2022年正弦函数余弦函数的性质 .pdf

精品资料欢迎下载正弦函数余弦函数的性质教学目标1掌握 ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值 (重点) 2会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题(难点) 3了解周期函数、周期、最小正周期的含义(易混点 ) 基础 初探 教材整理 1函数的周期性阅读教材 P34P35“例 2”以上部分，完成下列问题1函数的周期性(1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期2两种特殊的周期函数(1)正弦函数是周期函数， 2k(kZ 且 k0)都是它的周期，最小正周期是 2(2)余弦函数是周期函数， 2k(kZ 且 k0)都是它的周期，最小正周期是 2函数 y2cos x5 的最小正周期是 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页精品资料欢迎下载解：函数 y2cos x5 的最小正周期为 T2 .【答案】2教材整理 2正、余弦函数的奇偶性阅读教材 P37“思考”以下至 P37第 14 行以上内容，完成下列问题1对于 ysin x，xR 恒有 sin(x)sin x，所以正弦函数 ysin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称2对于 ycos x，xR 恒有 cos(x)cos x，所以余弦函数 ycos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称判断函数 f(x)sin 2x32的奇偶性解：因为 f(x)sin2x32cos 2x.且 f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，所以 f(x)为偶函数教材整理 3正、余弦函数的图象和性质阅读教材 P37P38“例 3”以上内容，完成下列问题函数名称图象与性质性质分类ysin x ycos x相同处定义域RR值域1，11，1 周期性最小正周期为 2最小正周期为 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页精品资料欢迎下载不同处图象奇偶性奇函数偶函数单调性在2k2，2k2(kZ)上是增函数；在2k2，2k32(kZ)上是减函数在2k，2k(kZ)上是增函数；在 2k，2k(kZ)上减函数对称轴xk2(kZ)xk(kZ) 对称中心(k，0)，(kZ)k2，0(kZ) 最值x2k2(kZ)时，ymax1；x2k2(kZ)时，ymin1 x2k时，ymax1；x2k时，ymin 1 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)若 sin236sin6，则23是函数ysin x 的一个周期() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页精品资料欢迎下载(2)函数 ysin x 在第一象限内是增函数() (3)余弦函数 ycos x 是偶函数，图象关于 y 轴对称，对称轴有无数多条 () (4)余弦函数ycos x 的图象是轴对称图形，也是中心对称图形() 解：(1).因为对任意 x，sin23x与 sin x 并不一定相等(2).ysin x 的单调性针对的是某一区间，不能用象限角表示(3).由余弦函数图象可知正确(4).由余弦函数图象可知正确【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型 三角函数的周期问题及简单应用(1)下列函数是以 为最小正周期的函数是 () Aysin xBysin x2 Cycos 2x2 Dycos 3x1 (2)函数 ysin 2x4的最小正周期为 _(3)求函数 y|sin x|的最小正周期(1)(2)利用周期定义或公式T2.(3)利用图象求解解：(1)ysin x 及 ysin x2 的最小正周期为2 ，ycos 2x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页精品资料欢迎下载的最小正周期为 ，ycos 3x1 的最小正周期为23，所以选 C(2)法一： ysin2x4sin2x42sin2（x ）4，所以最小正周期为 .法二： 因为函数 ysin2x4中 2， 所以其最小正周期T2|22 .【答案】(1)C(2)(3)作函数 y|sin x|的简图如下：由图象可知 y|sin x|的最小正周期为 . 求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解(2)公式法：对形如yAsin(x )或 yAcos(x )(A，是常数， A 0， 0)的函数， T2|.(3)观察法：即通过观察函数图象求其周期再练一题 1求下列三角函数的周期：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页精品资料欢迎下载(1)y3sin x，xR；(2)ycos 2x，xR；(3)ysin13x4，xR. 解：(1)因为 3sin(x2 )3sin x，由周期函数的定义知， y3sin x 的周期为 2 .(2)因为 cos 2(x )cos(2x2 )cos 2x，由周期函数的定义知，ycos 2x 的周期为 .(3)因为 sin13（x6 ）4sin13x2 4sin13x4， 由周期函数的定义知， ysin13x4的周期为 6 . 三角函数奇偶性的判断(1)函数 ysin2 01522 016x 是() A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数又是偶函数(2)已知 aR，函数 f(x)sin x|a|(xR)为奇函数，则a 等于() A0 B1 C1 D1 (3)判断下列函数的奇偶性：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页精品资料欢迎下载f(x)|sin x|cos x. f(x)1cos xcos x1. (1)可先化简解析式再判断奇偶性(2)可由 f(x)f(x)恒成立来求 a.