2022年椭圆重点知识点复习 .pdf
名师总结优秀知识点圆锥曲线知识网络第 1 讲 椭圆知识梳理1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21FF、的距离之和为常数|)|2(222FFaa的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点21FF、叫椭圆的焦点. 当21212FFaPFPF时, P的轨迹为椭圆; ; 当21212FFaPFPF时, P的轨迹不存在; 当21212FFaPFPF时, P的轨迹为以21FF、为端点的线段（ 2）椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(10e)的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质: 标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay椭圆双曲抛物定义定义定义标准方程标准方程几何性质几何性质应用应用标准方程几何性质应用圆锥曲线直线与圆锥曲线位置关系相交相切相离圆锥曲线的弦精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师总结优秀知识点性质参数关系222cba焦点)0,(),0,(cc),0(),0(cc焦距c2范围byax| ,|bxay| ,|顶点),0(),0(),0,(),0 ,(bbaa)0,(),0,(),0(),0(bbaa对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称离心率) 1 ,0(ace准线cax2cay23.点),(00yxP与椭圆)0(12222babyax的位置关系 : 当12222byax时,点P在椭圆外 ; 当12222byax时,点P在椭圆内 ; 当12222byax时,点P在椭圆上 ; 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0;直线与椭圆相切0;直线与椭圆相离0重难点突破重点 :掌握椭圆的定义标准方程，会用定义法和待定系数法、坐标转移法、求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用难点 :椭圆的几何元素与参数cba,的转换重难点 :运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数cba,的关系1.要有用定义的意识问题 1 已知21FF 、为椭圆192522yx的两个焦点， 过1F的直线交椭圆于A、B 两点若1222BFAF，则AB=_。解析 2ABF的周长为204a，AB=8 2.求标准方程要注意焦点的定位问题 2 椭圆1422myx的离心率为21，则m解析 当焦点在x轴上时，32124mm；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师总结优秀知识点当焦点在y轴上时，316214mmm，综上316m或 3 热点考点题型探析考点 1 椭圆定义及标准方程题型 1:椭圆定义的运用例 1 (湖北部分重点中学2009 届高三联考 )椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为2c，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是A 4a B2(ac) C2(a+c) D以上答案均有可能解析 按小球的运行路径分三种情况: (1)ACA,此时小球经过的路程为2(ac); (2)ABDBA, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)AQBPA此时小球经过的路程为4a,故选 D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面题型 2 求椭圆的标准方程例 2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为244，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数cba,的式子“描述”出来解析 设椭圆的方程为12222byax或)0(12222baaybx，则，222)12(4cbacacb解之得：24a，b=c4.则所求的椭圆的方程为1163222yx或1321622yx. 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数cba,的数量关系警示易漏焦点在y 轴上的情况考点 2 椭圆的几何性质题型 1:求椭圆的离心率（或范围）例 3 在ABC中，3, 2| ,300ABCSABA若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率eOxyD P A B C Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师总结优秀知识点【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析 3sin|21AACABSABC，32| AC，2cos|2|22AACABACABBC2132322|BCACABe【名师指引】 （1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出cba、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3） “焦点三角形”应给予足够关注题型 2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 4 已知实数yx,满足12422yx,求xyx22的最大值与最小值【解题思路】把xyx22看作x的函数解析 由12422yx得22212xy, 2202122xx2, 2,23) 1(212212222xxxxxyx当1x时,xyx22取得最小值23,当2x时 ,xyx22取得最大值6 【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错考点 3 椭圆的最值问题题型 : 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例 5 椭圆191622yx上的点到直线l:09yx的距离的最小值为_【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数解析 在椭圆上任取一点P,设 P(sin3 ,cos4). 那么点 P 到直线 l 的距离为：|9)sin(5|2211|12sin3cos4|22.22【名师指引】也可以直接设点),(yxP，用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数，关键是要具有“函数思想”考点 4 椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师总结优秀知识点例 6 已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与 y 轴交于点P（0，m） ，与椭圆C 交于相异两点A、B，且PBAP3（1）求椭圆方程；（2）求 m 的取值范围【解题思路】 通过PBAP3，沟通 A、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式解析 （1）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设2222:1 (0)yxCabab由条件知1a且bc，又有222abc，解得21 ,2abc故椭圆C的离心率为22cea，其标准方程为：12122xy（2）设 l 与椭圆 C 交点为 A（x1，y1） ，B（x2，y2）ykxm2x2y21得（ k22） x22kmx （ m21） 0 （ 2km）2 4（k2 2） （m2 1） 4（k22m2 2）0 （* ）x1x22kmk22， x1x2m21k22 AP 3 PB x13x2 x1 x2 2x2x1x2 3x2 2消去 x2，得 3（x1x2）24x1x20， 3（2kmk22）2 4m21k2 2 0 整理得 4k2m22m2k220m214时，上式不成立；m2 14时， k222m24m21，因 3 k0 k22 2m24m210， 1m12或12m2m2 2 成立，所以（ * ）成立即所求 m 的取值范围为（1，12）（12，1）【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
