2022年不等式及不等式选讲【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】 .pdf

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式及不等式选讲（4-5 ）一不等式的性质 ：1 同向不等式可以相加； 异向不等式变向相加 ： 若,ab cd， 则 acbd（若,ab cd，则()()acbd） ，但异向不等式不可以直接相加；同向不等式不可以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除； 异向不等式取倒相乘 ，但不能相除：若0,0abcd，则 acbd （若0,0abcd，则11abcd） ；3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0ab，则nnab或nnab；4若0ab， ab，则11ab；若0ab， ab，则11ab。如（1）对于实数cba,中，给出下列命题：22,bcacba则若；babcac则若,22；22,0bababa则若；baba11,0 则若；baabba则若, 0；baba则若,0；bcbacabac则若, 0；11,abab若，则0,0ab。其中正确的命题是 _ （答：）；（2）已知11xy，13xy，则3xy的取值范围是 _ （答：137xy） ；二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式） ；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法；8图象法。 其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设0, 10taa且，比较21loglog21ttaa和的大小（答：当1a时，11loglog22aatt（1t时取等号）； 当 01a时，11loglog22aatt（1t时取等号） ；（2）设2a，12paa，2422aaq，试比较qp,的大小（答： pq） ；（3）比较 1+3logx与)10(2log2xxx且的大小（答：当 01x或43x时，1+3logx2log2x； 当413x时，1+3logx2log2x； 当43x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 时，1+3logx2log2x）三利用基本不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这 17 字方针。 如（1）下列命题中正确的是A、1yxx的最小值是 2 B、2232xyx的最小值是 2 C、423(0)yxxx的最大值是24 3D、423(0)yxxx的最小值是24 3（答： C） ；（2）若21xy，则 24xy的最小值是 _ （答：2 2） ；（3）正数,x y满足21xy，则yx11的最小值为 _ （答：32 2） ；四. 常用不等式 有： （1）2222211abababab(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，222abcabbcca（当且仅当 abc时，取等号 本质就是排序不等式你看出来了吗？ ） ； （3）若0,0abm，则bbmaam（糖水的浓度问题）。如 如果正数a、b满足3baab，则ab的取值范围是 _ （答： 9,）五证明不等式的方法 ：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1 的大小，然后作出结论。 ). 常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1nnn nnn nnn（裂项法 ）11111121kkkkkkkkk（有理化）如（1）已知cba，求证：222222cabcabaccbba；(2) 已知Rcba,，求证：)(222222cbaabcaccbba；（3）已知, , ,a b x yR，且11,xyab，求证：xyxayb；(4) 若 a、b、c 是不全相等的正数，求证：lglglglglglg222abbccaabc；（5）已知Rcba,，求证：2222a bb c22()c aabc abc；(6) 若*nN，求证：2(1)1(1)nn21nn；(7) 已知| |ab，求证：|abababab；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - （8）求证：2221111223nL。六简单的一元高次不等式的解法：根轴法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； （2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿 ； （3）根据曲线显现( )fx的符号变化规律，写出不等式的解集。 如（1）解不等式2(1)(2)0 xx。（答：|1x x或2x） ；（2）不等式2(2)230 xxx的解集是 _ （答：|3x x或1x） ；（3）设函数( )f x、( )g x的定义域都是R，且( )0f x的解集为|12xx，( )0g x的解集为，则不等式( )( )0f xg xg的解集为 _ （答：(,1)2,)U） ；（4）要使满足关于x的不等式0922axx（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式08603422xxxx和中的一个，则实数a的取值范围是 _. （答：817,)8）七分式不等式的解法 ：分式不等式的一般解题思路是先移项 使右边为 0，再通分 并将分子分母分解因式， 并使每一个 因式中 最高次项 的系数为正 ，最后用根轴法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但 分母恒为正或恒为负时可去分母（或者说在已知条件给出的范围内分母符号可判断，也可去分母） 。如（1）解不等式25123xxx（答：( 1,1)(2,3)U） ；（2）关于x的不等式0bax的解集为), 1(，则关于x的不等式02xbax的解集为_ （答：),2()1,(）.八绝对值不等式的解法：1零点分段法（ 最后结果应取各段的并集） ：如解不等式|21|2|432|xx（答： xR） ；2利用绝对值的定义；3数形结合； 如解不等式|1|3xx（答：(,1)(2,)U）4两边平方： 如若不等式| 32 | |2|xxa对 xR恒成立，则实数a的取值范围为 _。（答：43）九含参不等式的解法 ：求解的通法是“ 定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键 ”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是” 。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论， 最后应求并集即 讨论变量一致时先交后并， 否则不予交并 .如名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - （1）若2log13a，则a的取值范围是 _ （答：1a或203a） ；（2）解不等式2()1axx aRax（答：0a时，|x0 x；0a时，1|x xa或0 x；0a时，1|0 xxa或0 x）提醒： （1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式0bax的解集为) 1 ,(，则不等式02baxx的解集为 _（答： （1,2） ）十含绝对值不等式的性质：ab、 同号或有 0| |abab| |abab；ab、 异号或有 0| |abab| |abab. 如设2( )13f xxx，实数a满足| 1xa，求证：|( )( ) |2(| 1)f xf aa十一不等式的（恒成立、能成立、恰成立）等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1). 恒成立问题若不等式Axf在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上minfxA若不等式Bxf在区间 D 上恒成立 , 则等价于在区间 D 上maxfxB如（1）设实数, x y满足22(1)1xy，当0 xyc时，c的取值范围是 _ （答：21,） ；（2）不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围 _ （答：1a） ；（3）若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值范围 _ （答： （712,312） ） ；（4）若不等式nann1)1(2) 1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 _ （答：3 2,)2） ；（5）若不等式22210 xmxm对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围 . （答：12m）2).能成立问题若在区间 D 上存在实数x使不等式Axf成立, 则等价于在区间 D 上maxfxA；若在区间 D 上存在实数x使不等式Bxf成立, 则等价于在区间 D 上的minfxB. 如已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围 _ （答：1a）3).恰成立问题名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 若不等式Axf在区间 D 上恰成立 , 则等价于不等式Axf的解集为 D ；若不等式Bxf在区间 D 上恰成立 , 则等价于不等式Bxf的解集为 D . 十二二维柯西不等式1. 定理 1 （代数形式）：若 a、b、c、 dR，则 (a2b2) (c2d2)(acbd)2 （当且仅当adbc 时，等号成立）如 已知 2x4y3，则 x2y2的最小值是 _（答：920）【析】 x2y2(x2y2)(416)120120(x 2y 4)2920.当且仅当4x2y，即 y2x，即 x310，y35时等号成立，2. 定理 2 （向量形式）：设 、是两个向量，则| | | | （当且仅当是零向量或存在实数k，使 k 时即 共线 ，等号成立）3. 定理 3 （三角形式）：设 x1，y1， x2， y2 R，那么x21y21x22y22x1x22 y1y22（当且仅当P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0,0)三点共线且P1， P2在 O 两侧 时，等号成立）例 已知 2x4y3，则 x2y2的最小值是 _（答：920）十三排序不等式1顺序和、乱序和、反序和的概念设a1a2 a3 an，b1b2b3 bn为两组实数，c1，c2， cn是b1，b2， bn的任一排列，则称ai与bi(i 1,2 ，n) 的相同顺序相乘所得积的和a1b1a2b2 anbn为顺序和， 和a1c1a2c2 ancn为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1bna2bn1 anb1称为反序和2排序不等式 ( 排序原理 ) 设a1a2 an，b1b2 bn为两组实数，c1， c2， cn是b1，b2， bn的任一排列，则a1bna2bn1 anb1 a1c1 a2c2 ancna1b2a2b2 anbn， 当且仅当a1a2 an或 b1b2bn时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和乱序和顺序和如已知 a、b、c 是正数，求证：b2c2 c2a2 a2b2abc abc. （提示：不妨先证b2c2c2a2a2b2abc2ab2ca2bc）十四数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当 nn0时命题成立； （n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数，不是一定从1 开始 ）(2)假设当 nk(kN*，kn0)时命题成立，证明_n k1 时命题也成立在完成了这两个步骤后，则断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法如用数学归纳法证明：(3n1) 7n1 能被 9 整除 (nN*)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -