1（kg）的力能使弹簧伸长）的力能使弹簧伸长1(cm),现在要使弹簧伸长现在要使弹簧伸长10(cm),问需要做多少功？问需要做多少功？解：解：F(x)=kxkxdxdxxFdw )(dxkxW 10010022xk k50 1)1( kF1 k50 W（千克厘米）（千克厘米）32 结束语结束语
