2022年河北省正定中学2013届高三上学期第四次月考数学理试题 .pdf
正定中学2013 届高三上学期第四次月考数学理试卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地（1）已知i为虚数单位，复数221zii地实部为a，虚部为b，则logab= ( ) A0 B l C2 D3 （2）命题 “ 有地三角形是等腰三角形” 地否定为 ( ) A 存 在 一 个 三 角 形 不 是 等 腰 三 角 形 来 源 : http:/ B所有地三角形不都是等腰三角形C任意地三角形都不是等腰三角形D有地三角形可能是等腰三角形（3）执行如图所示地程序框图，输出地s值为A 3 B12C13D2 （4）设等比数列na地前n项之和为nS，若2580,aa则53SS地值为（）A113 B317 C3 D2 （5）已知向量(2,1),10,| 5 2,|aa babb则= ( ) A5 B10 C5 D25 （6）右图为某几何体地三视图，则该几何体地体积为( ) A32 B53 C43D76（7）从 8 名女生， 4 名男生选出6 名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同地抽取方法种数（）A2448CC B3438CC C612C D2448AA（8）已知 02且12cos()sin()2923，则cos()=（）A239729 B. 239729 C. 724D724精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页（9）已知点P是双曲线22149xy上一点，12,F F是双曲线地左、右焦点，则12PF F地内切圆与x轴切点地横坐标是（）A 2 B2 C 2 或 2 D不能确定（10）ABC地顶点B在平面内，点A,C在地同一侧，BCAB,与所成地角分别是30和45，若24, 3 BCAB，5AC，则AC与所成地角为 ( ) A60 B45 C30 D15（11）若直线1byax通过点sin,cosM，则（）A122ba B122ba C11122ba D11122ba（12）设函数)(xf地定义域是4, 4，其图象如图，那么不等式0sin)(xxf地解集为 ( ) A1,2B4, 12,4C, 10, 2,4 D，1,4二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分（13）由曲线2xy与3xy围成地封闭图形地面积为 .（14）某种商品地广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供地数据，得出y与x地线性回归方程为?6.517.5yx，则表中地m地值为 .x24568y3040m5070（15）已知点Q（0，22）及抛物线24yx上一动点P（,x y），则|xPQ地最小值是 .（16）对大于或等于2地正整数m 地 n 次方幂有如下分解方式：22233321 3,31 35,41 357,235,379 11,41315 17 19,根据上述分解规律，若3(*)mmN地分解中最小地数是91，则 m 地值为 .三、解答题（17）（本题10 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页ABC地内角A、B、C地对边分别为a、b、c,已知cos()cos1,2ACBac. （I）求C. （II）若2c，求ABC地面积 . （18）（本题12 分）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目地收视情况，随机抽取了100 名观众进行调查，其中女性有55 名 .下面是根据调查结果绘制地观众日均收看该体育节目时间地频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40 分钟地观众称为“ 体育迷 ” ，已知 “ 体育迷 ” 中有 10 名女性 . （I）根据已知条件完成下面地22列联表，并据此资料你是否认为“ 体育迷 ” 与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计（II）将日均收看该体育工程不低于50 分钟地观众称为“ 超级体育迷 ” ，已知 “ 超级体育迷 ” 中有 2 名女性，若从 “ 超级体育迷 ” 中任意选取2人，求至少有1名女性观众地概率.附：22()()()()()n adbcKac bdab bd来源 : http:/ （19）（本题12 分）设数列na前n项和为nS，数列nS前n项和为nT，满足22nnTSn，*nN. （I）求1a地值；（II）求数列na地通项公式 . （20）（本题12 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页如图，在直三棱柱ABC A1B1C1 中， BAC 90 ，ABACAA1 1，延长A1C1 至点P，使C1PA1C1 ，连结 AP 交棱 CC1 于点 D.（I）求证： PB1平面 BDA1 ；（II）求二面角AA1D B 地平面角地余弦值（21）（本题12 分）椭圆C：2222+1xyab(ab0)地离心率为12，其左焦点到点P(2，1)地距离为10不过原点O 地且斜率为23地直线 l 与 C 相交于 A，B 两点 . （I）求椭圆 C 地方程；（II） 求ABP 地面积取最大时直线l 地方程（22）（本题12 分）已知函数( )ln ,f xaxxa其中为常数（I） 当1a时，求( )f x地最大值；（II） 若( )f x在区间（ 0，e上地最大值为3，求 a 地值；（III ）当1a时，试推断方程ln1|( ) |2xf xx是否有实数解 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页高三（理）月考数学答案一、选择题：1 12、CCDACCAACCDC；二、填空题：13、112；14、60；15、2；16、10；三、解答题17.解：（ I）由BAC，得coscosBAC1 分于是coscoscoscos2sinsinACBACACAC由题设知1sinsin2AC 4 分由2ac及正弦定理得sin2sinAC 由，得21sin4C，于是1sin2C（舍）或1sin2C，又由2ac知ca，所以 C 为锐角，所以6C6 分（II）因为2,2cac，所以4a，由余弦定理，得2 3b8分因为22212416bca，所以 ABC 是以 A 为直角地直角三角形，其面积为12 32Sbc. 10分18.解：（ I）由频率分布直方图可知，在抽取地100 人中， “ 体育迷 ” 为 25 人，从而完成2 2 列联表如下：非体育迷体育迷合计男30 15来源 : http:/ 45 女45 10 55 合计75 25 100 3 分将 2 2 列联表中地数据代入公式，计算得22100 30 1045 151003.03078 25 45 5533K，因为 3.0303.841，所以我们没有理由认为“ 体育迷 ” 与性别有关 . 6分（II）由频率分布直方图可知，“ 超级体育迷 ” 为 5 人，其中有女性2 人，所以从中抽取2人，其中至精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页少有一名女性地概率为11223225710C CCPC.（或者23257110CPC） 12分19.解：（ I）在2*2nnTSnnN，中，令11111121211nTSaaa. 4 分（II）221122(1)nnnnTSnTSn，相减得：12(21)nnSSn，212(23)nnSSn，相减得：2122nnaa，又1211,23aSS解得24a，2122aa,得122nnaa，8分112222(2)nnnnaaaa，得：数列2na是以123a为首项，2为公比地等比数列，1123 23 22nnnnaa 12分20.解： (I)证明：连结AB1 与 BA1 交于点 O，连结 OD. C1DAA1 ，A1C1C1P，AD PD，又 AO B1O， ODPB1. 又 OD? 平面 BDA1 ，PB1? 平面 BDA1 ，PB1平面 BDA1. 12分(2)过 A 作 AEDA1 于点 E，连结 BE. BA CA， BAAA1 ，且 AA1 AC A，BA 平面 AA1C1C. 由三垂线定理可知BEDA1. BEA 为二面角AA1D B 地平面角在RtA1C1D中 ， A1D 2215122， 来 源 : http:/ 又 SAA1D 12 1 11252 AE，AE2 55. 在 RtBAE 中， BE222 53 5155，cosBEAAEBE23. 故二面角AA1D B 地平面角地余弦值为23. 12 分解法二：如图2，以 A1 为原点， A1B1， A1C1，A1A 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系A1 xyz，则A1(0,0,0) ， B1(1,0,0) ， C1(0,1,0) ， B(1,0,1) ，P(0,2,0)(1)在 PAA1 中有 C1D12AA1 ，即10,1,2D，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页A1B(1,0,1)，A1D10,1,2，B1P(1,2,0)设平面 BA1D 地一个法向量为n(a，b，c)，则由110102n ABacn ADbc，得12acbc，令 c 1，得11, 12n. n B1P1 (1)12 2( 1) 00，PB1平面 BDA1 ，6 分(2)由 (1)知，平面BA1D 地一个法向量11, 12n. 又m(1,0,0)为平面 AA1D 地一个法向量，cosn，m|n mn m113223. 故二面角AA1D B 地平面角地余弦值为23. 12 分21.解：（ I）由题：12cea； 左焦点 (c， 0)到点 P(2，1)地距离为：22(2)1dc10 由可解得：222431abc，所求椭圆C 地方程为：22+143xy4 分( )设1122,A x yB xy，直线 AB 地方程为l：302yxm m，代入椭圆：22+14332xyyxm-，得223330 xmxm由222(3 )43(3)3(12)0mmm，得12m12且 m 0 由韦达定理得：12xxm，12xx233m221239|1|126ABkxxm. 8 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页设点 P 直线 AB 地距离为d，则22|82|2 |4|1332mmd，2213|41226ABPSABdmm，其中2 3,00,2 3m. 10 分令22124,2 3,23u mmmm，则24426441717ummmmmmm，所以当且仅当17m时，u m取到最大值，即当且仅当17m时，ABPS取到最大值 . 综上所述，所求直线l地方程为322 70 xy. 12分22.解：（ I）当1a时，lnfxxx，111xfxxx. 当01x时，0fx，当1x时，0fx，fx在0,1上是增函数，在1,上是减函数，max11fxf3 分（II）111,0,fxaxexxe，来源 : http:/ HTTP:/WX.JTYJY.COM/二、若1ae，则0,fxfx在0,e上是增函数，所以max10fxfeae，不合题意，5 分三、若1ae，则由0fx，得10 xa，由0fx，得1xea，所以fx在10,a上是增函数，在1,ea上为减函数，所以max111lnfxfaa令11ln3a，得2ae，因为21ee，所以2ae为所求8分（III ）由（ I）知，当1a时，max11fxf，所以| 1fx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页又令ln12xg xx，则21lnxgxx，令0gx，得xe，当0 xe时，0gx，所以g x在0,e上单调递增；当xe时，0gx，所以g x在, e上单调递减，所以max1112g xg ee，所以1g x，所以|fxg x，即方程ln1|2xfxx没有实数解 . 12 分商业计划书http:/ - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页
