XY的分布函数二维变量的概率分布与边缘概率分布.ppt

一、二维连续型随机变量的联合分布函数（续）一、二维连续型随机变量的联合分布函数（续）1.1.联合分布函数定义：联合分布函数定义：第七讲第七讲 二维连续变量分布函数二维连续变量分布函数的的联联合合分分布布函函数数，都都发发生生的的概概率率为为与与称称事事件件的的任任意意的的则则对对）为为一一二二维维随随机机变变量量，设设（),(,YXyYxXyxRYX 2量量（事事件件）积积的的概概率率。所所以以，联联合合分分布布也也是是变变)()(),(),(yYxXPyYxXPyxF2.2.二维联合分布的几何解释二维联合分布的几何解释XY0),(yx1-7图),(11yx),(21yx),(12yx),(22yx2-7图XY0第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布011122122 ),(),(),(),(yxFyxFyxFyxF SSyYyxXxP12121 ,由由集集合合描描述述：3.二维联合分布的性质二维联合分布的性质1( , )( , )0,( , )0;XYF x yxyFx yFx y（）是对 对 都单调非减：2(,)1(, )0,( ,)0,(,)0.FFyF xF （ ）四个等式：，4.4.二维分布下的边缘分布二维分布下的边缘分布。分分布布，记记作作：的的边边际际分分布布，又又称称边边缘缘称称为为的的分分布布分分量量的的联联合合分分布布，则则每每一一个个是是）设设（)(),(),(,),(),(yFxFyxFyxYXyxFYX1第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布 ()(,)( ,)= lim( , )XYyFxP XxP XxYP Xx YF xF x y ),(lim),(),(yxFyFyYXPyFxY 同理：同理：穷穷极极限限。分分布布对对另另一一个个变变量量的的无无显显然然，边边缘缘分分布布是是联联合合5.5.离散变量（离散变量（X,YX,Y）的分布函数）的分布函数(),ijF xyXx Yyx y与一维随机变量的情况一样，二维离散随机变量的分布函数， 等于对应区域（）上的所有离散点（）的联合概率之和。( , )(,)()()(,)ijijijijxx yyxx yyF x yP Xx YyPXxYyP Xx Yyp 第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布例7-1-1（2014年7月期末）)4131()2()() 1 (),(),(, 1 , 12，的的概概率率密密度度的的分分布布函函数数，求求二二维维随随机机变变量量为为上上的的均均匀匀分分布布，令令服服从从设设随随机机变变量量FyfYYXyxFXYXY)()()()(10, 10:, 11222yXyPyXYPyYPyFyYXYXXYY时时：当当则则，定定域域画画线线变变分分布布。解解：其其它它）由由已已知知，解解（, 011,21)(1xxfXyxoyxxy 2yxxy211第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布ydxdxxfyXyPyXYPyYPyFyyyyY21)()()()()(21, 110,00)(yyyyyFY，, 010,21)()(其其它它yyyFyfYY且且联联合合概概率率事事件件积积）分分布布变变成成区区域域概概率率，（212521)3121()41()31()41,31()41,31()41,31(312122dxXPXXPXYXPYXPF二、二维连续型随机变量的密度函数二、二维连续型随机变量的密度函数yxyyYyxxXxPDDYXPyxfYXDDD ),(lim),(lim),(),( 00的联合概率密度，即的联合概率密度，即的区域概率的极限为的区域概率的极限为单位面积单位面积联合密度定义：联合密度定义：. 1(1): 由分布导数求密度：根据二阶混合导数定义：由分布导数求密度：根据二阶混合导数定义：2.2.密度与分布函数和区域概率的关系密度与分布函数和区域概率的关系yxyxFyxyxFyyxFyxxFyyxxFyxyyYyxxXxPyxfyxyx ),(),(),(),(),(lim),(lim),(20000 . yxD 视为矩形很小时，可第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布),(),(yxFyxfxy 所以：所以：由密度二重积分求分布由密度二重积分求分布)(2 xyxyxyxyxyxydudvvufyxFFFyxFdudvvuFdudvvufvuFvufyxFyxf),(),(,),(),(),(),(),(),(),(),(),(0重重积积分分原原函函数数概概念念：两两边边求求无无穷穷积积分分：由由二二dxdyyxfDYXPDD),(),()( 上上的的概概率率：由由联联合合密密度度求求区区域域3 1iiDDD小小区区域域，即即划划分分成成无无穷穷多多个个互互斥斥的的分分析析：将将第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布率率等等于于概概率率和和由由于于小小区区域域互互斥斥，和和概概,),(),( 1iiDYXPDYXP 11iiiiDYXPDYXPDYXP),(),(),(即即面面积积为为很很小小时时，它它是是小小矩矩形形，当当,jiiyxD ),(),(jjjiiiiyyYyxxXxPDYXP 第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布 111ijjijijjjiiiiiyxyxyyYyxxXxPDYXPDYXP ) ,(),(),(所所以以， Dijjijiyxdxdyyxfyxyxfji),(),(lim1100 3. 3.二维联合密度的性质二维联合密度的性质(1)：非负性非负性 yxyxf,0),(由定义，显然由定义，显然(2)：无穷积分无穷积分1 1 1dxdyyxf),(下限样本里。下限样本里。区域概率联密积，上限区域概率联密积，上限，分布二阶导联密；，分布二阶导联密；概括：联密二次积分布概括：联密二次积分布第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布(2)：无穷积分无穷积分1 1 1dxdyyxf),( dxdyyxfF),(),(1由由分分布布和和密密度度的的关关系系：4.用联合密度求边缘密度用联合密度求边缘密度 的边缘密度的边缘密度又称为又称为的分布密度的分布密度，分别为单变量分别为单变量，则：则：联合分布联合分布边缘密度定义：若已知边缘密度定义：若已知),(,),()(),()(),()(yxFyxyFyFyfxFxFxfyxFYYYXXX 12( )( ,)( , )( , )xxXFxF xf u y dudyf u y dy du （ ）用联合密度求边缘分布密度基本思路：用分布的积分求解密度第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布 dyyufug),()(其中：其中：.),()()()()()(),()(dyyxfxggxgugduugxFxfxxxx又又的的无无穷穷积积分分。是是联联合合密密度度对对另另一一变变量量即即边边缘缘密密度度yxfdyyxfxxFxfXX)(,),(),()( ( )( , )=( )xxXFxf u y dy dug u du ,),(),()( dxyxfyyFyfY同同理理：,),(),()( dxyxfyyFyfY同同理理：第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布)(),()(yfyxfyxfYYX ，另另一一变变量量无无穷穷积积。概概括括：联联合合密密度度求求边边缘缘的的积积分分公公式式，即即：的的密密度度对对的的分分布布为为只只是是条条件件，依依据据的的分分布布，它它是是发发生生的的分分布布条条件件下下再再看看xxxYXyxFxXyYYX)()()(),(),()(yxfxXyYyfyxfyyxfyfYXYY记记作作发发生生的的条条件件概概率率密密度度，条条件件下下的的发发生生为为的的边边缘缘密密度度则则称称的的关关于于为为设设5.5.条件概率密度条件概率密度类似地在相应条件下可得在类似地在相应条件下可得在X X= =x x条件下条件下Y Y的条件概率密度为的条件概率密度为 )(),()(xfyxfxyfXXY )(),()(),()()()()(yfdtytfdtyfytfdtytfyxFdttfxFYxxYxYXYXxXX得得：由由)(),()(),()(xfdvvxfdvxfvxfxyFXyyXXY 为为：以以及及条条件件概概率率分分布布函函数数第六讲第六讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布7-2-1,( , )( , ),(, )01SX YGGSX YGCx yGf x yX YGUCS例：（均匀分布）设随机变量（）的样本为且 的面积为若（）在 内点点密度相等为一常数，即则称服从 上的均匀分布，记作其它试证明：。 