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Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform第四章第四章 级数级数复习、引入复习、引入4.1 4.1 复数项级数复数项级数4.2 4.2 幂级数幂级数4.3 4.3 泰勒级数泰勒级数 4.4 4.4 洛朗级数洛朗级数Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform22zzz若该幂级数在 点发散，则它必在圆外区域处处发散。xyO.1z2zComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform证明证明11011111,lim0,| |,1,| |nnnnnnnnnnnnnnc zc zMnc zMzzzqzzc zc zM qz 因收 敛 则则 存 在使 对 所 有 的有如 果则而0101,|nnnnnM qzc z由 于为 公 比 小 于 的 等 比 级 数故 收 敛 .因 此 ， 当 |z|时 ，亦 收 敛 ,Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform0.nnnc z从而是绝对收敛的202332320020,| |z| |,| |nnnnnnnnnnnnc zzzzzc zc zzzc z如果级数发散 可用反证法证得结论。 事实上，假定在内却有一点 （）使得收敛，则由第一步所证结论知， 级数更收敛 与定理假设矛盾。 因此，当时，级数必发散。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform三、收敛圆与收敛半径三、收敛圆与收敛半径 利用阿贝尔定理，不难确定幂级数的收敛范围 ， 对于任一个幂级数来说，它的收敛情况不外乎三种：iii)既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数. 设 (正实数)时, 级数收敛, (正实数)时, 级数发散. 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛.ii)对所有的正实数除 z =0 外都是发散的.这时, 级数在复平面内除原点外处处发散.zzComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformCCRCROxy显然显然 时时, ,将收敛域染成红色将收敛域染成红色, , 发散域为蓝色发散域为蓝色. .Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 当 由小逐渐变大时, 必定逐渐接近一个以原点为中心, R为半径的圆周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部, 级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径. 所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以 为中心的圆域. 在收敛圆上的收敛性, 则不一定.C0zzComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform.2,1,1.11处发散又在点收敛既在则它可否处收敛在若思考题：zzizzcnnn012.()nnnczz对一般幂级数，收敛的特征（阿贝尔定理）是怎样的？Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例例1 1 求幂级数2111,(1)1nnnzszzzzz 解解: 级数实际上是等比级数, 部分和为nnnzzzz201的收敛范围与和函数.Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform210211,(1)11| 1,lim0,lim,11| 1,1| 1,.| 1,111nnnnnnnnnnnzszzzzzzzszzzzznzzzzzz 当时由于从而有即时级数收敛 和函数为当时由于时 不趋于零 级数发散收敛范围为在此范围内绝对收敛 并有Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform收敛半径的求法收敛半径的求法Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform再证当1|z时, 级数0nnnc z发散. 假设在圆1|z外有一点 z0, 使级数00nnncz收敛. 在圆外再取一点 z1, 使|z1|z0|, 那么根据阿贝尔定理, 级数10nnncz必收敛, 然而11|z, 所以 11111|lim|1|nnnnnczzczComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例例2 2 求下列幂级数的收敛半径Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 四、四、 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质 1200( ), ( ),nnnnnnf za zRr g zb zRr设： 在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积. Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform000( )( )(),|,nnnnnnnnnnf zg za zb zab zzR0001 10012( ) ( )()|.min( ,)nnnnnnnnnnnf z g za zb za baba b zzRRr rComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform更为重要的是代换(复合)运算.)()(,|,| )(|)(|,)(,|00nnnnnnzgazgfRzrzgzgRzzazfrz时则当解析且满足内又设在时如果当 这种代换运算这种代换运算, , 在把函数展开成幂级数时在把函数展开成幂级数时, , 有着广泛的应用有着广泛的应用. .Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform14()nnczaabzbn=0例 把函数展成形如的幂级数，其中 与是不相等的复常数111()()zbzbzaba解：把函数写成如下形式:111zababa22311()()()()()()nnzazazababababaRba收敛半径为Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformOxyab当|z-a|b-a|=R时级数收敛Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform0()nnnzaRc定理四：设幂级数的收敛半径为 ，则01( )()nnnfzaRzzac）其和函数是的解收敛圆内析函数。112( ),( )()nnnfzfznxac）其幂级数可逐项求导，求导后的幂级数仍在该收敛圆内收敛，且和为即 010)(1d)(|,d)(d)(nnnzanCnnCazncfRazCzazczzf或3)( )f z 在收敛圆内可以逐项积分，即：Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 4.3 4.3 泰勒级数泰勒级数z0Kzr00( )f zDzzrDzKDzK设函数在区域 内解析，而为 内以 为中心的任何一个圆周，记作 ，圆周及它的内部全含于 ，又设 为 内任一点。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform按柯西积分公式, 有1( )( )d ,2Kff ziz且000000010001111()()1,()11,()nnnzzzzzzzzKzKzzzzzzz由于积分变量取在圆周 上 点 在 的内部所以z0KzrComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform101000101( )d( )()2()1( )()d .2()NnnnKnnn NKff zzzizfzziz由解析函数高阶导数公式,上式可写成( )1000010()( )()( )!1( )( )()2()nNnNnnNnn NKfzf zzzRznfRzzzdiz其中z0KzrComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transformz0Kzr( )000lim( )0,()( )()!NNnnnRzKfzf zzzn如果能证明在 内成立 则在K内成立, 即 f (z)可在K内用幂级数表达.000zzzzqzr令，q与积分变量z无关, 且0q1.Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform K含于D, f (z) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在K上存在正实数 M 使| f (z) | M.01221d| )(|21d)()()(21| )(|000010 NNNnnKNnnKNnnnNqMqrqrMszzzzfszzzfzRComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform因此, 下面的公式在K内成立:( )000()( )()!nnnfzf zzzn称该等式为f (z)在z0点的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数. 圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内. 所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0点的泰勒展开式在圆域 |z-z0|d 内成立.Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform定理定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析,z0为D内的一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|d 时, 00( )0( )()1,(),0,1,2,.!nnnnnf zczzcfznn成立 其中 注注：如果f (z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R 等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|. Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transformyz0ax 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一唯一的. 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn把 f (z)在z0点展开成幂级数, 称此为直接展开法Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,.) ， 故有2e1.2!nzzzzzn 因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+.同样, 可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式:Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 除直接法外, 也可以借助这些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据得出函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:3521242sin( 1)3!5!(21)!cos1( 1)2!4!(2 )!nnnnzzzzzznzzzzzn 003521011( )()sin(ee)22!( 1)3!5!(21)!nniziznnnnnizizziinnzzzzzn Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform解 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|1内处处解析, 所以可在|z|1内展开成z的幂级数. 因为 211( 1),| 1.1nnzzzzz 例1 把函数 展开成z的幂级数. 21 1z将上式两边求导得 21121123( 1),| 1.(1)nnzznzzz Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式.解 ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|R1, 即|t|R 时, 011()nnnnnnc tczz收敛。因此, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 原级数才收敛.Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transformz0R1R2例如级数10110(),1,| |,| |.| | | | |.nnnnnnnnnnnnnnazabzbaaazzzzzabzbabazbab与 为复常数中的负幂项级数当即时收敛 而正幂项级数则当时收敛 所以当时,原级数在圆环域收敛;当时,原级数处处发散Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform在收敛圆环域内具有幂级数在收敛圆内的许多性质。 例如, 上述级数在收敛环域内其和函数是解析的, 而且可以逐项积分和逐项求导。100100100()()()()(),nnnnnnnczzczzczzcc zzczz 现在反问, 在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成上述含正、负幂的幂级数呢?先看下例。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform21( )01,(1)0 | 10 |1| 1.0 | 11111( )1.(1)1,( )0 | 1.nf zzzzzzzzf zzzzzzzzzf zz 函数在及都不解析 但在圆环域及内都是解析的先研究的情形:由此可见在内是可以展开为z的幂级数其次,在圆环域:0|z-1|1内也可以展开为z-1的幂级数:2121111( )(1)11 (1)11 (1)(1)(1)1(1)1 (1)(1)(1)nnf zzzzzzzzzzzzz 1OxyComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform定理定理 设 f (z)在圆环域 R1 |zz0| R2内解析, 则010( )()1( )d . (0, 1, 2,)2()nnnnnCf zczzfcniz 其中C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。Cz0R1R2Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform称等式为f(z)在以z0为中心的圆环域R1|z-z0|R2内的洛朗洛朗(Laurent)(Laurent)展开式展开式, 它右端的级数称为f(z)在此圆环域内的洛朗级数洛朗级数. . 一个在某圆环域内解析的函数展开为含有正,负幂项的级数是唯一的, 这个级数就是f(z)的洛朗级数. 根据由正负整次幂项组成的级数的唯一性,一般可以用代数运算, 代换, 求导和积分等方法去展开, 以求得洛朗级数的展开式.Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform解解： 函数f(z)在圆环域 i) 0|z|1; ii) 1|z| 2; iii) 2|z| + 内是处处解析的, 可把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数. 1112f zzzz例 把在复平面上展开为 的幂级数。xyO1xyO12xyO2Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform先把f(z)用部分分式表示:11( ).12f zzz2222111i)0 | 1( )12121137(1)1.222248zf zzzzzzzzz在内:Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transformii) 在1|z| 2内：111111( )1122112f zzzzzz 222211111(1)12221111.248nnzzzzzzzzzzComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transformiii) 在2|z|+内:111111( )121211f zzzzzzz 22234111124(1)(1)137.zzzzzzzzzComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例例2 把函数.|0e)(13内展开成洛朗级数在zzzfz解解：由133234321111e(1)2!3!4!110.2!3!4!zzzzzzzzzzzz 23e12!3!nzzzzzn Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform注意: 一个函数 f (z)可以在奇点展开为洛朗级数， 也可在非奇点展开。 函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的. Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform 例如在z=i和z=-i处将函数 展为洛朗级数。1 2( )()if zz zi 在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上.因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个: 1)在|z-i|1中的泰勒展开式; 2)在1|z-i|2中的洛朗展开式; 3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;OiiComplex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transformi0在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个: 1)在0|z+i|1中的洛朗展开式; 2)在1|z+i|+中的洛朗展开式。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform特别的，当洛朗级数的系数公式101( )d . (0, 1, 2,)2()nnCfcniz 1n 时，有CdzzfiC)(21112)(CidzzfC（即可利用Laurent系数计算积分） 其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线,f(z)在此圆环域内解析。Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例例rzzzzdzzze00301)(求积分内解析，在03010)()(0zzzzezfzz0Laurent1C系数其120.iC 解：解：Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例例4 4 21ln 1.zdzz 求积分zznznnn1) 1(11ln1111C2. i 解：解：Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform例 5 求积分 1| | 2d1zzzezz. 解： 函数1( )1zzef zz在 1|z|+内解析, |z|=2 在此圆环域 内, 把它在圆环域内展开得 122211111( )1112!1251.2zf zezzzzzzz 故c-1=-2,124.ici 原式=Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral Transform本章重点与难点本章重点与难点洛朗级数的收敛特征及函数展开洛朗级数的间接方法)(zf关于 的洛朗级数 “惟一性” 的理解与运用 函数所展泰勒级数的收敛半径确定方法Complex Analysis and Integral TransformComplex Analysis and Integral TransformHow beautiful the sea is!70 结束语结束语
