2022年江苏高考南通数学模拟试卷 .pdf

高考模拟试卷 (1) 南通市数学学科基地命题第卷（必做题，共160 分）一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分 1设,a bR ，231abiii，其中i是虚数单位，则ab2已知集合Px xa ，sin,Qy yR 若 PQ ，则实数 a的取值范围是3为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm)，所得数据如图则在这100株树木中，底部周长不小于100cm的有株4设向量(1, )amr，(1,2)bmr，且 abrr，若 ()abarrr，则实数 m5如图所示的流程图的运行结果是6将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BDa，则三棱锥DABC的体积为7设等差数列na的前 n项和为nS ，若19a，462aa当nS 取最大值时，n8已知44，且1cos45，则44cossin9若在区间( 1,1)内任取实数a，在区间 (0,1) 内任取实数b，则直线0axby与圆22(1)(2)1xy相交的概率为10设函数( )sin(2), 66f xxxa 的值域是1,12，则实数 a 的取值范围为11已知函数( )f x 满足：当1,3x时，( )lnf xx ， 当1,1)3x时，1( )2 ( )f xfx若在区间1 ,33内，函数( )( )(0)g xf xax a恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是12设椭圆2222:1(0)xyCabab和圆222:O xyb ，若椭圆C上存在点P，使得过点P引圆O的两条切线，切点分别为A、B，满足60APB，则椭圆C的离心率的取值范围是开始结束S输出YN4a1, 5 SaaSS1aa第 5 题图第 3 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页13设数列 na的通项公式为13()2nna，则满足不等式113nniiiiaa的正整数 n 的集合为14设函数( )332xxf xx，则满足12(2)(log)0 xfx的x的取值范围是二、解答题： 本大题共6 小题，共 90 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （本小题满分14 分）在ABC中，,A B C 的对边分别为, ,a b c ，且tan(2)tanbAcbB （1）求角A的大小；（2）设ADBC，D为垂足，若2b，3c，求 ADACuuu ruuu r的值16 （本小题满分14 分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PDBC，G为PA上一点 （1）求证：平面PCD平面ABCD；（2）若PC平面BDG，求证：G为PA的中点 17 （本小题满分14 分）PABCDG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北角方向的OB位于该市的某大学M与市中心O的距离3 13OMkm，且AOM现要修筑一条铁路L，L 在 OA 上设一站A，在 OB 上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M其中tan2，3cos13，15AOkm（1）求大学M与站A的距离AM；（2）求铁路AB段的长AB18 （本小题满分16 分）设椭圆:C22221(0)xyabab的离心率为32e，直线2yx与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切（1）求椭圆C的方程；（2）设直线12x与椭圆C交于不同的两点,M N ，以线段MN为直径作圆D若圆D与y轴相交于不同的两点,A B ，求ABD的面积；（3）如图，1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线2B P 交x 轴于点F， 直线12A B 交2A P 于点E 设2A P 的斜率为k，EF的斜率为 m ， 求证：2mk为定值19 （本小题满分16 分）已知函数( )lnf xx ，2( )( )g xf xaxbx ，其中函数( )yg x 的图象在点(1, (1)g处的切第 18 题图xOy1A2A2B1BPEFLABOMLL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页CB线平行于x轴（1）确定 a与b的关系；（2）若0a，试讨论函数( )g x 的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数( )yf x 的图象交于两点1122(,),(,)A xyB xy12()xx，求证：2111kxx20 （本小题满分16 分）设数列na的前 n项和为nS ，满足2nnaSAnBnC*(0,)AnN（1）当1C时，设nnban，若132a，294a求实数,A B的值， 并判定数列nb是否为等比数列；若数列na是等差数列，求1BA的值；（2）当0C时，若数列na是等差数列，11a，且*nN ，221131111niiinaa，求实数的取值范围第卷（附加题，共40 分）21 选做题 本题包括 A、B、C 、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页A （选修：几何证明选讲）如图，设AB、CD是圆O的两条弦，直线AB是线段CD的垂直平分线已知6,2 5ABCD，求线段AC 的长度B （选修：矩阵与变换）若点(2,1)A在矩阵11abM对应变换的作用下得到点(4,5)B，求矩阵M的逆矩阵C （选修：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆C经过点36P（， ）， 圆心是直线3sin()32与极轴的交点， 求圆C的极坐标方程D （选修：不等式选讲）设, ,a b c 均为正数，1abc求证：111abcabc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分.22 （本小题满分10 分）已知数列na满足11a，*1(33)46,nnnananNn（1）求证：数列2nan是等比数列；（2）设1*3,2nnnbnNa，求证：当2n，*nN 时，12241521nnnbbbn23 （本小题满分10 分）如图，已知点(0,)Fp ，直线:(0)lyppp其中为常数且，M为平面内的动点，过M作l的垂线，垂足为N，且 NMNFFMFNuuu u ruuu ruuu ruuu r（ 1）求动点M的轨迹C的方程；（ 2）设 Q 是l上的任意一点，过Q 作轨迹C的切线，切点为A、B求证：A、 Q 、B三点的横坐标成等差数列；若( 4,)Qp ，20AB，求p的值yxONMFl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页2015 年高考模拟试卷(1) 参考答案南通市数学学科基地命题第卷（必做题，共160 分）一、填空题1. 6； 2. 1,) ； 3. 70； 4. 1； 5.20； 6. 3212a ； 7. 5； 8. 155；9. 516；10. ,62；11. 1(,6ln3e； 【 解 析 】 当1,1)3x时，1(1, 3x，由条件得，11( )2 ()2ln2lnf xfxxx， 函数( )( )(0)g xf xax a恰有一个零点方程( )f xax (0)a有唯一解，在直角坐标系内分别作出( )yf x与yax(0)a的图象，当直线yax经过点1(,2ln 3)3时，6ln3a6ln3， 当直线yax和曲线( )lnf xx 相切时， 切点为 ( ,1)e， 此时1ae，由图象可知，当16ln3ae时，函数( )yf x 与yax(0)a的图象由唯一的交点12. 3,1)2； 【解析】在四边形OAPB中，60APB，90OAPOBP，OAOBb，2OPb，由题意得，2ba，即222 aca，化解得32ca，又在椭圆中1e，312e 13. 1 ，2，3 ； 【解析】由于数列na的通项公式为13()2nna，所以数列na为等比数列，首项为132a，公比132q；数列1na也是等比数列，首项为23，公比223q 不 等 式113nniiiiaa等 价 于1113nniiiiaa， 即231()1()323231132nn， 解 之 得22( )193n，nN，n 只 能 取 1 , 2 ,14. (0,1)(2,) ；【 解 析 】( )3 ln33ln32(33)ln322ln320 xxxxfx，函数( )f x 在 (,) 上单调 递 增 ， 且(0)0f，112220(2)(log)0log0 xxfxx或1220log0 xx， 解 得2x或01x二、解答题15. （1）tan(2) tanbAcbB，由正弦定理，得sinsinsin(2sinsin)coscosABBCBAB, 又在ABC中，sin0B，sincos2sincoscossinABCAAB，即 sin()2sincosABCA， 又sin()sin0ABC，1cos2A，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页又0A，3A；（ 2） 由余弦定理，2222cosabcbcA ，2b，3c，3A，7a，11sin22BCADAB ACA ，即373 22AD，3 217AD，227cos7ADACADACCADAD. 16.（1）底面ABCD为矩形 ，BCCD，又PDBC，,CD PDPCD平面， PDCDD ，BC平面PCD，又BCABCD平面，平面ABCD平面PCD；（2）连接AC，交BD于O，连接GO，/ /PC平面BDG，平面 PCA平面BDGGO，/ /PCGO，PGCOGAOA，底面ABCD为矩形，O是AC的中点，即COOA，PGGA，G为PA的中点 . 17. （1）在AOM中，15AO，AOM且3cos13，3 13OM，由余弦定理得，2222cosAMOAOMOA OMAOM223(3 13)1523 131513139151523 15372.62AM，即大学M与站A的距离AM为 6 2km ；（2）3cos13，且为锐角，2sin13，在AOM中，由正弦定理得，sinsinAMOMMAO, 即6 23 132sin13MAO，2sin2MAO，4MAO，4ABO，tan2，2sin5，1cos5，1sinsin()410ABO， 又A O B，2sinsin()5AOB，在AOB中，15AO， 由正弦定理得，sinsinABAOAOBABO，即1521510AB，302AB，即铁路AB段的长AB为 30 2km18. （1）圆O的方程为222xyb ，直线2yx与圆 O 相切，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页22b，即1b，又32e，22312ba，2a，椭圆C的方程为2214xy；（2）由题意，可得115115(,),(,)2424MN，圆D的半径154r，1511121642AB，ABD的面积为111 1112228S；（3）由题意可知1212( 2,0),(2,0),(0, 1),(0,1)AABB，2A P 的斜率为k，直线2A P 的方程为(2)yk x，由2214(2)xyyk x，得2222(14)161640kxk xk，其中2Ax，228214Pkxk，222824(,)1414kkPkk，则直线2B P 的方程为2112 21)kyxk（，令0y，则2(21)21kxk， 即2(21)(,0)21kFk，直线12AB 的方程为220 xy，由220(2)xyyk x，解得4221421kxkkyk，424(,)21 21kkEkk，EF的斜率421212(21)4242121kkkmkkkk，2112242kmkk（定值）19. （1）22( )( )lng xf xaxbxxaxbx ，1( )2gxaxbx，由题意得(1)120gab，21ba；（2）11(21)(1)( )2221(0)axxgxaxbaxaxxxx，当0a时，(1)( )(0)xgxxx，当1x时，( )0g x，函数( )g x 在 (1,) 单调减；当01x时，( )0g x，函数( )g x 在 (0,1) 单调增；当102a时，即112a，12 ()(1)2( )(0)a xxagxxx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页函数( )g x 在 (11,)2a上单调减；函数( )g x 在 (12,)a和 (0,1) 单调增；当12a时，即21a，2(1)( )0(0)xgxxx，函数( )g x 在 (0,) 单调增；当12a时即112a，12 ()(1)2( )(0)a xxagxxx，函数( )g x 在 (1,1)2a单调减区间；函数( )g x 在 (1,) 和 (0,12)a单调增；（3）由题设210 xx，21212211lnln1111xxkxxxxxx21212121lnlnxxxxxxxx22211111ln1xxxxxx令( )ln1(1)h xxxx，则11( )1(1)xh xxxx，1x时，( )0h x，函数( )g x 在 (1,) 是减函数，而(1)0h，1x时，( )(1)0h xh210 xx，211xx，222111()ln10 xxxhxxx，即2211ln1xxxx， 令1( )ln1(1)H xxxx，则22111( )(1)xHxxxxx，1x时，( )0Hx，( )H x 在 (1,) 是增函数，1x时，( )(1)0H xH，2221111()ln10 xxHxxxx，即221111lnxxxx由得2111kxx20.（1）1C，21nnaSAnBn，令1n，可得121aAB，即2AB，令2n，可得122421aaAB，即 425AB，13,22AB,213122nnaSnn，当2n时，21113(1)(1)122nnaSnn，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页-，得121nnaan(2)n，11(1)2nnanan，即112nnbb，又111102ba，0nb，112nnbb，数列nb是等比数列；数列na是等差数列，设11(1)(1) ,2nnn naand Snad ，21nnaSAnBn，1221()221ddnanaAnBdn，*nN11221dAdBaad，111122122223dddaadddAdB；（2）当0C时，2nnaSAnBn数列na是等差数列，11a，(1)1(1) ,2nnn nand Snd ，22(1)122ddnnAnBnd，1d，nan ，2222n11111(1)111111(1)(1)1nn naannn nnn，2211111111niiinaan，22113113111111niiinnaann，即211nn，*nN ，211nn，令2( )f xxx，22222( )1xfxxx，当2x时，( )0fx，( )f x 在 2,) 上是增函数，而12n，min2(1)31nn，3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页第卷（附加题，共 40分）21. A连接 BC，,AB CD相交于点E因为 AB是线段 CD的垂直平分线，所以 AB 是圆的直径，ACB90 设AEx，则6EBx，由射影定理得CE2 AEEB，又5CE，即有(6)5xx，解得1x（舍）或5x所以， AC2AEAB 5630，30ACB2415M，即24215ab，24,215.ab解得2,3.ab，1231M，解法一：12det()731M，11212777731317777M. 解法二 :设1cdMef，由1MM1001，得32103201cdcdefef31,30,20,21.cdefcdef解得1,72,73,71.7cdef112773177MC 因为圆心为直线2sin()sin33与极轴的交点，所以令0， 得1 ， 即圆心是 (1,0) ，又圆C经过点36P （， ），圆的半径312 3 cos16r，圆过原点，圆C的极坐标方程是2cos（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）D.由, ,a b c 为正数，根据平均值不等式，得112abab，112bcbc，112acac将此三式相加，得1112222()abcabbcac，即111111abcabbcac由1abc，则有1abc所以，111abcabcabcabcabcabbcac22.（1）令2nnacn，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页则11(33)4622(33)(2)23311(1)nnnnnnnananaancnnncnn，11210ca，0nc，13nncc，数列nc，即2nan是等比数列；（2）由（ 1）得123nnan，132nnan，1312nnnban，下面用数学归纳法证明当2n，*nN 时，12241521nnnbbbn当2n时，不等式的左边341173412bb，右边413555，而73125，2n时，不等式成立；假设当(2)nk k时，不等式成立，即12241521kkkbbbk；当1nk时，1 1122(1)12221221()()kkkkkkkkkbbbbbbbbb4111152121221kkkk41152214152(1)4152(1)1kkkk当1nk时，不等式也成立由可得，当2n，*nN 时，12241521nnnbbbn23. （1）设( ,)M x y ，则( ,)N xp ，(0,)NMyp ，(,2)NFxp ，( ,)FMx yp ，( , 2 )FNxp ，NMNFFMFN ，22 ()2 ()p ypxp yp ，24xpy ，即动点M的轨迹C的方程为24xpy ；另解：设( , )Mx y ，则( ,)N xp ，NMNFFMFN ，()0NFMNMF，以,MN MF 为邻边的平行四边形是菱形，MFMN，22()xypyp，24xpy ，即动点M的轨迹C的方程为24xpy ；（2）设0(,)Q xp ，211(,)4xA xp，222(,)4xB xp，则切线 QA 的方程2111(,)42xxyxxpp，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页21101()42xxpxxpp，22101240 xx xp， 同理22202240 xx xp， 方法 1:得12120()(2)0 xxxxx，12120,20 xxxxx，1202xxx ，即A、 Q 、B三点的横坐标成等差数列. 方法 2：由得12,xx 是方程220240 xx xp的两根，1202xxx ，即A、 Q 、B三点的横坐标成等差数列. 由得12,x x 是方程220240 xx xp的两根，12021224xxxxxp，(4 ,)Qp ，1221284xxxxp，20AB，22221212()()2044xxxxpp，2212122()() 12016xxxxp，224(6416)(1)20pp，4217160pp，1p或4p. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页