其它其它则：则：）若（若（。因此：因此：的特点，的特点，分为分为证明：由密度的无穷积证明：由密度的无穷积01111GyxSyxfUYXSCCSdxdyCCdxdydxdyyxfSGG),(),(,),(图图示示直直角角三三角角形形内内得得解解：由由,:,11010 yxxGyx图图中中阴阴影影部部分分。内内的的得得即即：再再由由xyxxDGXYYX 121011,:,OYX121xy xy 1 11yxdxdyyxfYXP),()(.)(4121662102101 dxxxxdydxxxGDdxdyyxfDYXP),(),(用用公公式式：限限样样本本里里域域概概率率联联密密积积，上上限限下下分分析析：解解此此题题方方法法：区区例题例题7-2-27-2-2（0303数学一，数学一，4 4分）分）)(,),(10106 YXPyxxyxf求求其其它它密密度度为为设设二二维维随随机机变变量量的的概概率率第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布例7-2-3（95，四）的的联联合合分分布布函函数数求求其其它它的的联联合合密密度度为为已已知知),(,),(),(YXyxxyyxfYX 0101040),(00),(),(, 0),(,0 yxFydudvvufyxFyxfyxxy时时，同同理理，时时，任任意意）（1特点：样本外密度为零特点：样本外密度为零解：解此题用公式：解：解此题用公式： xydudvvufyxF),(),(1010 yxG,:G110 x0 y110 yx10, 1 yx1, 1 yx且且第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布2010010241103xvdvvdvudududvvufyxFyxxoxx ),(),(,)(时，时，当当时时时时，1014 yx)(2102102100100100221444yduuyduvuvdvuduuvdudvdudvvufyxFoyyyy )( ),(),(22020200000022144410102yxduuyduvuvdvuduuvdudvdudvvufyxFyxxxoyxyxyxy )( ),(),(,时时，）（第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布 11110111010100002222yxyxyyxxyxyxyxyxF且且或或布布函函数数为为：综综合合以以上上情情况况，得得到到分分,),(124115110101010 ovdvvdvudududvvufyxFyx),(),(时，时，且且）（第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布二二阶阶积积分分布布分分布布二二次次导导密密度度，密密度度2233017-2-4(, )( )0,3, 0()0,1(, )23(2 )XYXxxX YfxyyxyXxYfxxX YYP XY，例题：设是二维随机变量，在其它给定条件下， 的概率密度为：，其它（）求的概率密度；（ ）求 的概率密度，（ ）求 其其它它率率公公式式）依依据据已已知知，用用条条件件概概解解：（,)()(),()(),()(01093312232xyxyxxyxyfxfyxfxfyxfxyfXYXXXY第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布条条件件密密度度比比。条条件件密密度度是是分分式式，联联合合211222( )( , )011)919ln , 019, 010,0,Yyyfyf x y dxyyxyyyyxdxydxyxxx （ ）边缘密度等于联合密度对另一变量的无穷积分（两个变量单积时，不积变量取定限。看右图样本，当时，其它其它xyxy 10 GDdxdyyxfDYXP),(),(）用用公公式式（381839)21()2(102102102dxxdyxydxXYPYXPxxyxy 10 xy2121第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布变变量量取取定定限限。两两个个变变量量单单积积时时，不不积积下下限限样样本本里里；区区域域概概率率联联密密积积，上上限限方方法法：7-2-5 201510,0,1123()12XYDDyx yxxXYXYE XY例题（期末上分）：设随机变量 、 在区域 上服从均匀分布，其中 为围成，试求（ ）和 的联合密度函数；（ ）和 的边缘密度；（ ）期望值【注：这里只做（ ）与（ ）】第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布xy xy 1 x10 xy求求出出交交点点和和面面积积的的三三条条直直线线，密密度度值值，由由已已知知，作作出出到到分分母母）均均与与分分布布量量面面积积，放放解解（D11,01( , )0,xyxxf x y其它，因因此此时时当当由由图图像像，得得变变限限定定限限，）边边缘缘密密度度公公式式（xdyxfxyxdyyxfxfxxXX21102 )(:),()(第七讲第七讲 二维变量的概率分布与边缘概率分布二维变量的概率分布与边缘概率分布 其其它它,)(0102xxxfXydxyfyydxyfyxydxyxfyfyYyYY 1101111011)()(,),()(时时，当当时时，当当变变限限定定限限同同理理xy xy 1 x10 xy 其其它它,)(0101011yyyyyfY三、随机变量的独立性三、随机变量的独立性1. 1. 离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性是是独独立立的的。与与是是独独立立的的，则则称称及及事事件件及及值值于于它它们们的的任任一一对对可可能能取取为为离离散散随随机机变变量量，若若对对与与设设YXyYxXyxYXjiji ,第七讲第七讲 独立性独立性独独立立。与与率率之之积积，则则的的联联合合概概率率等等于于边边缘缘概概、若若即即独独立立可可定定义义为为、：由由定定义义，注注解解YXYXyYPxXPBPAPABPyYxXPyYxXPjijiji)()()()()()()()( 1不不算算数数。也也就就是是说说：独独立立条条件件，即即：独独立立的的等等价价定定义义是是注注解解)()/()()/(ijixXPyYxXPAPBAP 27-3-1.(,)XY例题： 已知随机变量的联合分布为：Y12191613181X231 才相互独立。才相互独立。、为何值时，为何值时，试问试问YX )2, 1(,YXyPxPyxPYXjYiXji量量的的交交叉叉点点，如如列列表表中中选选择择一一个个含含未未知知，从从概概率率独独立立，解解：首首先先91)2, 1(91)2(.311819161) 1(YXPYPXPX，),91(31)2() 1()2, 1(91YPXPYXPYX由由独独立立性性第七讲第七讲 二维连续变量分布与独立性二维连续变量分布与独立性，两两个个方方程程联联立立，得得：，得得，即即又又所所有有点点概概率率之之和和为为31131311.91)91(31.91,92第七讲第七讲 二维连续变量分布与独立性二维连续变量分布与独立性2. 2.连续随机变量的独立性连续随机变量的独立性由由此此推推出出等等价价定定义义是是独独立立的的。与与量量是是独独立立的的，则则称称随随机机变变与与事事件件与与于于任任一一对对实实数数为为连连续续随随机机变变量量，若若对对及及设设YXyYxXyxYX , ，显显然然：独独立立，反反之之亦亦然然。与与则则之之积积，与与等等于于边边缘缘分分布布定定义义：若若联联合合分分布布)()(),(),()()(),(yFxFyYPxXPyYxXPyxFYXyFxFyxFYXYX 边边缘缘分分布布（密密度度）之之积积联联合合分分布布（密密度度）等等于于独独立立与与即即：性性质质 YXyfxfyxfyFxFyxFYX),()(),()()(),(1，反推亦可，反推亦可，且且)()()()()()(),()()(),(),(),(yfxfyFyxFxyFxFyxyxfyFxFyxFyxFyxyxfYXYXYXYX 22第七讲第七讲 二维连续变量分布与独立性二维连续变量分布与独立性 例例7-3-2（95数学三）数学三）小小时时的的概概率率。命命都都超超过过求求两两个个电电子子元元件件使使用用寿寿是是否否独独立立？与与试试问问其其它它千千小小时时）且且即即（单单位位为为为为两两个个电电子子元元件件的的寿寿命命设设100021000110505050)()(,),(,.)(.yxyxeeeyxFkhYXyxyx )()(),()(yfxfyxfxyfYXYXXY 独独立立与与：若若性性质质还还可可以以推推出出，根根据据这这一一性性质质，显显然然，2xyyyexFxeee505050501011.),(,)()( 时时，）解解：（ 000150 xxexFxFxX,),()(.即即：).().().,.