2022年一次函数与几何图形综合专题讲座 .pdf

精品资料欢迎下载一次函数与几何图形综合专题讲座思想方法小结：（1）函数方法函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题（2）数形结合法数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用知识规律小结：（1）常数 k，b 对直线 y=kx+b(k 0）位置的影响当 b0 时，直线与y 轴的正半轴相交；当 b=0 时，直线经过原点；当 b0 时，直线与y 轴的负半轴相交当 k，b 异号时，即 -kb0 时，直线与x 轴正半轴相交；当 b=0 时，即 -kb=0 时，直线经过原点；当 k，b 同号时，即 -kb0 时，直线与x 轴负半轴相交当 kO ， bO时，图象经过第一、二、三象限；当 k0，b=0 时，图象经过第一、三象限；当 bO ，bO时，图象经过第一、三、四象限；当 kO ，b0 时，图象经过第一、二、四象限；当 kO ，b=0 时，图象经过第二、四象限；当 bO ，bO时，图象经过第二、三、四象限（2）直线 y=kx+b（ k0）与直线y=kx(k 0) 的位置关系直线 y=kx+b(k 0) 平行于直线y=kx(k 0) 当 b0 时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ；当 bO时，把直线y=kx 向下平移 |b| 个单位，可得直线y=kx+b（3）直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k10 ，k20）的位置关系k1k2y1与 y2相交；2121bbkky1与 y2相交于 y 轴上同一点（0，b1）或（ 0，b2） ；2121,bbkky1与 y2平行；2121,bbkky1与 y2重合 . 例题精讲：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1、直线 y=-2x+2 与 x 轴、 y 轴交于 A、B两点， C在 y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求 AC的解析式；(2) 在 OA的延长线上任取一点P,作 PQ BP,交直线 AC于 Q,试探究 BP与 PQ的数量关系， 并证明你的结论。(3) 在（ 2）的前提下，作PM AC于 M,BP交 AC于 N,下面两个结论：(MQ+AC)/PM的值不变； (MQ-AC)/PM的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。2( 本题满分 12 分) 如图所示，直线L：5ymxm与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于 A、 B两点。(1) 当 OA=OB 时，试确定直线L 的解析式；(2) 在(1) 的条件下，如图所示，设Q为 AB延长线上一点，作直线OQ ，过 A、B两点分别作 AM OQ于 M ，BN OQ于 N，若 AM=4 ，BN=3 ，求 MN的长。x y o B A C P Q x y o B A C P Q M 第 2 题图第 2 题图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 (3) 当m取不同的值时，点B 在y轴正半轴上运动，分别以OB 、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF和等腰直角ABE ，连 EF交y轴于 P点，如图。问：当点 B在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定专题：代数几何综合题分析：（1）是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；（2）由 OA=OB 得到启发，证明AMO ONB ，用对应线段相等求长度；（3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求PB 的长解答：解：（ 1）直线L：y=mx+5m ，A（-5，0）， B（0，5m ），由 OA=OB 得 5m=5 ，m=1 ，直线解析式为：y=x+5 （2） 在 AMO 和 OBN 中 OA=OB ， OAM= BON ，AMO= BNO ， AMO ONB AM=ON=4 ，BN=OM=3 （3）如图，作EKy 轴于 K 点先证 ABO BEK ，OA=BK ，EK=OB 再证 PBF PKE ，PK=PB PB=21BK=21OA=25点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题3、如图，直线1l与 x 轴、y 轴分别交于A、B两点，直线2l与直线1l关于 x轴对称，已知直线1l的解析式为3yx，第 2 题图CBAl2l10 xy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（1）求直线2l的解析式；（3 分）（2）过 A点在 ABC的外部作一条直线3l，过点 B作 BE 3l于 E,过点 C 作 CF3l于 F分别，请画出图形并求证：BE CFEF （3） ABC沿 y 轴向下平移， AB边交 x 轴于点 P，过 P点的直线与AC边的延长线相交于点Q ，与 y 轴相交与点M ，且 BP CQ ，在 ABC平移的过程中， OM为定值； MC为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。