2022年一高中数列知识点总结 .pdf

学习必备欢迎下载一高中数列知识点总结1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和性质：是等差数列（1）若，则（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为 0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6) 项数为偶数的等差数列，有，. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（7）项数为奇数的等差数列，有，. 2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.等比中项：成等比数列，或.前项和：（要注意！）性质：是等比数列（1）若，则（2）仍为等比数列 ,公比为. 注意：由求时应注意什么？时，；时，. 二解题方法1 求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列，求解时，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载时，得：，练习数列满足，求注意到， 代入得；又， 是等比数列，时，（2）叠乘法如：数列中，求解，又，. （3）等差型递推公式由，求，用迭加法时，两边相加得练习数列中，求（）（4）等比型递推公式（为常数，）可转化为等比数列，设名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载令，是首项为为公比的等比数列，（5）倒数法如：，求由已知得：，为等差数列，公差为，( 附：公式法、利用、累加法、累乘法 . 构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 ) 2 求数列前 n 项和的常用方法( 1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：是公差为的等差数列，求解：由名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载练习求和：（2）错位相减法若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比 . 如：时，时，（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 相加练习已知，则由名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载原式( 附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列 an ，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和， 这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是 “ 倒序相加法 ” 。b.用公式法求数列的前n 项和对等差数列、等比数列，求前n 项和 Sn可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。 运用公式求解的注意事项： 首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n 项和。d.用错位相减法求数列的前n 项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列 an bn 中，an 成等差数列， bn 成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n 项和。e.用迭加法求数列的前n 项和迭加法主要应用于数列 an满足 an+1=an+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出 Sn。f .用分组求和法求数列的前n 项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前n 项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n 项和。) 三方法总结及题型大全方法技巧数列求和的常用方法一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载等差数列求和公式：2、等比数列求和公式： 4、例 1（07 高考山东文18）设是公比大于1 的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列（1）求数列的等差数列（2）令求数列的前项和解：（ 1）由已知得解得设数列的公比为，由，可得又，可知，即，解得由题意得故数列的通项为（2）由于由（ 1）得，又是等差数列名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载故练习：设Sn 1+2+3+n，nN* ,求的最大值 .解：由等差数列求和公式得，（利用常用公式） 当，即 n8 时，二、错位相减法设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。例 2（07 高考天津理21）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）解：由，可得，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载所以为等差数列， 其公差为 1， 首项为 0， 故， 所以数列的通项公式为（）解：设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和例 3（ 07 高考全国文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前 n 项和解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以，（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载，得，三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例 4 （07 豫南五市二联理22.） 设函数的图象上有两点P1(x1, y1)、 P2(x2, y2) ，若,且点 P 的横坐标为.（I）求证： P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II ）若（III ）略（I）,且点 P的横坐标为. P 是的中点，且名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载由（ I）知，（1）+（2）得：四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）（2）（3）等。例 5 求数列的前 n 项和 .解：设（裂项）则（裂项求和）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 6（ 06 高考湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前 n 项和为，点均在函数的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前 n 项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（）设这二次函数f(x) ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b, 由于 f(x)=6x 2,得a=3 , b=2, 所以f(x) 3x22x. 又因为点均在函数的图像上，所以3n22n. 当 n2 时， anSnSn 1（ 3n22n） 6n5. 当 n1 时， a1S13 1226 15，所以， an6n5 （）（）由（）得知，故 Tn（1）. 因此，要使（1）an-a(n-1)=3(n-1) 同样 a(n-1)-a(n-2)=3(n-2) a(n-2(-a(n-3)=3(n-3) a3-a2=32 a2-a1=31 以上的 n 个等式的两边相加得到An-a1 =3+32+ +3(n-1)=3(1- 3n-1 )/(1-3 )=(3n-1)/2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1) 定义法：对于n 2 的任意自然数 , 验证为同一常数。(2) 通项公式法：若 = +（n-1 ）d= +（ n-k ）d ，则为等差数列；若，则为等比数列。(3) 中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列中 , 有关的最值问题常用邻项变号法求解：(1) 当0,d0 时，满足的项数 m使得取最大值 . (2) 当0 时，满足的项数 m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时, 注意转化思想的应用。3. 数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。注意事项1证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明或而得。2在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3 注 意与之 间 关 系 的 转 化 。 如 ：=，=4解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略【问题 1】等差、等比数列的项与和特征问题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 1.数列的前项和记为（）求的通项公式； （）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。解：（）由可得，两式相减得又故是首项为，公比为得等比数列（）设的公比为由得，可得，可得故可设又由题意可得解得等差数列的各项为正，例 2. 设数列的前项和为，且对任意正整数，。 （1）求数列的通项公式？ （2） 设数列的前项和为, 对数列， 从第几项起？.解(1) an+ Sn=4096,a1+ S1=4096, a1 =2048. 当n 2 时 , an= Sn Sn 1=(4096 an) (4096 an 1)=an 1 an=an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12 n, Tn=( n2+23n). 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载由 Tn, 而 n 是正整数 , 于是 ,n 46. 从第46 项起Tn509. 【问题 2】等差、等比数列的判定问题例 3.已知有穷数列共有 2项（整数 2）， 首项2设该数列的前项和为，且2（1，2， 21），其中常数1（ 1） 求 证 ： 数 列是 等 比 数 列 ； （ 2） 若 2， 数 列满 足（1，2， 2），求数列的通项公式；（3）若（ 2）中的数列满足不等式 | |4，求的值(1) 证明 当 n=1 时 ,a2=2a,则=a；2 n 2k1 时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列 an是等比数列 . (2) 解：由 (1) 得 an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2, ,2k).（3）设 bn,解得 n k+ ,又 n 是正整数 ,于是当 nk 时 , bn. 原式 =( b1)+(b2)+ +(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+ +b2k)(b1+ +bk) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载=. 当 4, 得 k28k+40, 42k4+2,又 k2,当 k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立 . 例 4。已知数列中，是其前项和，并且，设数 列， 求 证 ： 数 列是 等 比 数 列 ； 设 数 列，求证： 数列是等差数列； 求数列的通项公式及前项和。分析：由于 b和 c中的项都和 a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径解：(1)由 S=4a，S=4a+2，两式相减， 得 S-S=4(a-a)，即 a=4a-4a(根据 b的构造，如何把该式表示成b与 b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练) a-2a=2(a-2a)，又 b=a-2a，所以 b=2b已知 S=4a +2，a =1，a +a=4a +2，解得 a =5，b =a-2a =3由和得，数列b 是首项为3，公比为2 的等比数列，故b=32名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载当 n2 时， S=4a+2=2(3n-4)+2 ；当 n=1 时， S =a =1 也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - -