2022年一元二次方程知识点 2.pdf

读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思一元二次方程知识点归纳1. 一元二次方程 ：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程有四个特点：(1) 含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2；(3) 是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0 时，应满足（ a0）3. （重点）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理， ?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0） 。一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中 ax2是二次项， a是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项。练习：知识点 1.只含有一个未知数， 并且含有未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程。1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“”，不是的打“”，并说明理由. (1)2x2-x-3=0. (2)4y-y2=0. (3) t2=0. (4) x3-x2=1. (5) x2-2y-1=0. (6) 21x-3=0. (7)xx32 =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2. (9)3x2-x4+6=0. (10)3x2=4x-3. 1、若关于 x的方程 a(x1)2=2x22 是一元二次方程，则a 的值是（）（A）2 （B）2 （C ）0 （D ）不等于 2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2、 已知关于x的方程03122pxnxm， 当时， 方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a。3、已知关于x的方程2220mmxxm：（1） m 为何值时方程为一元一次方程；（2） m 为何值时方程为一元二次方程。知识点二 .一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：200axbxca，其中2ax是二次项，a叫二次项系数； bx是一次项， b 叫一次项系数，c是常数项。特别警示：（1） “0a”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、 一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。例题：1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 2(2)5102.20 xx2(3)2150 x2(4)30 xx(5)3)2(2x2、 关于x的方 程06232xx中a是； b 是；c是。知识点三 .一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。例题：1、已知方程2390 xxm的一个根是 1，则 m 的值是。2、设a是一元二次方程052xx的较大根， b 是0232xx较小根，那么ba的值是（）（A）-4 （B）-3 （C）1 （D）2 3、已知关于x的一元二次方程220 xkx的一个解与方程131xx的解相同。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（1） 求 k 的值；（2） 求方程220 xkx的另一个解。4. （重点）一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax是 b 的平方根，当0b时，bax，bax，当 b0，m3，n213. 四、忽视两未知数的值中有一个是增根的情况题目 4 a为何值时，方程)1(411xxaxxxxx只有一个实数根 . 错解：原方程化为0)1(222axx. 此方程有两个相等的实数根时，分式方程只有一个实根，0)1 (24)2(2a，21a. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思错因：当方程0)1 (222axx的两实根中有一个是原方程的增根，另一根是原方程的根时，命题也成立. 正解：把x0 代入0)1(222axx，得al；把x1 代入0)1 (222axx，得a5. 当1a21，2a1，3a5 时，原分式方程只有一个实数根. 五、讨论不定次数的方程的解时，只考虑是二次方程时的情况，忽视是一次方程时的情况 . 题目 5 已知关于x的方程02) 1(2kkxxk有实根，求k的取值范围 . 错解：当2k10(2k)4k(k1)0，即22k14k4k4k0，时，方程有实根，k0 且k1 时，方程有实根 . 错因：只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况.本题并没有说明方程有“二次”和“两根”的条件，允许它是一次方程. 正解：当k1O，即k1 时，方程化为012x，1x2-. 当k0 时，方程有实根 . 六、不理解一元二次方程的定义题目 6 方程(m1)xm212mx30 是关于 x 的一元二次方程，求m 的值. 错解：由题意可得m212，m1错因：一元二次方程满足的条件是：只含有一个未知数； 未知数的最高次数为 2；整式方程方程经整理可转化为一般形式：ax2bxc0(a0)本题在解题过程中忽略了一元二次方程系数不为零的条件正解： 由题意可得， m212，且 m10，m1 且 m1，m 的值是1名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思七、二次三项式的配方与一元二次方程的配方的知识混淆题目 7 用配方法求 2x212x14的最小值错解： 2x212x14x26x92(x3)22当 x3 时，原多项式的最小值是2错因：一元二次方程配方时，二次项系数化为1，方程两边同时除以二次项系数，而二次三项式的配方不能除以二次项系数，而应提取二次项系数 要注意等式与代数式变形的区别正解： 2x212x142(x26x7)2(x26x92)2(x3)24当 x3 时，原多项式的最小值是-4. 八、解方程中错误使用等式的性质题目 8 解方程 x26x错解：x26x，解这个方程，得 x6错因：本题想利用等式的性质进行求解，但方程两边不能同除以值为零的代数式正解： x26x，x26x0，x(x6)0，x10，x26中考考点解读：根与系数的关系1已知关于x的方程062mxx的一个根为2，则_m，另一个根是。2若 x1，x2是 一 元 二 次 方 程 x2+4x+3=0的 两 个 根 ，则 x1x2的 值 是A.4. B.3. C.-4. D.-3. 3孔明同学在解一元二次方程230 xxc时，正确解得11x，22x，则c的值为4已知 x=1 是方程 x2+bx2=0 的一个根，则方程的另一个根是( ). A .1 B.2 C.2 D.1 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思5 已 知a、 b 是 一 元 二 次 方 程2210 xx的 两 个 实 数 根 ， 则 代 数 式2ababab的值等于6已知关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的一个根是 -a（a0） ，则 a-b 值为A.-1 B.0 C.1 D.2 7方程 x2-2x-1=0 的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1 ） （x1-1）=_。8关于 x 的一元二次方程2(1)10axxa的一个根为 0，则实数 a 的值为A 1B0 C 1 D 1或 1 9阅读材料：如果21xx 、是一元二次方程)0(02acbxax的两根，那么，abxx21，acxx21。这就是著名的韦达定理。现在我们利用韦达定理解决问题：已知nm与是方程03622xx的两根（1）填空：nm，nm；（2）计算nm11的值。10 设一元二次方程(1)(2)(0)xxm m的两根分别为,， 且， 则,满足（）A. 12 B.12C. 12 D. 1且2解 方 程 ：11 一元二次方程 x( x2) 2x 的根是（）A1 B2 C1 和 2 D1 和 2 12 一 元 二 次 方 程x2 4=0的 解 是； 方 程0 x2x2的 解 为_ 。13已知 1 是关于x的一元二次方程2(1)10mxx的一个根，则m的值是（）A、1 B、1 C、0 D、无法确定名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思14 （ 1） x2+3x+1=0. （ 2） x24x1=0 列方程 : 15某品牌服装原价 173 元，连续两次降价00 x后售价价为 127 元，下面所列方程中正确的是（）A200173 1127xB00173 1 2127xC200173 1127xD200127 1173x16 某城市居民最低生活保障在20XX 年是 240元， 经过连续两年的增加， 到 20XX年提高到 345.6 元， 则该城市两年最低生活保障的平均年增长率是. 17为落实国务院房地产调控政策，使“ 居者有其屋 ” ，某市加快了廉租房的建设力度 20XX 年市政府共投资 2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到 20XX年底三年共累计投资9.5 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同(1)求每年市政府投资的增长率；(2)若这两年内的建设成本不变，求到20XX 年底共建设了多少万平方米廉租房根的判别式18若方程290 xkx有两个相等的实数根，则k= _19已知关于x的一元二次方程20(0)mxnxkm有两个实数根，则下列关于判别式24nmk的判断正确的是 (A) 240nmk (B)240nmk (C)240nmk (D)240nmk20关于 x 的一元二次方程 x2（m2）xm1=0有两个相等的实数根， 则 m名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思的值是A0 B8 C422D 0 或 8 21如果关于 x 的方程220 xxm（m 为常数）有两个相等实数根，那么m_22.一元二次方程根的情况是(2)0 x x（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -