2022年求轨迹方程题型全归纳 2.pdf

. word 范文求轨迹方程的六种常用方法1直接法根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。例 1已知线段6AB，直线BMAM ,相交于M，且它们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程。解：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则( 3,0),(3,0)AB，设点M的坐标为( ,)x y，则直线AM的斜率(3)3AMykxx，直线BM的斜率(3)3AMykxx由已知有4(3)339yyxxx?化简，整理得点M的轨迹方程为221(3)94xyx练习：1平面内动点P到点(10,0)F的距离与到直线4x的距离之比为2，则点P的轨迹方程是。2设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于A、B两点，P是l上满足1PA PBuu u r uu u r的点，求点P的轨迹方程。3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A直线B椭圆C抛物线D双曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页. word 范文2定义法通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。例 2若( 8,0),(8,0)BC为ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30，则ABC的重心轨迹方程是_。解：设ABC的重心为( ,)G x y，则由AC和AB两边上的中线长之和是30可得230203BGCG， 而点( 8,0),(8,0)BC为定点，所以点G的轨迹为以,B C为焦点的椭圆。所以由220,8ac可得2210,6abac故ABC的重心轨迹方程是221(0)10036xyy练习：4方程222 (1)(1)|2|xyxy表示的曲线是（）A椭圆B双曲线C线段D抛物线3点差法圆 锥 曲 线 中 与 弦 的 中 点 有 关 的 问 题 可 用 点 差 法 ， 其 基 本 方 法 是 把 弦 的 两 端 点1122(,),(,)A xyB xy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12xx，12yy，12xx，12yy等关系式，由于弦AB的中点( , )P x y的坐标满足122xxx，122yyy且直线AB的斜率为2121yyxx，由此可求得弦AB中点的轨迹方程。例3 椭 圆22142xy中 ,过(1,1)P的 弦 恰 被P点 平 分 ,则 该 弦 所 在 直 线 方 程 为_。解：设过点(1,1)P的直线交椭圆于11(,)A xy、22(,)B xy，则有2211142xy2222142xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页. word 范文可得12121212()()()()042xxxxyyyy而(1,1)P为线段AB的中点，故有12122,2xxyy所以12121212()2()210422xxyyyyxx，即12ABk所以所求直线方程为11(1)2yx化简可得230 xy练习：5 已知以(2, 2)P为圆心的圆与椭圆222xym交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。6 已知双曲线2212yx， 过点(1,1)P能否作一条直线l与双曲线交于,A B两点，使P为线段AB的中点？4转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点P在已知方程的曲线上移动；另一个动点M随P的变化而变化；在变化过程中P和M满足一定的规律。例 4已知P是以12,F F为焦点的双曲线221169xy上的动点，求12F F P的重心G的轨迹方程。解：设重心( , )G x y，点00(,)P xy，因为12( 4,0),(4,0)FF则有30003044yyxx， 故yyxx3030代入19201620yx得所求轨迹方程2291(0)16xyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页. word 范文例 5抛物线24xy的焦点为F,过点(0,1)作直线l交抛物线A、B两点 ,再以AF、BF为邻边作平行四边形AFBR，试求动点R的轨迹方程。解法一： （转移法） 设( ,)R x y，(0,1)F，平行四边形AFBR的中心为1(,)22x yP，将1ykx，代入抛物线方程,得2440 xkx，设1122(,),(,)A xyB xy，则21212121216160| 14444kkxxkxxkx xx x222212121212()24244xxxxx xyyk，P为AB的中点 .1222122222121kyyykxxx3442kykx，消去k得24(3)xy，由 得，| 4x，故动点R的轨迹方程为24(3)(|4)xyx。解法二： （点差法） 设( ,)R x y，(0,1)F，平行四边形AFBR的中心为1(,)22x yP，设1122(,),(,)A xyB xy，则有2114xy2224xy由得12121212()()4()4lxxxxyyxxk而P为AB的中点且直线l过点(0, 1)，所以1211322,22lyxyxxx kxx代入可得34yxx，化简可得22124124xxyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页. word 范文由点1(,)22x yP在抛物线口内，可得221( )48(1)22xyxy将式代入可得222128(1)16| 44xxxx故动点R的轨迹方程为24(3)(|4)xyx。练习：7已知( 1,0),(1,4)AB，在平面上动点Q满足4QA QBuu u r uuu r，点P是点Q关于直线2(4)yx的对称点，求动点P的轨迹方程。5参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某些变量的取值范围的变化等等。例 6 过点( 2,0)M作直线l交双曲线221xy于A、B两点，已知OPOAOBuuu ruu u ruu u r。（1）求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）是否存在这样的直线l，使OAPB矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。解：当直线l的斜率存在时，设l的方程为(2)(0)yk xk，代入方程221xy，得2222(1)4410kxk xk因为直线l与双曲线有两个交点，所以210k，设1122(,),(,)A xyB xy，则22121222441,11kkxxx xkk21212122244(2)(2)()4411kkkyyk xk xk xxkkkk设( ,)P x y，由OPOAOBu uu ruuu ruuu r得212122244( ,)(,)(,)11kkx yxxyykk2224141kxkkyk所以xky，代入241kyk可得241()xyyxy，化简得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页. word 范文2240 xyx即22(2)4xy当 直 线l的 斜 率 不存 在 时， 易 求 得( 4,0)P满 足 方程 ，故 所 求 轨迹 方 程为22(2)4(0)xyy，其轨迹为双曲线。 （也可考虑用点差法求解曲线方程）（2）平行四边OPAB为矩形的充要条件是0OA OBu uu r uuu r即12120 x xy y当k不存在时，A、B坐标分别为( 2,3)、( 2,3)，不满足式当k存在时，2221 21212121212(2) (2)(1)2()4x xy yx xk xk xkx xkxxk2222222(1)(14)244011kkkkkkk化简得22101kk，此方程无实数解，故不存在直线l使OPAB为矩形。练习：8设椭圆方程为1422yx,过点(0,1)M的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点 ,点P满足)(21OBOAOP,点N的坐标为)21,21(,当l绕点M旋转时 ,求: (1)动点P的轨迹方程；(2)| NP的最小值与最大值。9设点A和B为抛物线24(0)ypx p上原点O以外的两个动点，且OAOB，过O作OMAB于M，求点M的轨迹方程。6交轨法若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。例 7已知MN是椭圆12222byax中垂直于长轴的动弦，A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线MA和NB的交点P的轨迹方程。解 1:(利用点的坐标作参数)令11(,)M x y，则11(,)N xy而(,0),( ,0)AaB a.设AM与NB的交点为( ,)P x y因为,A M P共线，所以axyaxy11因为,N B P共线，所以axyaxy11两式相乘得22121222axyaxy，而1221221byax即2)212(221axaby代入得22222abaxx，即交点P的轨迹方程为12222byax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页. word 范文解 2: (利用角作参数) 设( cos , sin)M ab，则( cos ,sin)N ab所以aabaxycossin, aabaxycossin两式相乘消去即可得所求的P点的轨迹方程为12222byax。练习：10两条直线01yax和)1(01aayx的交点的轨迹方程是_ _ 。总结归纳1要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹若是曲线的一部分，应对方程注明x的取值范围，或同时注明, x y的取值范围。2“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系， 求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页. word 范文练习参考答案122(2)11648xy2解：设P点的坐标为( ,)x y，则由方程2224xy，得242xy由于直线l与椭圆交于两点A、B，故22x即A、B两点的坐标分别为2244( ,),( ,)22xxA xB x2244(0,),(0,)22xxPAy PByuu u ruuu r由题知1PA PBu uu r uuu r即2244(0,) (0,)122xxyy22412xy即2226xy所以点P的轨迹方程为221( 22)63xyx3D 【解析】在长方体1111ABCDA B C D中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与11D C是异面垂直的两条直线，过直线AD与11D C平行的平面是面ABCD，设 在 平 面ABCD内 动 点( ,)Mx y满 足 到 直 线AD与11D C的距离相等，作1MMMP于1M，MNCD于N，11NPD C于P，连结MP，易知MN平面111,CDD CMPD C，则有1MMMP，222|yxa(其中a是异面直线AD与11D C间的距离 )，即有222yxa，因此动点M的轨迹是双曲线，选D. 4A 5解 设( ,)Mx y，1122(,),(,)A xyB xy则12122 ,2xxx yyy，由myx21221，myx22222两式相减并同除以12()xx得M O P B A yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页. word 范文121212121122yyxxxxxyyy, 而1212AByykxx22PMykx, 又因为PMAB所以1ABPMkk12122xyyx?化简得点M的轨迹方程240 xyxy6先用点差法求出210 xy，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。中点弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须进行检验。7解：设( , )Q x y，则( 1,),(1,4)QAxy QBxyuuu ruuu r由4( 1,) (1,4)4( 1)(1)()(4)4QA QBxyxyxxyyuuu r uu u r即222(2)3xy所以点Q的轨迹是以(0, 2)C为圆心，以3 为半径的圆。点P是点Q关于直线2(4)yx的对称点。动点P的轨迹是一个以000(,)Cxy为圆心，半径为3 的圆，其中000(,)Cxy是点(0, 2)C关于直线2(4)yx的对称点， 即直线2(4)yx过0CC的中点， 且与0CC垂直，于是有00002210202422yxyx即000000240821802yxxyxy故动点P的轨迹方程为22(8)(2)9xy。8解： (1)解法一 :直线l过点(0,1)M，设其斜率为k,则l的方程为1ykx记),(11yxA、),(22yxB由题设可得点A、B的坐标),(11yx、),(22yx是方程组14122yxkxy的解将 代入 并化简得 ,032)4(22kxxk,所以.48,42221221kyykkxx于是).44,4()2,2()(21222121kkkyyxxOBOAOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页. word 范文设点P的坐标为),(yx则.44,422kykkx消去参数k得0422yyx当k不存在时 , A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程,所以点P的轨迹方程为2240 xyy解法二 :设点P的坐标为),(yx,因),(11yxA、),(22yxB在椭圆上 ,所以, 142121yx.142222yx 得0)(4122212221yyxx,所以. 0)(41)(21212121yyyyxxxx当21xx时,有.0)(4121212121xxyyyyxx并且.1,2,221212121xxyyxyyyyxxx将代入 并整理得.0422yyx当21xx时,点A、B的坐标为(0,2),(0,2)，这时点P的坐标为(0,0)也满足 ,所以点P的轨迹方程为221()2111164yx(2)解:由点P的轨迹方程知2116x，即1144x所以127)61(3441)21()21()21(|222222xxxyxNP故当41x,| NP取得最小值 ,最小值为61;41x当时,| NP取得最大值 , 最大值为2169解法 1 ：(常规设参 )设( , )M x y，1122(,),(,)A xyB xy，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页. word 范文?xpyyypyyxyxxyyxyxypxypxy42121621121211221124221421（）由,A M B共线得)421(2141pyxyypyy则2121214yyyyxyypy把（）代入上式得ypxyxy42化简得M的轨迹方程为2240(0)xypxx) 解法 2： (变换方向 ) 设OA的方程为(0)ykx k，则OB的方程为1yxk由pxykxy22得222(,)ppAkk，由pxyxky221得2(2, 2)Bpkpk所以直线AB的方程为2(2 )1kyxpk因为OMAB，所以直线OM的方程为21kyxk即得M的轨迹方程 : 2240(0)xypxx解法 3：(转换观点 ) 视点M为定点 ,令00(,)M xy，由OMAB可得直线AB的方程为0000()xyyxxy, 与抛物线24ypx联立消去y得2220000044()0pypyyxyxx,设1122(,),(,)A x yB xy，则22120004()py yxyx又因为OAOB，所以21621pyy故2220004()16pxypx即2200040 xypx所以M点的轨迹方程为2240(0)xypxx10)0,0(022yxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页