（6 分）考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质分析：（1）根据题意先求直线l1与 x 轴、 y 轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线l2的上点 C 的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式；（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明BEA AFC ，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF ；（3）首先过Q 点作 QH y 轴于 H，证明 QCH PBO ，然后根据全等三角形的性质和QHM POM ，从而得HM=OM ，根据线段的和差进行计算 OM 的值解答：解：（ 1）直线l1与 x 轴、 y 轴分别交于A、B 两点，A（-3，0）， B（0，3），直线 l2与直线 l1关于 x 轴对称，C（0，-3）直线 l2的解析式为： y=-x-3 ；（2）如图 1答： BE+CF=EF 直线 l2与直线 l1关于 x 轴对称，AB=BC ， EBA= FAC ，BEl3，CF l3 BEA= AFC=90 BEA AFC BE=AF ，EA=FC ，BE+CF=AF+EA=EF；（3）对， OM=3 过 Q 点作 QH y 轴于 H，直线 l2与直线 l1关于 x 轴对称CBA0 xyQMPCBA0 xy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 POB= QHC=90 ，BP=CQ ，又 AB=AC ， ABO= ACB= HCQ ，则 QCH PBO （AAS），QH=PO=OB=CH QHM POM HM=OM OM=BC- （OB+CM ）=BC- （CH+CM ）=BC-OM OM=21BC=3 点评：轴对称的性质： 对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、 线段都相等4. 如图，在平面直角坐标系中，A(a，0) ，B(0，b) ，且a、b满足. (1) 求直线AB的解析式；(2) 若点M为直线y=mx上一点，且ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；(3) 过A点的直线交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为 -1 ，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：计算题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载分析：（1）求出 a、b 的值得到A、B 的坐标，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，代入得到方程组，求出即可；（2）当 BM BA，且 BM=BA 时，过 M 作 MN Y 轴于 N，证 BMN ABO （ AAS），求出 M 的坐标即可；当AMBA，且 AM=BA 时，过 M 作 MNX 轴于 N，同法求出M的坐标； 当 AM BM ， 且 AM=BM 时，过 M 作 MN X 轴于 N， MH Y 轴于 H， 证 BHM AMN ，求出 M 的坐标即可（3）设 NM 与 x 轴的交点为H，分别过 M、H 作 x 轴的垂线垂足为G，HD 交 MP 于 D 点，求出 H、G 的坐标，证AMG ADH ， AMG ADH DPC NPC ，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案解答：解：（ 1）要使 b=有意义，必须（ a-2）2=0，4-b=0，a=2 ， b=4，A（2，0）， B（0，4），设直线 AB 的解析式是y=kx+b ，代入得： 0=2k+b ，4=b ，解得： k=-2 ，b=4，函数解析式为：y=-2x+4 ，答：直线 AB 的解析式是y=-2x+4 （2）如图 2，分三种情况：如图（ 1）当 BMBA，且 BM=BA 时，过 M 作 MN Y 轴于 N，BMN ABO （AAS），MN=OB=4 ，BN=OA=2 ，ON=2+4=6 ，M 的坐标为（ 4，6 ），名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载代入 y=mx 得： m=23，如图（2）当 AM BA， 且 AM=BA 时，过 M 作 MNX 轴于 N，BOA ANM（AAS），同理求出M 的坐标为（ 6，2）， m=31，当 AM BM，且 AM=BM 时，过 M 作 MNX 轴于 N，MH Y 轴于 H，则 BHM AMN ，MN=MH ，设 M（x， x）代入 y=mx 得： x=mx ，（ 2）m=1 ，答： m 的值是23或31或 1（3）解：如图3，结论 2 是正确的且定值为2，设 NM 与 x 轴的交点为H，分别过M、H 作 x 轴的垂线垂足为G，HD 交 MP 于 D 点，由 y=2kx-2k与 x 轴交于 H 点，H（1，0），由 y=2kx-2k与 y=kx-2k 交于 M 点，M（3，K），而 A（2，0），A 为 HG 的中点， AMG ADH （ASA ），又因为 N 点的横坐标为-1，且在 y=2kx-2k上，可得 N 的纵坐标为 -K，同理 P 的纵坐标为 -2K，ND 平行于 x 轴且 N、 D 的横坐标分别为-1、1 N 与 D 关于 y 轴对称， AMG ADH DPC NPC ，PN=PD=AD=AM，AMPN-PM=2点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键5. 如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（1）求直线BC的解析式：（2）直线EF ：y=kx-k（k0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得SEBD=S FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角BPQ，连接QA并延长交轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。考点：一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式专题：计算题分析：代入点的坐标求出解析式y=3x+6 ，利用坐标相等求出k 的值，用三角形全等的相等关系求出点的坐标解答：解：（ 1）由已知： 0=-6-b ，b=-6 ，AB：y=-x+6 B（0，6）OB=6 OB ：OC=3 ：1，OC=3OB=2，C（-2，0）设 BC 的解析式是Y=ax+c ，代入得； 6=0?a+c , 0=-2a+c ，解得： a=3, c=6 ，BC ：y=3x+6 直线 BC 的解析式是： y=3x+6 ；（2）过 E、 F 分别作 EMx 轴， FN x 轴，则 EMD= FND=90 SEBD=SFBD，DE=DF 又 NDF= EDM ， NFD EDM ，FN=ME 联立 y=kx-k, y=-x+6得 yE=1k5k，联立 y=kx-k ，y=3x+6 得 yF=3-k9kFN=-yF，ME=yE，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1k5k=3-k9k-k0 ，5（k-3 ）=-9（k+1 ），k=73；（3）不变化K（0，-6）过 Q 作 QH x 轴于 H， BPQ 是等腰直角三角形， BPQ=90 ，PB=PQ ， BOA= QHA=90 ， BPO= PQH ， BOP HPQ ，PH=BO ， OP=QH ，PH+PO=BO+QH，即 OA+AH=BO+QH，又 OA=OB ，AH=QH ， AHQ 是等腰直角三角形， QAH=45 ， OAK=45 ， AOK 为等腰直角三角形，OK=OA=6 ，K（0，-6）点评：此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解6. 如图，直线 AB交 X轴负半轴于 B（m ，0） ，交 Y轴负半轴于 A（0，m ） ，OC AB于 C （-2，-2 ） 。（1）求 m的值；-4m2CGOGGB,45OAOBGOBG都是等腰直角三角形为等腰直角三角形的垂线，垂足为作过OCBCGOCGBCBOAOB（2）直线 AD交 OC于 D，交 X轴于 E，过 B作 BF AD于 F,若 OD=OE，求AEBF的值；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载21BF2BFBHBFAEBF2BHBFBHAEBHASAAOEBOH90AOEBOHAOBOEAOHBOAOEBOH)(BFASAAFHAFB)(AFAF90AFHAFBAFHAFBFEBADC)(OEDFEBODEOEDODOEFAHHBOBFHFFAHBAFFAHCADCADHBOODEADC等）（全等三角形对应边相）（已知）（已证）中，和在全等三角形对应边相等）（已证（公共边）中和在对顶角相等，（同角的余角相等）（3）如图， P为 x 轴上 B点左侧任一点，以 AP为边作等腰直角 APM ， 其中 PA=PM ，直线 MB交 y 轴于 Q ，当 P在 x 轴上运动时，线段OQ 长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，说明理由。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载7. 