(3)中注意先求定义域并化简解析式后由定义法判断解：(1)因为 ysin2 01522 016xsin22 016x1 007sin22 016xcos 2 016x，所以为偶函数(2)函数定义域为 R，因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)sin(x)|a|f(x)sin x|a|，所以|a|0，从而 a0，故选 A【答案】(1)B(2)A (3)函数的定义域为 R，又 f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x)，所以此函数是偶函数由 1cos x0 且 cos x10，得 cos x1，从而 x2k ，kZ，此时 f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数1判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看 f(x)与 f(x)的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页精品资料欢迎下载2对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断再练一题 2(1)函数 f(x)2sin 2x 的奇偶性为() A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数(2)判断函数 f(x)sin34x32的奇偶性解：(1)f(x)的定义域是 R.且 f(x) 2sin 2(x)2sin 2xf(x)，函数为奇函数【答案】A (2)f(x)sin34x32cos 34x， f(x)cos 34x cos 34x，函数 f(x)sin34x32为偶函数求正、余弦函数的单调区间(1)下列函数，在2， 上是增函数的是 () Aysin xBycos xCysin 2xDycos 2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页精品资料欢迎下载(2)函数 ycos x 在区间，a上为增函数，则a 的取值范围是_(3)求函数 ysin6x 的单调递减区间(1)可借助于正、余弦函数的单调区间来判断；(2)可利用 ，a为 ycos x 对应增区间子集求a 范围； (3)可先化为 ysinx6后，利用复合函数在对应区间上同增异减方法来求解解： (1)因为 ysin x 与 ycos x 在2，上都是减函数，所以排除 A，B因为2x ，所以 2x2 .因为 ysin 2x 在 2x ，2 内不具有单调性，所以排除C(2)因为 ycos x 在 ，0上是增函数，在 0， 上是减函数，所以只有 0，b 为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得2具体求解时注意两点： 要把 x 看作一个整体， 若 0，0 时，将“x ”代入正弦 (或余弦 )函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A0 时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间再练一题 3求函数 y2cos3x4的单调递减区间解：令 2k 3x4 2k (kZ)，解得1223k x51223k (kZ)，所 以 函 数y 2cos3x4的 单 调 递 减 区 间 为1223k ，51223k(kZ)探究共研型 正、余弦函数的值域与最值问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页精品资料欢迎下载探究 1函数 ysin x4在 x0，上最小值能否为 1? 不能因为x0， ，所以 x44，54，由正弦函数图象可知函数的最小值为22. 探究 2函数 yAsin xb，xR 的最大值一定是Ab 吗？不是因为 A0 时最大值为 Ab，若 A0 时最大值应为 Ab. 求下列函数的值域：(1)y32sin 2x；(2)ycos x6，x 0，2；(3)ycos2x4cos x5. (1)利用 1sin 2x1 求解(2)可换元令 zx66，23，转化为求 ycos z值域来求解；(3)可换元，令 cos xt，转化为一元二次函数来解决解：(1)1sin 2x1，22sin 2x2， 132sin 2x5，原函数的值域是 1，5(2)由 ycosx6，x0，2可得 x66，23，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页精品资料欢迎下载因为函数 ycos x 在区间6，23上单调递减，所以函数的值域为 12，32.(3)ycos2x4cos x5，令 tcos x，则 1t1.yt24t5(t2)21，当 t1，函数取得最大值10；t1 时，函数取得最小值2，所以函数的值域为 2，10再练一题 4(1)函数 y2cos 2x6，x 6，4的值域为 _(2) 函 数f(x) 2sin2x2sin x12， x6，56的 值域 为_解：(1)x6，4， 2x66，23， cos2x6 12，1函数的值域为 1，2(2)令 tsin x， x6，56，12sin x1，即12t1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页精品资料欢迎下载 f(t)2t22t122 t1221，t12，1 ，且该函数在12，1 上单调递增 f(t)的最小值为 f121，最大值为 f(1)72.即函数 f(x)的值域为 1，72.【答案】(1)1，2(2) 1，72构建 体系 1判断 (正确的打“”，错误的打“”) (1)若 sin(6060)sin 60，则 60为正弦函数 ysin x 的一个周期 () (2)若 T 是函数f(x)的周期，则kT，kN*也是函数f(x)的周期() (3)函数 ysin x，x(，是奇函数 () 解：(1).举反例， sin(40 60 )sin 40，所以60不是正弦函数ysin x 的一个周期(2).根据周期函数的定义知，该说法正确精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页精品资料欢迎下载(3).因为定义域不关于原点对称【答案】(1)(2)(3)2函数 f(x)3sinx24，xR 的最小正周期为 () A2BC2D4解：因为3sin12（x4 ）43sin12x423sin12x4，即 f(x4 )f(x)，所以函数 f(x)的最小正周期为 4 .【答案】D 3函数 f(x)sin x6的一个递减区间是 () A 2，2B，0 C 23，23D2，23解：令 x622k ，32 2k，kZ，得 x32k ，43 2k，kZ，k0时， 区间3，43是函数 f(x)的一个单调递减区间， 而2，23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页精品资料欢迎下载?3，43.故选 D【答案】D 4比较下列各组数的大小：(1)cos 150与 cos 170；(2)sin 5与 sin 75. 解： (1)因为 90 150 170 cos 170 .(2)sin75sin2 35sin 35sin 25sin 25.因为 05252，函数 ysin x 在区间0，2上是增函数，所以sin 5sin 25，即 sin 5sin75. 学业分层测评(建议用时： 45 分钟) 学业达标 一、选择题1函数 ysin x，x6，23，则 y 的范围是 () A1，1B12，1C12，32D32，1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页精品资料欢迎下载解：ysin x 的图象如图所示，因为x6，23，所以由图知y12，1 .【答案】B 2函数 ycos 12x2的奇偶性是 () A奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既是奇函数也是偶函数解：因为 ycos12x2sin 12x，所以为奇函数【答案】A 3ysin x|sin x|的值域是 () A1，0 B0，1 C1，1 D2，0 解：y0，0sin x1，2sin x，1sin x0，因此函数的值域为 2，0故选 D【答案】D 4下列关系式中正确的是() Asin 11cos 10sin 168 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页精品资料欢迎下载Bsin 168sin 11cos 10Csin 11sin 168cos 10Dsin 168cos 10sin 11解：由诱导公式，得cos 10 sin 80 ，sin 168 sin(180 12 )sin 12 ，由正弦函数 ysin x 在0， 90 上是单调递增的，所以sin 11sin 12 sin 80，即 sin 11sin 168 0 时，f(x)sin 2xcos x则 x0时，f(x)_解：当 x0，f(x)sin(2x)cos(x)， f(x)sin 2xcos x. f(x)为奇函数， f(x)f(x)， f(x)sin 2xcos xsin 2xcos x.【答案】sin 2xcos x三、解答题8求下列函数的值域(1)y2sin 2x3，x 6，6；(2)f(x)12sin2x2cos x. 解：(1)6x6，02x323， 0sin2x31，02sin2x32，原函数的值域为 0，2(2)f(x)12sin2x2cos x2cos2x2cos x12 cos x122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页精品资料欢迎下载32，当cos x12时，f(x)min32，当 cos x1 时，f(x)max3，该函数值域为 32，3 . 9已知函数 f(x)2cos3x2. (1)求 f(x)的最小正周期 T；(2)求 f(x)的单调递增区间解：(1)由已知 f(x)2cos3x22cosx23，则 T24 .(2)当 2k x232k (kZ)，即 4k 43x4k 23(kZ)时，函数 f(x)单调递增，函数 f(x)的单调递增区间为4k 43，4k 23(kZ)能力提升 1(2016 安庆期末 )关于函数 f(x)4sin 2x3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页精品资料欢迎下载(xR)，有下列命题：函数 yf(x)的表达式可改写为y4cos 2x6；函数 yf(x)是以 2为最小正周期的周期函数；函数 yf(x)的图象关于点 6，0 对称；函数 yf(x)的图象关于直线x6对称其中正确的是 () ABCD解：函数 f(x)的最小正周期为 ，故错；f(x)4sin2x34cos22x34cos62x4cos2x6，故正确；由 f64sin2630，知函数 yf(x)的图象关于点6，0对称，不关于直线 x6对称，故正确，错误【答案】B 2 (2016 常州高一检测)若函数f(x)sinx(0 2)在区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页精品资料欢迎下载0，3上单调递增，在区间3，2上单调递减，则 等于_解：根据题意知 f(x)在 x3处取得最大值 1， sin31，32k 2，kZ，即 6k32，kZ.又 0 0，求 f(x)的单调递增区间；(2)当 x 0，4时，f(x)的值域为 1，3，求 a，b 的值解：(1)由于 a0，令 2k 22x32k 2，kZ，得 k 512xk 12，kZ，所以 f(x)的单调递增区间是k 512，k 12，kZ.(2)当 x0，4时，32x356，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页精品资料欢迎下载则12sin2x31，由 f(x)的值域为 1，3知：a0，ab3，12ab1?a4，b1；或a0，ab1，12ab3?a4，b5.综上得：a4，b1或a4，b5.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页