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一、单因素试验分差分析一、单因素试验分差分析水平：水平：因素：因素：试验中因素所处的不同状态。试验中因素所处的不同状态。影响试验结果的原因。影响试验结果的原因。设因素设因素 有有 个水平个水平 ，AppAA,1假定在每个假定在每个水平水平 上，上，jA做做 次独立重复试验，其结果记为次独立重复试验，其结果记为jnjnjjjxxx,21且服从正态分布，即且服从正态分布，即p), 2 , 1(),(2jjijniNx 进一步设进一步设 个样本相互独立。个样本相互独立。此时可以表示成此时可以表示成当当 成立时，成立时，0H11pnSEpSEEA当当 不成立时，不成立时，0H11pnSEpSEEA故当故当 成立时，成立时，0HpnSpSEA1应与应与1相差不大，相差不大，而当而当 不成立时，不成立时，0HpnSpSEA1与与1比较应有明比较应有明显偏大的趋势。显偏大的趋势。这样可用其作为检验统计量。这样可用其作为检验统计量。);(22pnSE )1(22pSA 当当 成立时，有成立时，有0H且且 与与 相互独立。相互独立。ASESpnSpSFEA1), 1(pnpF定理定理15.1 对模型对模型(*)有有（1）（2）因此当因此当 成立时，根据定理有成立时，根据定理有0H拒绝域为拒绝域为), 1(:1pnpFFFW 二、多因素试验方差分析二、多因素试验方差分析（一）无重复试验的方差分析（一）无重复试验的方差分析(无交互效应无交互效应)设因素设因素A有有p个不同的水平：个不同的水平：,21pAAA因素因素B有有q个不同的水平：个不同的水平：,21qBBB对每个对每个可能的搭配可能的搭配 进行一次独立试验，进行一次独立试验，jiBA 共获得共获得个试验结果个试验结果pqqjpixij, 2 , 1, 2 , 1,并列并列表如下：表如下：qBBB21pAAA21pqppqqxxxxxxxxx212222111211 ix平均值平均值pxxx21jx平均值平均值qxxx21xAB假定假定 来自正态分布来自正态分布 ，且相互独，且相互独ijx),(2 ijN立，即立，即qjpixijijij, 1, 1, 其中其中)., 0(2 Nij为了了解各因素的影响，令为了了解各因素的影响，令,111piqjijpq qjijiiq11,11 pjijjjpjiijij )(称称 为为理论总均值理论总均值， 表示所考虑的表示所考虑的 个总体个总体pq数学期望的总平均；数学期望的总平均；称称 为因素为因素 的第的第 个水平个水平i AiiA对试验结果的对试验结果的效应效应；称称 为因素为因素 的第的第 个个j Bj水平水平 对试验结果的对试验结果的效应效应。jB ij反映了水反映了水平搭配平搭配 对试验结果的总效应，对试验结果的总效应，ij 是总效是总效应减去水平应减去水平 的效应的效应 及及 的效应的效应 ，iAi jBj 因此因此ij 实际上表示的是水平搭配实际上表示的是水平搭配 对试验结果的对试验结果的jiBA 交互效应交互效应。 但由于两个因素各个水平的搭配只但由于两个因素各个水平的搭配只进行了一次试验，分析不出不同的水平搭配所进行了一次试验，分析不出不同的水平搭配所产生的交互效应，因此在这里假定产生的交互效应，因此在这里假定 。0 ij 这样这样jiBA 所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为 . 0, 0, 1;, 1), 0(112qjjpiijiijijijjiijqjpiNx 满足满足和和相互独立相互独立且且所以判断因素所以判断因素 对试验结果是否有显著影响对试验结果是否有显著影响A就等价于检验假设问题就等价于检验假设问题02101pH ：（*）(1)而判断因素而判断因素 对试验结果是否有显著影响就对试验结果是否有显著影响就B等价于检验假设检验问题等价于检验假设检验问题02102 qH ：为了检验这些假设检验问题，为了检验这些假设检验问题，将总离差平方将总离差平方和进行分解有和进行分解有BAETSSSS 其中其中 piqjijTxxS112)( piqjjiijExxxxS112)( piiAxxqS12)( qjjBxxpS12)(2)2)1)(1()( qpSEE定理定理15.2 对模型对模型(*)有有 piiAqpSE122)1()( qjjBpqSE122)1()( 定理定理15.3 对模型对模型(*)有有(1)相互独立。相互独立。BAESSS,(2).1)(1(22 qpSE (3).1(2201 pSHA 成成立立时时，当当(4).1(2202 qSHB 成立时，成立时，当当因此，由定理可知，当因此，由定理可知，当 成立时，成立时，01H)1)(1( , 1()1)(1/()1/( qppFqpSpSFEAA对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ， 检验问题检验问题(1)拒绝域为拒绝域为)1)(1(),1(:1 qppFFFWAAA 而当而当 成立时，成立时，02H)1)(1( , 1()1)(1/()1/( qpqFqpSqSFEBB对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ， 检验问题检验问题(2)拒绝域为拒绝域为)1)(1(),1(:1 qpqFFFWBBB （二）等重复试验的方差分析（交互效应）（二）等重复试验的方差分析（交互效应）设有两个因素设有两个因素 和和 ，AB因素因素 有有 个不同的个不同的Ap水平水平 ，pAAA,21因素因素 有有 个不同的水平个不同的水平Bq,1B,2qBB 这样共有这样共有 个不同的水平搭配个不同的水平搭配pqjiBA )., 1;, 1(qjpi 对每个搭配对每个搭配 ，jiBA 作作r次独立重复试验，次独立重复试验，共获得共获得 个观察值，个观察值，pqrn 列列表如下：表如下：pAAA21AB1Brxx11111,rxx21211,rppxx111,2Brxx12121,rxx22221,rppxx221,qBqrqxx111,qrqxx212,pqrpqxx,1假定假定 来自正态分布来自正态分布 ，), 2 , 1(rkxijk ),(2 ijN且相互独立，即且相互独立，即rkqjpixijkijijk, 1, 1, 1, 其中其中)., 0(2 Nijk令令,111 piqjijpq qjijiiq11,11 pjijjjpjiijij )(则所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为则所讨论的双因素方差分析的数学模型可表示为 . 0, 0, 0, 0, 1;, 1;, 1), 0(11112qjijpiijqjjpiiijkijkijkijjiijkrkqjpiNx 相互独立相互独立且且（*）的效应，的效应，分别为因素分别为因素其中其中jijiBA , ij 为因素为因素iAjB与与 的交互效应。的交互效应。判断因素判断因素 及交互作用对试验结果是否有及交互作用对试验结果是否有,A显著影响就等价于检验如下的假设检验问题显著影响就等价于检验如下的假设检验问题B qjpiHHHijqp, 1, 1, 0:0:0:0321022101 为了检验这些假设检验问题，为了检验这些假设检验问题，将总离差平方将总离差平方BABAETSSSSS 这里这里 piqjrkijkTxxS1112)( piqjrkijijkExxS1112)( piiAxxqrS12)( qjjBxxprS12)(和进行分解有和进行分解有 piqjjiijBAxxxxrS112)( piqjrkijkxpqrx1111 rkijkijxrx11其中其中 qjrkijkixrqx111 pirkijkjxrpx111可以证明如下两个定理可以证明如下两个定理2)1()( rpqSEE定理定理15.4 对模型对模型(*)有有 piiAqrpSE122)1()( qjjBprqSE122)1()( piqjijBArqpSE1122)1)(1()( 定理定理15.5 对模型对模型(*)有有(1)相相互互独独立立。BABAESSSS ,(2).1(22 rpqSE (3).1(2201 pSHA 成成立立时时，当当(4).1(2202 qSHB 成立时，成立时，当当(5).1)(1(2203 qpSHBA 成成立立时时，当当因此，由定理可知，当因此，由定理可知，当 成立时，成立时，01H)1(, 1()1(/()1/( rpqpFrpqSpSFEAA当当 成立时，成立时，02H)1(, 1()1(/()1/( rpqqFrpqSqSFEBB当当 成立时，成立时，03H)1(),1)(1()1()1)(1( rpqqpFrpqSqpSFEBABA对给定的显著性水平对给定的显著性水平 ， 拒绝域分别为拒绝域分别为)1(),1(:1 rpqpFFFWAAA )1(),1(:1 rpqqFFFWBBB )1(),1)(1(:1 rpqqpFFFWBABABA 三、应用方差分析时应注意的问题三、应用方差分析时应注意的问题1. 使用条件使用条件2. 试验误差的影响试验误差的影响3. 值特别小的情况值特别小的情况F4. 试验方式试验方式
