2022年三角函数的最值 .pdf
精品资料欢迎下载三角函数的最值（专题）一、知识要点1、 配方法求最值主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值 问 题 ， 如 求 函 数2s i ns i n1yxx的 最 值 ， 可 转 化 为 求 函 数21,1,1yttt上的最值问题。2、化为一个角的三角函数（利用辅助角公式），再利用有界性求最值：22sinsin()axbcoxabx，其中 tan=ab. 3、sinsinaxbycxd（或coscosaxbycxd）型，解出sinx（或cosx）利用| sin| 1x（或| cos| 1x）去解；或用分离常数的方法去解决. 4、 数形结合形如：sincosaxbycxd（或cossinaxbycxd）型，可化归为sin()( )xg y去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当ac时，还可以利用数形结合的方法去处理.常用到直线斜率的几何意义，例如求函数sin2xycox的最大值和最小值。函数sin2xycox的几何意义为两点( 2,0),(cos ,sin)PQxx连线的斜率k，5、 换元法求最值对 于 表 达 式 中 同 时 含 有sinx+cosx ， 与sinxcosx的 函 数 ， 运 用 关 系 式,cossin21cossin2xxxx一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。*特别说明注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。二、题型剖析1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。例 1：求函数2sin3 sincos1yxxx的最值，并求取得最值时的x值。练习： 1、已知函数2( )2 3sincos2cos1()f xxxxxR。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载（）求函数( )f x的最小正周期及在区间0,2上的最大值和最小值；2已知函数2( )3 sin 22sinf xxx （）求函数( )f x的最大值；3已知函数( )4cossin()16f xxx。（）求( )f x的最小正周期； （）求( )f x在区间,64上的最大值和最小值。2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。例 2 已知函数(x)f22cos 2sin4cosxxx。 （） 求()3f的值； （） 求(x)f的最大值和最小值。练习： 1、求函数f（x）=cos2x+sinx 在区间4，4上的最小值？2、函数3cos3sin2xxy的最小值为（）. A2 B . 0 C . 41D . 63、求函数y=5sinx+cos2x 的最值4、是否存在实数a，使得函数2385cossin2axaxy在闭区间2,0上的最大值是 1？若存在，求出对应的a 值？若不存在，试说明理由。例题 3。 y=xxsin2sin的最大值是 _，最小值是 _. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载练习： 1 函数 y=2sin1sin3xx的最大值是 _，最小值是 _.2、求函数sin(0)2sinxyxx的值域 _ 3、求函数1cos21cos2xxy的值域 _ 例 4 求函数 y=xxcos2sin2的最大值和最小值. 1、y=xxsincos2（0 x）的最小值是_. 2、求函数sin(0)2cosxyxx的最大值 _. 3、换元法解决xxxxcossin,cossin同时出现的题型。例 5求函数xxycos34sin34的最小值练习： 1、求 y=1+sinx+cosx+sinxcosx 的值域 . 2、函数(1sin )(1cos )yxx的最大值为_最小值为_ 思维点拨 ：遇到xxcossin与xxcossin相关的问题，常采用换元法，但要注意sincosxx的取值范围是2,2，以保证函数间的等价转化名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载小结：求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理. 基本类型（1）2sinsinyaxbxc（或2coscosyaxbxc）型，可令sintx（或costx） ，| | 1t，化归为闭区间上二次函数的最值问题. （2）sincosyaxbx型，引入辅助角，化为22sin()yabx，利用函数|sin()| 1x即可求解 . （3）sinsinaxbycxd（或coscosaxbycxd）型，解出sin x（或cosx）利用|sin| 1x（或|cos| 1x）去解；或用分离常数的方法去解决. （4）sincosaxbycxd（或cossinaxbycxd）型，可化归为sin()( )xg y去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当ac时，还可以利用数形结合的方法去处理. （ 5 ） 对 于 含 有sincos ,sincosxxxx的 函 数 的 最 值 问 题 ， 常 用 的 方 法 是 令sincos,|2,xxtt将sincosxx转化为t的关系式，从而化归为二次函数的最值问题. （6）在解含参数的三角函数最值问题中，需对参数进行讨论. 三、巩固练习：1、当20 x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为（）（A）2 （B）32（C）4 （D）342、已知 k 4，则函数y cos2xk(cosx1)的最小值是( ) (A) 1 (B) 1 (C) 2k1 (D) 2k 1 3、设0a，对于函数sin(0)sinxafxxx，下列结论正确的是（） A有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值4、已知函数11( )(sincos )sincos22f xxxxx,则( )f x的值域是（）(A)1,1(B) 2,12(C) 21,2(D) 21,2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载5、函数 y=21sin2+4sin2x,xR的值域是（）(A)-21,23(B)-23,21(C) 2122,2122(D)2122,21226、 设函数cos( ,yaxb a b为常数）的最大值为1， 最小值为 -7， 那么cossinyaxbx的最大值是. 7、设实数x,y,m,n 满足m2+n2=a,x2+y2=b(a,b 是常数，且ab)，那么mx+ny的最大值是. 8、已知函数22( )sin2sincos3cosf xxxxx，xR.求: (I) 函数( )f x的最大值及取得最大值的自变量x的集合； (II) 函数( )f x的单调增区间. 9、求函数y2)4cos()4cos(xxx2sin3的值域和最小正周期名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -
