2022年正弦函数余弦函数的性质教案 .pdf

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质三维目标1知识与技能(1)理解周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义(2)掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期2过程与方法让学生通过观察正、余弦线以及正、余弦函数图象得出正、余弦函数的周期性，并借助于诱导公式一给予代数论证这一过程，使学生学会由具体形象到抽象概括这一研究问题的方法3情感，态度与价值观让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图象所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣重点、难点重点：正弦函数、余弦函数的图象及其主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)；深化研究函数性质的思想方法难点：正弦函数和余弦函数的周期性，以及周期函数、(最小正 )周期的意义教学建议对于函数性质的研究，学生已经有些经验其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就是完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位另外，要使学生明白研究三角函数性质就是“要研究这类函数具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导1周期性可引导学生从正、余弦线，正、余弦函数图象以及诱导公式一即形与数两个方面，归纳总结“周而复始”的变化规律，给出“周期性”概念关于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页正弦函数、余弦函数的周期与最小正周期，一般只要弄清定义，并根据正弦、余弦曲线观察出结果就可以了对于学有余力的学生，可以让他们尝试证明正弦、余弦函数的最小正周期是2.2其他性质与研究周期性的方法一样，根据正弦函数、余弦函数图象及函数解析式，同样可以直观地看出这两个函数的奇偶性、单调性、最大(小)值等性质值得注意的是，对于周期函数性质的讨论，只要认识清楚它在一个周期内的性质，就可以得到它在整个定义域内的性质(1)正弦函数、余弦函数的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易所以，这一性质的研究可以交给学生自主完成(2)正弦函数、余弦函数的单调性，只要求由图象观察，不要求证明教学中要注意引导学生根据函数图象以及数学1中给出的增(减)函数定义进行描述具体的，可以先选择一个恰当的区间(这个区间长为一个周期，且仅有一个单增区间和一个单减区间)，对正弦函数在这个区间上的单调性进行描述；然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性对于余弦函数的单调性，可让学生类比正弦函数的单调性自己描述另外，从一个周期的区间推广到整个定义域上去时，学生会有些不习惯，教学中要留给学生一定的思考时间，由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数的单调区间的一般形式正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论由于问题比较简单，所以可以由学生自己去研究同样的，对于取最大(小)值时的自变量x 的一般形式，也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳教学流程课标解读1.掌握 ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值(重点 ) 2会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题(难点 ) 3了解周期函数、周期、最小正周期的含义(易混点 )知识点 1函数的周期性【问题导思】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页1观察下列实例：(1)海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次(2)钟表上的时针每经过12 小时运行一周，分针每经过1 小时运行一周，秒针每经过1 分钟运行一周上述两种现象，具有怎样的属性？【提示】周而复始，重复出现2观察正弦曲线和余弦曲线，正弦函数和余弦函数具有上述规律吗？哪个公式可以反映这种规律？【提示】具有 sin(x2k)sin x，cos(x2k)cos x. 1函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期2两种特殊的周期函数(1)正弦函数ysin x 是周期函数， 2k( k Z 且 k 0)都是它的周期，最小正周期是2.(2)余弦函数ycos x 是周期函数，2k( kZ 且 k0)都是它的周期，最小正周期是2.知识点 2正、余弦函数的奇偶性【问题导思】对于 xR，sin(x) sin x，cos(x)cos x，这说明正、余弦函数具备怎样的性质？【提示】奇偶性1对于 y sin x，x R 恒有 sin(x) sin x，所以正弦函数ysin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页2对于 y cos x，xR 恒有 cos(x)cos x，所以余弦函数ycos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称知识点 3正、余弦函数的定义域、值域和单调性【问题导思】观察正弦函数、余弦函数的图象：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页1正弦函数、余弦函数的定义域各是什么？【提示】R2正弦函数、余弦函数的值域各是什么？【提示】1,13正弦函数在2，32上函数值的变化有什么特点？余弦函数在0,2 上函数值的变化有什么特点？【提示】ysin x在 2，2上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y 由 1 增大到 1；在 2，32上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y 由 1 减小到 1；ycos x 在0， 上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1 减小到 1；在 ，2 上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由1 增大到 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页函数名称图象与性质性质分类ysin x ycos x相同处定义域RR值域1,11,1 周期性最小正周期为2最小正周期为2不同处图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页类型 1求三角函数的周期例 1求下列函数的最小正周期：(1)y sin(2x 3)；(2)y|cos x|. 【思路探究】解答本题 (1)可利用代换z2x3，将求原来函数的周期转化为求ysin z的周期再求解，或利用公式求解；(2)可通过图象求周期【自主解答】(1)法一令 z2x3，且 ysin z 的最小正周期为2. sin(2x32)sin2(x4)3，因此 sin(2x3)sin2(x 4)3奇偶性奇函数偶函数单调性在2k 2，2k 2(kZ)上是增函数； 在2k 2，2k 32 (kZ)上是减函数在2k ，2k( kZ)上是增函数； 在2k ， 2k( kZ)上减函数对称轴xk 2(kZ)xk( kZ) 对称中心(k ，0)，(k Z)(k 2， 0) (kZ) 最值x2k 2(kZ)时， ymax1；x2k 2(kZ)时，ymin 1x2k时，ymax1；x2k 时， ymin 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页由周期函数定义，T4 是 ysin(2x3)的最小正周期法二f(x)sin(2x3)的周期 T22 4. (2)作 y|cos x|的图象，如图所示：由图象知 y|cos x|的最小正周期为.规律方法1正弦函数、余弦函数的周期性，实质上是由终边相同角所具有的周期性决定的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页2对于形如yAsin(x )，yAcos(x )(A， ，为常数，且 0)函数的周期求法常直接利用T2| |来求解；形如y|Asin x |或 y|Acos x |的周期常结合函数的图象，观察求解互动探究若把例题中两个函数改为：(1)y13cos(2x3)；(2)y cos|x|，试求函数的最小正周期【解】(1)y13cos(2x3)中， 2，函数的最小正周期为T22.(2)ycos|x|cos x，ycos|x|的最小正周期T2.类型 2三角函数的奇偶性的判断例 2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2sin 2x；(2)f(x)sin(3x432)；(3)f(x)1cos xcos x1. 【思路探究】首先求出函数定义域，在定义域关于原点对称的前提下，根据f(x)与 f(x)及 f(x)的关系来判断精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页【自主解答】(1)显然 xR，f(x)2sin(2x)2sin 2x f(x)， f(x)是奇函数(2)xR，f(x)sin(3x432) cos3x4， f(x) cos3 x4 cos3x4f(x)，函数 f(x)sin(3x432)是偶函数(3)由1cos x0cos x10，得 cos x1，x2k( k Z)，此时 f(x)0，故该函数既是奇函数又是偶函数规律方法1判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义，定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的前提2要注意诱导公式在判断f(x)与 f(x)之间关系时的作用变式训练判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)2sin(2x52) ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页(2)f(x)lg(sin x1sin2x)【解】(1)函数的定义域为R，f(x)2sin(2x52)2sin(2x2)2cos 2x，显然有f(x)f(x)成立 f(x)2sin(2x52)为偶函数(2)函数定义域为R，f(x)lg( sin x1sin2x) lg1sin x1sin2x lg(sin x1sin2x) f(x)函数 f(x)lg(sin x1sin2x)为奇函数类型 3求正、余弦函数的单调区间例 3求函数 ysin(6 x)的单调递减区间【思路探究】本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将ysin(6x)化为 y sin(x6)形式，故只需求ysin(x6)的单调递增区间即可【自主解答】ysin(6x) sin(x6)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页令 zx6，则 y sin z，要求 y sin z的递减区间，只需求sin z的递增区间，即 2k 2 z2k 2，kZ， 2k 2x62k 2，k Z. 2k 3x 2k 23 ，kZ. 故函数 ysin(6x)的单调递减区间为2k 3，2k 23 ，k Z. 规律方法1求形如 yAsin(x )b 或形如 yAcos(x ) b(其中 A0， w0，b 为常数 )的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区间，通过解不等式求得2具体求解时注意两点：要把x 看作一个整体，若0，0 时，将 “x ”代入正弦 (或余弦 )函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A0 时同样方法可以求得与正弦(余弦 )函数单调性相反的单调区间变式训练求函数 y2cos(4x)的单调递增区间【解】y2cos(4x)2cos(x4)，由 2k x42k( kZ)得 2k 34 x2k 4(kZ) y2cos(4x)的单调递增区间为2k 34 ，2k 4(k Z). 类型 4有关三角函数的最值问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页例 4已知函数y1abcos x 的最大值是32，最小值是12，求函数y 4asin 3bx 的最大值【思路探究】欲求函数 y 的最大值，须先求出a，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解【自主解答】函数 y1的最大值是32，最小值是12. 当 b0 时，由题意得ab32，ab12，a12，b1.当 b0 时，由题意得ab32ab12，a12b 1. 因此 y 2sin 3x 或 y2sin 3x. 函数的最大值均为2. 规律方法1对于求形如yasin xb 或 yacos xb 的函数值域问题，一般情况下只要注意到正、余弦函数的性质“有界性 ”即可解决注意当x 有具体范围限制时，需考虑sin x 或 cos x 的范围2求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页变式训练求函数 y32cos x，x4，4的值域【解】(1)4x4，22cos x1，1cos x22，22cos x 2， 132cos x32. 故函数 y32cos x，x4，4的值域为 1,32易错易误辨析忽略弦函数值域的有界性致误典例求函数 y12cos2x5sin x 的最大值和最小值【错解】y12cos2x5sin x2sin2x5sin x 1 2(sin x54)2338338，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页函数 y12cos2x5sin x 的最小值为338，没有最大值【错因分析】根据正弦函数的图象，可以发现sin x 的值介于 1,1之间，上述解答错误地将sin x 的范围当成了实数集R，所以本题中的以sin x为自变量的二次函数的定义域不是R，而是 1,1【防范措施】定义域是函数的三要素之一，研究函数的性质一般要先考虑函数的定义域，三角函数也不例外，若忽略定义域这一细节，可能扩大自变量的取值范围而导致错误【正解】y12cos2x5sin x2sin2x5sin x 12(sin x54)2338. 令 sin xt，则 t1,1，则 y2(t54)2338. 因为函数 y 在1,1上是增函数，所以当tsin x 1 时，函数取得最小值4，当 tsin x 1 时，函数取得最大值6. 课堂小结1三角函数的最值、单调区间及三角函数值的大小比较等问题，能结合图象时一定要联系图象进行综合思考，将数形有机结合起来2讨论对称问题时一定要注意最值点、平衡点及周期的必然联系，形成思维网络3讨论三角函数的所有性质，都要在其定义域内进行当堂双基达标1下列函数中，最小正周期为 的是 () Aysin xBycos x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页Cysinx2Dycos 2x【解析】由 T2| |知 D 中函数的最小正周期为.【答案】D 2下列函数是奇函数的是() Ayx2Bycos xCysin xDy|sin x| 【解析】由奇函数定义知ysin x 为奇函数【答案】C 3函数 y cos x(0 x3)的值域是 () A1,1 B 12， 1 C0，12 D1,0 【解析】ycos x 在0，3上单调递减， cos 3ycos 0，即12y1. 【答案】B 4求函数y2sin(4x)在 ， 上的减区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页【解】y2sin(4x) 2sin(x4)令 zx4，只需求y 2sin z的减区间，即求sin z 的增区间由 2k 2 x42k 2， kZ， 2k 4x 2k 34 ，kZ. 又 x ，令 k0，则4x34 ，所求函数在 ， 上的减区间是 4，34 .课后知能检测一、选择题1正弦函数ysin x，xR 的图象的一条对称轴是() Ay 轴Bx 轴C直线 x2D直线 x【解析】当 x2时， y 取最大值， x2是一条对称轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页【答案】C 2函数 y sin(2x )(0 )是 R 上的偶函数，则的值是 () A0B.4C.2D【解析】当 2时， ysin(2x2)cos 2x，而 ycos 2x 是偶函数，故选C. 【答案】C 3函数 y 12cos2x 的最小值，最大值分别是() A 1,3 B 1,1 C0,3 D0,1 【解析】 cos2x1,1，2cos2x2,2， y12cos2x1,3， ymin 1，ymax3. 【答案】A 4函数 f(x)3sin(x6)在下列区间内递减的是() A2，2 B ，0 C23 ，23 D2，23 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页【解析】令 2k 2x62k 32，kZ 可得2k 3x2k 43，k Z，函数 f(x)的递减区间为 2k 3，2k 43，k Z. 【答案】D 5下列关系式中正确的是() Asin 11cos 10 sin 168Bsin 168sin 11cos 10 Csin 11sin 168cos 10 Dsin 168cos 10 sin 11【解析】 sin 168 sin(180 12 )sin 12 ，cos 10 sin(90 10 )sin 80 . 由正弦函数的单调性得sin 11sin 12sin 80，即 sin 11sin 1680 时， f(x)sin 2xcos x则 x0 时， f(x)_. 【解析】当 x0，f(x)sin(2x)cos(x)， f(x) sin 2xcos x. f(x)为奇函数， f(x) f(x)， f(x) sin 2xcos xsin 2xcos x. 【答案】sin 2xcos x三、解答题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页9判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sin(2x32)；(2)f(x)sin x 1sin x1sin x. 【解】(1)函数 f(x)的定义域是R，f(x)sin(2x32) cos 2x， f(x) cos(2x) cos 2xf(x) f(x)是偶函数(2)由题意，知sin x1，即 f(x)的定义域为 x|x2k 2 ，kZ，此函数的定义域不关于原点对称 f(x)是非奇非偶函数10求函数y3sin(3x2)的单调递增区间【解】y3sin(3x2) 3sin(x23)由2 2k x23322k ，kZ，解得：534k x113 4k ，k Z，函数 y3sin(3x2)的单调增区间为534k ，1134k ( kZ)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页11已知函数f(x) 2asin(2x3)b 的定义域为 0，2，最大值为1，最小值为 5，求 a 和 b 的值【解】0 x2，3 2x323 ，32sin(2x3) 1，易知 a 0. 当 a0 时， f(x)max2ab 1，f(x)min3ab 5. 由2ab13ab 5，解得a12 6 3b 23123. 当 a0 时， f(x)max3ab1，f(x)min 2ab 5. 由3ab12ab 5，解得a 126 3b19123. 【教师备课资源】1比较大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页比较下列各组值的大小(1)sin 215与 sin 425 ；(2)sin 194与 cos 160 . 【思路探究】(1)首先将角215和425化为 0,2内的角，再依据单调性比较大小(2)先化为同名函数再进行比较【解】(1)由于 sin 215sin(45)sin 5，sin 425sin(825)sin 25. 又 05252，而 ysin x 在0，2上单调递增，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页所以 sin 5sin 25，即 sin 215sin 425. (2)由于 sin 194sin(180 14 ) sin 14，cos 160 cos(180 20 ) cos 20 sin 70，又 0 14 70 90 ，而 ysinx 在0，2上单调递增，所以 sin 14 sin 70，即 sin 194cos 160. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页借助正弦、余弦函数的单调性可以比较两个三角函数值的大小，关键是将两个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函数值对于正弦函数来说，一般将两个角转化到2，2或2，32内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到 ，0或0， 内比较下列各组数的大小：(1)sin(320 )与 sin 700；(2)cos178与 cos379 . 【解】(1) sin(320 )sin(360 40 ) sin 40，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页sin 700sin(72020 )sin( 20 )，又函数 ysin x 在 2，2上是增函数， sin 40sin(20 )， sin(320 )sin 700. (2)cos178cos(28) cos8，cos379cos(49)cos9，又函数 ycos x 在0， 上是减函数， cos8cos9， cos178cos379. 2知识拓展正弦函数、余弦函数图象对称性的应对策略(1)由正弦曲线和余弦曲线可知：函数 ysin x和 ycos x 既是中心对称图形，又是轴对称图形ysin x 的对称中心为(k ，0)(kZ)，对称轴为xk 2(kZ)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页ycos x 的对称中心为 (k 2，0)(kZ)，对称轴为xk( kZ)(2)例如：若函数f(x)sin xacos x的图象关于直线x6对称，则a_. 【解析】可先对 f(x)的解析式化简，要求其对称轴方程，使其中的一个对称轴方程为x6，从而求出a 的值，也可用特例法来求解： f(x)的图象关于直线x6对称， f(0)f(3)，即 asin3acos3， a3，故填3. 【答案】3 (3)由函数图象的对称性可知：若 f(x)sin x，且 f(ax)f(ax)对任意实数x 恒成立，则ak 2(kZ)若 f(x)cos x，且 f(a x) f(ax)对任意实数x 恒成立，则a k( kZ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页