在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图像过点B（ 1，）， 与x轴交于点A（ 4,0 ） ，与y轴交于点C，与直线y=kx交于点P，且PO=PA（1）求a+b的值；（2）求k的值；（3）D为PC上一点，DFx轴于点F，交OP于点E，若DE=2EF，求D点坐标 . 考点：一次函数与二元一次方程（组）专题：计算题；数形结合；待定系数法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载分析：（1）根据题意知，一次函数y=ax+b 的图象过点B（-1，25）和点 A（4，0），把A、B 代入求值即可；（2）设 P（ x，y），根据PO=PA ，列出方程，并与y=kx 组成方程组，解方程组；（3）设点 D（ x，- 21x+2 ），因为点 E 在直线 y= 21x 上，所以 E（x，21x），F（x，0），再根据等量关系DE=2EF 列方程求解解答：解：（ 1）根据题意得：25=-a+b 0=4a+b 解方程组得： a=21， b=2 a+b=-21+2=23，即 a+b=23；（2）设 P（ x，y），则点P 即在一次函数y=ax+b 上，又在直线y=kx 上，由（ 1）得：一次函数y=ax+b 的解析式是y=-21x+2，又 PO=PA ，x2+y2=(4-x)2+y2 y=kx y=21x+2 ，解方程组得： x=2 ，y=1 ，k=21，k 的值是21；（3）设点 D（x， -21x+2 ），则 E（x，21x）， F（x，0），DE=2EF ，-21x+2-21x=221x，解得： x=1 ，则-21x+2=-21 1+2=23，D（1，23）点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系8.在直角坐标系中， B、A 分别在 x，y 轴上， B的坐标为（ 3，0） ，ABO=30，AC 平分 OAB交 x 轴于 C；（1）求 C 的坐标；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载解：AOB=90 ABO=30OAB=30又 AC 是OAB 的角平分线OAC=CAB=30OB=3 OA=3OC=1 即 C(1，0) （2）若 D 为 AB 中点， EDF=60，证明： CE+CF=OC 证明：取 CB 中点 H，连 CD,DH AO= 3CO=1 AC=2 又D,H 分别是 AB,CD 中点DH=AC21AB=23DB=21AB=3BC=2 ABC=30 BC=2 CD=2 CDB=60CD=1=DH EOF=EDC+CDF=60 CDB=CDF+FDH=60EDC=FDH AC=BC=2 CDAB ADC=90CBA=30ECD=60HD=HB=1 DHF=60在DCE 和 DHF 中EDC=FDH DCE=DHF DC=DH DCE DHF(AAS) CE=HF CH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1 CH=OC OC=CE+CF （3）若 D 为 AB 上一点，以 D 作DEC，使 DC=DE，EDC=120，连 BE，试问 EBC 的度数是否发生变化；若不变，请求值。解：不变EBC=60设 DB 与 CE 交与点 G DC=DE EDC=120DEC=DCE=30在DGC 和 DCB 中名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载CDG=BDC DCG=DBC=30 DGC DCB DGDC=DCDBDC=DE DGDE=DEDB在 EDG 和 BDE 中DGDE=DEDBEDG=BDE EDG BDE DEG=DBE=30EBD=DBE+DBC=609、如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0） ，交y轴正半轴于点B（0，b） ，且a、b满足4a + |4 b|=0 （ 1）求A、B两点的坐标；（ 2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OEBD于F，交AB于E，求证BDO=EDA；（3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰RtPBM，其中PB=PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围 . 考点：全等三角形的判定与性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根专题：证明题；探究型A BOD EFyxA BOM P Qx y名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载分析：首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a、b 的方程，解方程组即可求出a，b的值，也就能写出A，B 的坐标；作出 AOB 的平分线，通过证BOG OAE 得到其对应角相等解决问题；过 M 作 x 轴的垂线，通过证明PBO MPN 得出 MN=AN ，转化到等腰直角三角形中去就很好解决了解答：解：4a+|4-b|=0 a=4 ， b=4，A（4，0）， B（0，4）；（2）作 AOB 的角平分线，交BD 于 G， BOG= OAE=45 ，OB=OA ，OBG= AOE=90 -BOF ， BOG OAE ，OG=AE GOD= A=45 ，OD=AD ， GOD EDA GDO= ADE （3）过 M 作 MN x 轴，垂足为N BPM=90 ， BPO+ MPN=90 AOB= MNP=90 ， BPO= PMN ， PBO= MPN BP=MP ， PBO MPN ，MN=OP ， PN=AO=BO ，OP=OA+AP=PN+AP=AN，MN=AN ， MAN=45 BAO=45 ， BAO+ OAQ=90 BAQ 是等腰直角三角形OB=OQ=4 无论 P 点怎么动OQ 的长不变点评：（1）考查的是根式和绝对值的性质（2）考查的是全等三角形的判定和性质（3）本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质，还有特殊三角形的性质10、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载的坐标为 (0，1) ，BAO=30 （1）求AB的长度；（2） 以AB为一边作等边ABE， 作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D 求证：BD=OEDENMBOxyADEBOxyFA（3）在（ 2）的条件下，连结DE交AB于F求证：F为DE的中点考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；含30 度角的直角三角形专题：计算题；证明题分析：（1）直接运用直角三角形30 角的性质即可（2）连接 OD ，易证 ADO 为等边三角形，再证ABD AEO 即可（3）作 EHAB 于 H，先证 ABO AEH ，得 AO=EH ，再证 AFD EFH 即可解答：（1）解：在RtABO 中， BAO=30 ，AB=2BO=2 ；（2）证明：连接OD， ABE 为等边三角形，AB=AE ， EAB=60 ， BAO=30 ，作 OA 的垂直平分线MN 交 AB 的垂线 AD 于点 D， DAO=60 EAO= NAB 又 DO=DA ， ADO 为等边三角形DA=AO 在 ABD 与 AEO 中，AB=AE ， EAO= NAB ，DA=AO ABD AEO BD=OE 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（3）证明：作EH AB 于 HAE=BE ， AH=21AB，BO=21AB， AH=BO ，在 RtAEH 与 RtBAO 中，AH=BO ，AE=AB Rt AEH RtBAO ，EH=AO=AD 又 EHF= DAF=90 ，在 HFE 与 AFD 中，EHF= DAF ， EFH= DFA ，EH=AD HFE AFD ，EF=DF F 为 DE 的中点点评：本题主要考查全等三角形与等边三角形的巧妙结合，来证明角相等和线段相等11.如图，直线 y=31x+1 分别与坐标轴交于A、B 两点，在 y 轴的负半轴上截取OC=OB. （1）求直线 AC 的解析式；解： 直线 y=31x+1 分别与坐标轴交于A、B 两点 可得点 A 坐标为（ -3，0） ，点 B 坐标为（ 0，1） OC=OB 可得点 C 坐标为（ 0，-1）设直线 AC 的解析式为 y=kx+b 将 A（-3，0） ，C（0，-1）代入解析式-3k+b=0 且 b=-1 可得 k=-31，b=-1 直线 AC 的解析式为 y=31x-1 （2）在 x 轴上取一点 D（-1，0） ，过点 D 做 AB 的垂线，垂足为 E，交 AC 于点 F，交 y 轴于点 G，求 F 点的坐标；解： GEAB kk1EGAB131k=3GE设直线 GE 的解析式为y=-3x+b将点 D 坐标（ -1，0）代入，得y=-3b0b3名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 直线 GE 的解析式为 y=-3x-3 联立 y=31x-1 与 y=-3x-3，可求出34x，将其代入方程可得y=34， F 点的坐标为（34，34）（3）过点 B 作 AC 的平行线 BM， 过点 O 作直线 y=kx（k0） ， 分别交直线 AC、BM 于点 H、I，试求ABBIAH的值。解：过点 O 作 AC 的平行线 ON 交 AB 于点 N BM/AC OIOBOHOCOB=OC OI=OH O 为 IH 的中点BM/AC =NBOINAOH OI=OH NB=NA N 为 AB 中点 ON 是四边形 ABIH 的中位线 AH+BI=2ON N 是 AB 的中点，AOB 是直角三角形 AB=2ON（直接三角形斜边的中线等于斜边的一半） AH+BI=AB ABBIAH=1 12.如图，直线 AB：y=-x-b 分别与 x、y 轴交于 A（6，0） 、B 两点，过点 B 的直线交 x 轴负半轴于 C，且 OB：OC=3：1. （1）求直线 BC 的解析式；解： （1）因为直线AB：y=-x b 过点 A（6，0）. 带入解析式就可以得到b=-6 即直线 AB ：y=-x+6 B 为直线 AB 与 y 轴的交点点B （ 0，6）OB：OC=3：1 OC=2 点 C（-2，0）已知直线上的两点B、C。设直线的解析式为y=kx+m 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载带入 B、C 的坐标。可以算出k=3 ,m=6 所以 BC 的解析式为：y=3x+6 （2）直线 EF：y=kx-k（k0）交 AB 于 E，交 BC 于点 F，交 x 轴于 D，是否存在这样的直线 EF，使得 SEBD=SFBD？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由？(2) 假设存在满足题中条件的k 值因为直线 EF: y=kx-k （ k0）交 x 轴于点 D。所以 D 点坐标为（ 1,0）在图中标出点D,且过点 D 做一直线，相交与直线AB,BC 分别与点E,F 然后观察 EBD 和FBD 则 SEBD= 21DEh SFBD=21DFh 两个三角形的高其实是一样的要使这两个三角形面积相等，只要满足DE=DF 就可以了点 E 在直线 AB 上，设点E 的坐标为（ p，-p+6）点 F 在直线 BC 上，设点F 的坐标为（ q，3q+6）而上面我们已经得到点D 的坐标为（ 1,0）点 E、 F 又关于点D 对称，所以我们就可以得到两个等式，即：（p+q)/2=1 (-p+6+3q+6)/2=0 这样就可以求得：p=29，q=-25点 E 的坐标即为（29，23） ，点 F的坐标即为（-25，-23）把点 E 代入直线EF 的解析式，得到k=73所以存在k，且 k=73（3）如图，P为 A 点右侧 x 轴上的一动点， 以 P 为直角顶点， BP 为腰在第一象限内作等腰直角 BPQ，连接 QA 并延长交 y 轴于点 K，当 P 点运动时， K 点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。(3) K 点的位置不发生变化理由：首先假设直线QA 的解析式为y=ax+b ，点 P 的坐标为（ p，0）过点 Q 作直线 QH 垂直于 x 轴，交点为H 这样图中就可以形成两个三角形，分别是BOP 和 PHQ，且两个三角形都是直角三角形。 BPQ 为等腰直角三角形，直角顶点为P BP=PQ， BPO+QPH=180o 90o=90o又在直角三角形中，QPH+PQH=90o根据上面两个等式，我们可以得到BPO=PQH 且 PB=QP 所以在 BOP 和 PHQ 中BOP=PHQ BPO=PQH PB=QP 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 BOP PHQ（AAS ）OP=HQ=p OB=HP=6 （全等三角形的对应边相等）点 Q 的坐标为（ p+6，p）然后将点 A 和点 Q 的坐标代入直线QA 的解析式： y=ax+b 中，得到：a=1，b=-6 也就是说a,b 为固定值，并不随点P（p，0）的改变而改变这样直线 QA ：y=x-6 的延长线交于Y 轴的 K 点也不会随点P 的变化而变化了。求得点 K 的坐标为（ 0， -6）实战练习：1.已知，如图，直线AB：y=-x+8 与 x 轴、y 轴分别相交于点B、A，过点 B 作直线 AB 的垂线交 y 轴于点 D. （1）求直线 BD 的解析式；（2）若点 C 是 x 轴负半轴上的任意一点，过点C 作 AC的垂线与 BD 相交于点 E，请你判断：线段AC 与 CE 的大小关系？并证明你的判断；（3）若点 G 为第二象限内任一点，连结EG，过点 A 作 AFFG 于 F，连结 CF，当点 C 在 x 轴的负半轴上运动时， CFE的度数是否发生变化？若不变，请求出 CFE的度数；若变化，请求出其变化范围. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载2.直线 y=x+2 与 x、y 轴交于 A、B 两点， C 为AB 的中点 . （1）求 C 的坐标；（2）如图， M 为 x 轴正半轴上一点， N 为 OB 上一点，若 BN+OM=MN ，求NCM 的度数；（3）P为过 B 点的直线上一点， PDx 轴于 D，PD=PB，E 为直线 BP 上一点，F 为 y 轴负半轴上一点，且DE=DF，试探究 BFBE 的值的情况 . 3.如图，一次函数y=ax-b 与正比例函数 y=kx 的图象交于第三象限内的点A，与名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载y 轴交于 B（0，-4）且 OA=AB ，OAB 的面积为 6. （1）求两函数的解析式；（2）若 M（2，0） ，直线 BM 与 AO 交于 P，求 P 点的坐标；（3）在 x 轴上是否存在一点E，使 SABE=5，若存在，求 E 点的坐标；若不存在，请说明理由。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -