2022年三角函数周期题库 .pdf

学习必备欢迎下载三角函数周期的求法高中数学涉及到函数周期的问题，学生往往感到比较困难。以下是有关三角函数周期的几种求法。1定义法：定义：一般地 c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，（ T）（）都成立，那么就把函数 ( )叫做周期函数； 不为零的常数叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数来说， 如果在所有的周期中存在着一个最小的正数， 就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例 1求函数 y=3sin （332x）的周期解： y=f （x）=3sin （332x）=3sin （332x+2 ）=3sin （3232x）=3sin3)3(32x = f（x+3 ）这就是说， 当自变量由增加到x+3 ，且必增加到 x+3 时，函数值重复出现。函数 y=3sin （332x）的周期是 T=3 。例 2：求 f （x）=sin6x+cos6x 的周期解f （x+2）= sin6（x+2）+ cos6（x+2） = cos6x +sin6x= f （x）f （x）=sin6x+cos6x 的周期为 T=2例 3：求 f （x）=xxxx3coscos3sinsin的周期解： f（x+）=)cos()cos()(3sin)sin(xxxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载=xcoxxx3cos3sinsin=xxxx3coscos3sinsin= f （x）求 f（x）=xxxx3coscos3sinsin的周期： T=2公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （x） 、y=Acos（x） 、tg（x）形成（其中 A、 、 为常数，且 A 0、0、R） ，则可知道它们的周期分别是：2、2、。例 4：求函数 y=1-sinx+3cosx 的周期解： y=1-2（21 sinx-23cosx）=1-2（cos3sinx-sin3 cosx ）=1-2sin （x-3）这里=1 周期 T=2例 5：求： y=2（23sinx-21cos3x）-1 解： y=2（23sinx-21cos3x）-1 =2sin （3x-6）-1 这里=3 周期为 T=32例 6：求 y=tg （1+53 x）的周期解：这里=53，周期为： T= /53=35（2）如果 f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成 sinx、cosx、tgx 的形式，再确定它的周期。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 7：求 f （x）=sinx cosx 的周期解： f （x）=sinx cosx=21sin2x 这里=3，f （x）=sinx cosx 的周期为 T=例 8：求 f （x）=sin2x 的周期解： f（x）=sin2x=22cos1x而 cos2x 的周期为，f （x）=sin2x 的周期为 T=注：以上二题可以运用定义求出周期。例 9：求 y=sin6x+ cos6x 的周期解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。y=sin6x+ cos6x = （sin2x+ cos2x） （sin4x-sin2xcos2x+ cos4x） =( sin2x+ cos2x)2-3 sin2xcos2x =1-3 sin2xcos2x =1-43 sin22x =85+83cos4x 而 cos4x 的周期为 T=42=2, y= sin6x+ cos6x 的周期为 T=2例 10：函数 y=3sin2x-23sinx cosx+5cos2x 的周期。解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。y=3sin2x-23sinx cosx+5cos2x =3-23sinx cosx+2cos2x =3-3sin2x+cos2x+1 =4+2(21cos2x-23sin2x =4+2cos(2x+3) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载y=3sin2x-23sinx cosx+5cos2x 的周期为 T=223定理法：如 果f(x)是 几 个 周 期 函 数 代 数 和 形 式 的 ， 即 是 ： 函 数f(x)=f1(x)+f2(x) ，而 f1(x) 的周期为 T1, f2(x) 的周期为 T2，则 f(x)的周期为 T=P2T1=P1T2，其中 P1、P2N，且（P1、P2）=1 事实上，由2121PPTT（既约分数），得 T= P2T1=P1T2f （x+ P1T2）=f1（x+ P1T2）+f2（x+ P1T2） =f1（x+ P2T1）+ f2（x+ P1T2） = f1（x）+ f2（x） =f（x）P1T2是 f （x）的周期，同理 P2T1也是函数 f（x）的周期。例 11：求函数 y=tg6x+ctg8x的周期。解： y=tg6x 的周期为 T1=6，tg8x 的周期为 T2=8由 P1T2= P2T1，得21TT=21PP=34，取 P1=4，P2=3 y=tg6x+ctg8x 的周期为 T= P1T2=2。例 12：求函数 y=sin2x+sin3x的周期解： sin2x 的周期为 T1=，sin3x 的周期为 T2=32而21TT=23，即是 T=2T1=3T2，y=sin2x+sin3x的周期为 T=2T1=2例 13：求函数 y=cos3x+sin4x的周期的恒等式，即对于自变量x取定义域内的每个值时，上式都成立2、根据公式求周期名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载对于函数BxAy)sin(或BxAy)cos(的周期公式是|2T，对于函数BxAy)tan(或Bxy)cot(的周期公式是|T例 3 求函数)623sin(3xy的周期解：34232T3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例 4 求函数xxxy2sin2cossin32的周期解：12cos2sin3sin2cossin322xxxxxy1)62sin(21)2cos212sin23(2xxx22T例 5 已知函数),3cos3(sin3sin)(xxxxf求周期解：32sin21)32cos1(213cos3sin3sin)(2xxxxxxf)432sin(2221)32cos32(sin2121xxx3322T名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4、遇到绝对值时，可利用公式2|aa, 化去绝对值符号再求周期例 6 求函数|cos|xy的周期解：22cos1cos|cos|2xxxy22T例 7 求函数|cos|sin|xxy的周期解：xxxxxxy2si1|2si|1|cos|sin|cos|sin|22)4cos1(21124cos11xx函数|c os|sin|xxy的最小正周期242T5、 若函数)()()(21xfxfxfyk， 且)(,),(),(21xfxfxfk，都是周期函数，且最小正周期分别为kTTT,21，如果找到一个正常数T, 使kkTnTnTnT2211，(knnn,21均为正整数且互质)，则T就是)()()(21xfxfxfyk的最小正周期例 8 求函数xxy21cossin的周期解：xsin的最小正周期是21T，x21cos的最小正周期是42T名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 函数y的周期2211TnTnT， 把21TT ，代入得2142nn，即212nn，因 为21,nn为 正 整 数 且 互 质 ，所 以1,221nn函数xxy21cossin的周期42211TnT例 9 求函数xxy43cos32sin的周期名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载函数的周期性-函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中 突然 出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。二、建构知识网络1.函数的周期性定义：若 T 为非零常数， 对于定义域内的任一x， 使 恒成立，则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的2.若 T 是周期，则kT（k0,kZ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C ；3.若函数 f(x) 对定义域内的任意x 满足： f(x+a)=f(x a),则 2a为函数 f(x) 的周期。（若 f(x) 满足 f(a+x)=f(a x)则 f(x) 的图象以 x=a 为图象的对称轴，应注意二者的区别) 4.若函数 f(x) 图象有两条对称轴x=a 和 x=b，（ab） ， 则 2 （b-a）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载是 f（x）的一个周期5.若函数 f(x) 图象有两个对称中心（a，0） ， （b，0） （ab） ，则 2（b-a）是 f（x）的一个周期。(证一证 ) 6.若函数 f（x）有一条对称轴x=a 和一个对称中心（b，0）（a0,使 ，则 的一个周期是，f(px) 的一个正周期是；5.数列 中简答精讲： 1、B；2、A；3、993；因（ -1，0）是中心， x=0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载是对称轴，则周期是4；4、 ， ；5、 ；由已知，周期为6。四.经典例题做一做【例 1】已知 f(x) 是以 2 为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)=x+1. 求 f(x) 在(1,2)上的解析式。解法 1： （从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。） x(1,2), 则-x(-2,-1), 2-x(0,1), T=2,是偶函数 f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x(1,2). 解法 2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图： x(0,1), f(x)=x+1. 是偶函数x(-1,0)时 f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期为 2， x(1,2)时 x-2（ -1，0）f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x. 提炼方法： 1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的 (1,2)上向已知的 (0,1)上转化 ; 2.用好数形结合 ,对解题很有帮助. 【例 2】f(x) 的定义域是R，且 f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若f(0)=2008, 求 f(2008)的值。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解：周期为 8，法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为 8，须再验证。方法提炼：1.求周期只需要弄出一个常数; 2.注意既得关系式的连续使用. 【例 3】若函数在 R 上是奇函数，且在上是增函数，且. 求的周期；证明 f(x) 的图象关于点 (2k,0) 中心对称 ;关于直线 x=2k+1轴对称 , (kZ ); 讨论 f(x) 在(1,2)上的单调性；解: 由已知 f(x)= f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期 T=4. 设 P(x,y)是图象上任意一点,则 y=f(x), 且 P 关于点 (2k,0)对称的点为 P1(4k-x,-y).P 关于直线 x=2k+1 对称的点为P2(4k+2-x,y). f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,点 P1 在图象上 ,图象关于点 (2k,0)对称 . 又 f(x) 是奇函数 ,f(x+2)=-f(x)=f(-x) f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, 点 P2 在图象上 ,图象关于直线2k+1 对称 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载设 1x1x22, 则-2-x2-x1-1, 02-x22-x11. f(x) 在(-1,0)上递增 , f(2-x1)f(2-x2) (*) 又 f(x+2)=-f(x)=f(-x) f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2). (*) 为 f(x2)f(x1),f(x) 在(1,2)上是减函数 . 提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。【研究 .欣赏】 已知函数 y=f(x) 是定义在 R 上的周期函数， 周期 T=5，函数 y=f(x)(-1 x1)是奇函数 .又知 y=f(x) 在0,1上是一次函数，在1,4 上是二次函数，且在x=2 时函数取得最小值 -5. 证明：；求的解析式；求 在 上的解析式 . 解： 是以 为周期的周期函数， 且在 -1,1上是奇函数， ， . 当时，由题意可设，由 得 ， ， . 是奇函数，又知在 上是一次函数，可设，而 ， ，当时，从而 时，故 时， . 当时，有， . 当 时，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 . 五提炼总结以为师1.函数的周期性及有关概念; 2.用周期的定义求函数的周期; 3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系; 同步练习27 函数的周期性【选择题】1.f（x）是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T，则 f（）的值为A.0 B. C.T D.2.（2004 天津）定义在R 上的函数 f（x）既是偶函数又是周期函数 .若 f（x）的最小正周期是，且当x0， 时，f（x）=sinx，则 f（ ）的值为A. B. C.D. 【填空题】3.设 是定义在上，以 2 为周期的周期函数，且为偶函数，在区间 2，3上， = ,则= 4.已知函数 f(x) 是偶函数，且等式f(4+x) f(4-x) ，对一切实数 x 成立，写出f(x) 的一个最小正周名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5.对任意 xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且 f(0)=6,f(4)=3, 则 f(69)= 6.设 f(x) 定义在 R 上的偶函数，且 ， 又当 x(0， 3时， f(x)=2x ，则 f(2007)= 。答案提示： 1、A；由 f（ ）=f（ +T）=f（）=f（ ） ，知 f（ ）=0.（或取特殊函数f（x）=sinx）2、D； f（ ）=f（ 2） =f（ ）=f（ ）=sin = . 3、 ; 4、8；5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3) f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是 6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -6 6、，周期 T=6， F(2007)=f(3)=6 【解答题】7.设函数 f(x) 的最小正周期为2002，并且 f(1001+x)=f(1001x)对一切 xR 均成立，试讨论f(x) 的奇偶性 . 解: 周期是 2002, f(2002+x)=f(x), 又由 f(1001+x)=f(1001 x)得 f(2002-x)=f(x) 对任意的x 都有 f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数 . 8.设 f(x) 为定义在实数集上周期为2 的函数，且为偶函数，已知 x2,3 时 f(x)=x ，求 x-2,0 时 f(x) 的解析式。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分析：由 T=2 可得 x-2,-1 和 x0,1时的解析式；再由奇偶性可得 -1，0上的解析式。解：因为函数f(x) 是 T=2 的周期函数，所以f(x+2)=f(x). 又由于 f(x) 为偶函数，故所以解析式为9.设 f(x) 是定义在（ -，+）上的函数，对一切xR 均有f(x)+f(x+2)=0 ，当 -1x1 时， f(x)=2x-1 ，求当 1x3 时，函数 f(x) 的解析式。思路分析：f(x)+f(x+2)=0 f(x)=-f(x+2) 该式对一切xR 成立， 以 x-2 代 x 得： f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x) 当 1x3 时， -1x-2 1， f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 f(x)=-f(x-2)=-2x+5，f(x)=-2x+5 （10) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）()( )f xaf x，或()(fxafxa或)0)()(1)(xfxfaxf， 或1()( )f x af x( ( )0)f x, 则)(xf的周期T=2a；例 1： 设( )f x是定义在R上的奇函数，(4)( )f xf x且(3)f5 ， 则(21f _ ，(2005)f_ 答：5， 5 例 2：设( )fx是定义在R上的偶函数，且满足1(2)( )f xfx， 当0 x 1 ，( )f x2x ， 则( 7 . 5 )f_ 答：1 例 3： 设( )f x是 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， 且(2)(2)f xf x，(1)f2，则(2ff_ 答： 2 (3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212( )1()()1,0|2 )f af xf xxxa，或()()f xaf xa则)(xf的周期 T=4a；(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. (7) 若 f(a + x)=f(a x) 且 f(x) 是偶函数 ,则 y=f(x) 是周期为 2a 的周期函数；若 f(a + x)=f(a x) 且 f(x) 是奇函数 ,则 y=f(x) 是周期为 4a 的周期函数。（8）若 f(a + x)= f(ax) 且 f(x) 是偶函数,则 y=f(x) 是周期为 4a 的周期函数；若 f(a + x)= f(ax) 且 f(x) 是奇函数,则 y=f(x) 是周期为 2a 的周期函数。（9）若 y=f(x) 关于点 (a,0),(b,0)对称，则 f(x)是周期为 2ba的周期函数；（10）y=f(x) 的图象关于直线x=a,x=b(ab)对称，则函数y=f(x) 是周期为 2ba的周期函数；（11）如果函数( )yf x的图像有一个对称中心( ,0)A a和一条对称轴()xb ab，则函数( )yf x必是周期函数，且一周期为4 |Tab；三.练习1 、 函 数fx对 于 任 意 实 数x满 足 条 件12fxfx，若15,f则5ff_ 2、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)= f(x),则,f(6)的值为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D)2 3已知函数)(xfy是一个以4 为最小正周期的奇函数，则)2(f（）A0 B 4 C4 D 不能确定4定义在 R上的函数)(xfy为周期函数， 最小正周期为T，若函数)(xfy，),0(Tx时有反函数Dxxfy),(1，则函数)(xfy，)3,2(TTx的反函数为 （）ADxxfy),(1BDxTxfy),2(1C DxTxfy),2(1DDxTxfy,2)(16函数 f (x) 为奇函数且 f (3x+1)的周期为 3，f (1)=1，则 f (2006)等于A0 B1 C一 1 D2 7 设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10 x时，xxf)(，则)5 .47(f等于 _ (答：5.0)；8 定义在R上的偶函数( )f x满足(2)( )f xf x，且在 3, 2上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则(sin),(cos)ff的大小关系为 _ (答：(sin)(cos)ff)；9 已知( )f x是偶函数，且(1)f=993，( )g x=(1)f x是奇函数，求(2005)f的值(答：993)；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载10设fx是 定 义 域 为R的 函 数 ， 且21fxfx1fx，又222f，则2006f= (答：222)11 已知定义在R上的函数( )f x是以 2 为周期的奇 函 数 ， 则 方 程( )0f x在 2,2上 至 少 有_个实数根（答： 5）12 已知( )f x是定义在R上的函数，(10)(10)fxfx且(20)(20)fxfx，则( )f x 是（）A. 周期为 20 的奇函数 B. 周期为 20 的偶函数C. 周期为40 的奇函数 D. 周期为 40 的偶函数（答： C）13. ( )(5)( )0,(2)1(2008)f xxf xf xffRR为上的奇函数，对任意，都有若，函数周期性分类解析一定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使 恒成立则 f(x) 叫做周期函数， T 叫做这个函数的一个周期。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载二重要结论1、 ，则 是以 为周期的周期函数；2、若函数 y=f(x) 满足 f(x+a)=-f(x)(a0),则 f(x) 为周期函数且2a 是它的一个周期。3、 若函数，则 是以 为周期的周期函数4、 y=f(x)满足 f(x+a)= (a0),则 f(x) 为周期函数且2a 是它的一个周期。5、若函数y=f(x)满足 f(x+a)= (a0),则f(x) 为周期函数且2a 是它的一个周期。6、 ，则 是以 为周期的周期函数. 7、 ，则 是以 为周期的周期函数. 8、 若函数y=f(x)满足 f(x+a)= (xR，a0), 则 f(x) 为周期函数且 4a是它的一个周期。9、 若 函 数y=f(x)的 图 像 关 于 直 线x=a,x=b(ba) 都对称 , 则 f(x) 为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。10、函数的图象关于两点、都对称，则函数是以 为周期的周期函数；11、函数的图象关于和直线都对称，则函数是以 为周期的周期函数；12、若偶函数 y=f(x)的图像关于直线x=a名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载对称，则f(x) 为周期函数且2 是它的一个周期。13、 若奇函数 y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x) 为周期函数且4 是它的一个周期。14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a0),则 f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。15、若奇函数 y=f(x) 满足 f(x+T)=f(x)(xR，T0), 则 f( )=0. 三、典例讲解例 1（05. 福建 12） 是定义在 R上的以 3 为周期的奇函数，且在区间（ 0，6）内解的个数的最小值是（）A6 B7 C4 D5 例 2. 设函数的定义域为R， 且对任意的x，y 有 ，并存在正实数c，使 。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载例 3. 已知是定义在R 上的函数，且满足： ，求的值。例 4. （2009 江西卷文）已知函数是 上的偶函数，若对于，都有，且当时， ，则的值为（）A BCD例 5. （天津卷 05）设 f(x) 是定义在 R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _ 例 6（07 安徽）定义在R 上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则 可能为（） A.0 B.1 C.3 D.5 四、巩固练习已知偶函数是以为周期的周期函数，且当 时， ，则的值为2 设函数是定义在上的奇函数，对于任意名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载的 ，都有，当 时， ，则3 知 是定义在实数集上的函数， 满足 ，且时， . 求 时， 的表达式；证明 是 上的（一）奇偶性周期性对称性全总结（二） 奇偶函数定义、判断（前提是定义域须关于原点对称）（2010 广东理数） 若函数 f（x）=3x+3-x与 g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则DA f （ x ） 与g（ x ） 均 为 偶 函 数B. f（x）为偶函数， g（x）为奇函数C f （ x ） 与g（ x ） 均 为 奇 函 数D. f（x）为奇函数， g（x）为偶函数（二）奇偶函数性质（1）满足定义式子（ 2）在原点有定义的奇函数有0)0(f（3）两个偶函数之和、差、积、商为偶函数；（4）两个奇函数之和、差为奇函数；积（商）为偶函数； （5）一个奇函数和偶函数之积、商为奇函数 （6）任意函数名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载)(xf均可表示成一个奇函数)()(21)(xfxfxg与一个偶函数)()(21)(xfxfxh的和（ 7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（ 8）图形的对称性例 1：（2009 重庆卷理）若1( )21xf xa是奇函数，则a变式： ( 江西师大附中20XX 届高三上期中 )已知定义域为R的函数abxfxx122)(是奇函数 .求a, b的值；例 2： （08 上海卷）若函数( )()(2 )f xxa bxa（常数 abR，）是偶函数，且它的值域为4， ，则该函数的解析式( )f x224x练习： （2010 山东） 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当x0 时， f(x)=2x+2x+b(b 为常数 ) ， 则f(-1)=D (A) 3 (B) 1 (C)-1(D)-3（三） 周期性：定义、判断常见具有周期性的函数)()(xfaxf)(1)()(1)(xfaxfxfaxf或)(1)(1)(xfxfaxf或)(1)(1)(xfxfaxf（四）对称性：判断、性质（1）一个函数的对称性：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1 、函 数)(xfy关 于ax对 称)()(xafxaf或)2()(xafxf或)2()(xafxf显然：特殊的有偶函数关于y（即 x=0）轴对称，则有关系式)()(xfxf；一般的有)()(xbfxaf，函数)(xfy关于直线22)()(baxbxax对称2、函数)(xfy关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成或bxfxaf2)()2(显然特殊的有奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf一般的有cxbfxaf)()(，函数)(xfy关于点)2,2(cba对称3、函数自身不可能关于by对称，曲线则可能例： （2010 四川理数） 函数 f( x) x2mx1的图像关于直线x1 对称的充要条件是A （A）2m（B）2m（C）1m（D）1m（2）两个函数的对称性：1、)(xfy与)(xfy关于 X 轴对称。2、)(xfy与)( xfy关于 Y 轴对称。3、)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。4、)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载5、)2(2)(xafbyxfy与关于点 (a,b) 对称。6、)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。7、)()(1xfyxfy与关于直线xy对称例： （08 全国 2）函数1( )fxxx的图像关于（ C ）A y轴对称B 直线xy对称C 坐标原点对称D 直线xy对称练习：（2010 重庆理数）函数412xxfx的图象DA. 关于原点对称B. 关于直线y=x 对称C. 关于 x轴对称D. 关于 y 轴对称（2009 全国卷）函数22log2xyx的图像（A） 关于原点对称（B）关于主线yx对称（C） 关于y轴对称（ D）关于直线yx对称（四）三性的综合应用（08湖北卷6）已知( )f x在R上是奇函数，且2(4)( ),(0, 2)( )2,(7)f xfxxfxxf当时，则A A.-2 B.2 C.-98 D.98 （08四川卷）函数fx 满足213fxfx，若12f，则99f( C) （） 13（）2（）132（）213名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（2010 安徽理数）若 f(x) 是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2 则)4()3(ff的值为（）A、1B、1 C、2D、2 （09 江西卷 ）已知函数( )f x是(,)上的偶函数，若对于0 x，都有(2()fxfx），且当0, 2)x时，2( )log (1f xx），则( 2008)(2009)ff的值为 ( C )A2B1C1D2 (09 东兴十月 )定义在 R上的函数)(xf的图象关于点o,43对称，且满足)23()(xfxf，1)1(f，2)0(f，则)2006(.)2()1 (fff_ 2009 广东三校一模） 定义在R上的函数xf是奇函数又是以2为周期的周期函数, 则741fff等于( B ) A.-1B.0C.1D.4 （2009 全国卷理）函数( )f x的定义域为R，若(1)f x与(1)f x都 是 奇 函 数 ，2)1(f则)2009(f( D )A 、2009 B、 -2009 C 、-2 D.、2名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 31 页，共 35 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载熟悉并理解上述结论，可帮助我们快速完成下列习题。 若)x2(fy的图象关于直线2ax和)ab(2bx对称，则)x(f的一个周期为A. 2baB. )ab(2C. 2abD. )ab(4 设函数)x(fy是定义在R上的偶函数， 它的图象关于直线2x对称，已知2,2x时，函数1x)x(f2，则2,6x时，)x(f. （2007 天津， 7）在R上定义的函数)x(f是偶函数，且)