(101010102 YPXPYXP）（ 10050050101101.).()(.( eeeFFYX),()()()(,)(.yxFeeeeeyFxFyxyxyxyxYX 505050505011100时，时，独立独立与与即即YX独独立立，所所以以：、的的事事件件的的概概率率，由由于于都都大大于于、）的的概概率率，即即变变量量小小时时（两两个个元元件件寿寿命命都都超超过过YXkhYXkh1 . 01 . 01000第七讲第七讲 二维连续变量分布与独立性二维连续变量分布与独立性 000150yyeyFyFyY,),()(. 例例7-3-3（2012数学一，数学一，4分）分）).(YXPYX 的的指指数数分分布布，求求为为与与参参数数参参数数为为相相互互独独立立，且且分分别别服服从从与与设设随随机机变变量量41 GDdxdyyxfDYXP),(),(分分析析：本本题题用用公公式式 00040004yyeyfxxexfyYxX,)(,)(解解：由由题题设设， 其其它它独独立立，则则与与又又,)()(),(),(00044yxeyfxfyxfYXyxYX 0445144xyxGYXyxGYXdyedxdxdyedxdyyxfYXP)()(),()(则则yx 0GDxy第七讲第七讲 二维连续变量分布与独立性二维连续变量分布与独立性第七讲第七讲 二维连续变量分布与独立性二维连续变量分布与独立性 例例7-3-4（2011数学三，数学三，11分）分）)./()()(,yxfxfXyyxyxGGYXYXX求条件概率密度求条件概率密度的概率密度的概率密度）求）求（所围成的三角形区域。所围成的三角形区域。与与是由是由上的均匀分布，其中上的均匀分布，其中）服从区域）服从区域，设二维随机变量（设二维随机变量（21020 G21x0 xy 2 yxy11,1,2,01()0,GX Yyxyyf xy解：（）区域 如图，（）的联合密度为，其它定定限限变变限限，用用公公式式求求xydyyxfxfxfXX ),()()(;)(,xdyxfxxX 010时时;)(,xdyxfxxX 22120时时第七讲第七讲 二维连续变量分布与独立性二维连续变量分布与独立性 其它其它,)(021210 xxxxxfX变变限限。定定限限，用用公公式式已已知知，求求条条件件概概率率密密度度xydxyxfyfyfyxfyfyxfyxfYYYYX,),()()(),(,)(),()/()( 2时时，故故当当如如上上图图，1010 yY,;)(ydxyfyyY222 其其它它。所所以以,)(),()/(0102221yyxyyyfyxfyxfYYX四、二维离散随机变量的函数的概率分布四、二维离散随机变量的函数的概率分布）。用用公公式式表表示示为为：的的概概率率之之和和（对对应应的的的的概概率率等等于于。则则若若且且和和的的样样本本为为。设设仍仍是是一一离离散散型型随随机机变变量量）的的函函数数，且且（是是变变量量，是是一一个个二二维维离离散散型型随随机机设设定定义义：，（mjmiyxzzzmjmiyxgzzzzzyxyxgzyxyxgzYXkjkikkkjkiknZZYX,),(,),(,),(,),(,)21212121,21 ）的的概概率率之之和和。所所对对应应的的所所有有自自变变量量（的的概概率率等等于于值值二二维维离离散散变变量量函函数数和和一一维维一一样样，简简言言之之：jikkyxzzzYXgZ,),( 第七讲第七讲 二维离散变量函数的分布二维离散变量函数的分布注注：不不同同离离散散点点互互斥斥至至少少发发生生一一个个 jiyxgzkjkikmmkkkkkkkkkkjikkyYxXPyxgzyxgzyxgzPzZP,),(),(),(,),(),()(22113.例题讲解例题讲解例例7-4-17-4-1 设随机变量设随机变量 X X 与与 Y Y 独立，并且都服从二项分布：独立，并且都服从二项分布： 第七讲第七讲 二维离散变量函数的分布二维离散变量函数的分布 ;,210212122 ixxxiXxCxpiii .,210313222 iyyyiYyCypiii求它们的和求它们的和 Z Z = X + Y = X + Y 的分布。的分布。 解：由已知解：由已知414241)(210iXxPX949491)(210jYyPY的的概概率率分分布布列列表表将将，最最后后，按按照照定定义义求求出出然然后后，对对每每个个确确定定为为：首首先先，的的概概率率分分布布的的基基本本步步骤骤求求离离散散的的ZzZPzYXgZkkz)(,),( 由于由于X X 与与 Y Y 独立独立， 0, 00 YXPPZ 00YXpp ,361914191429441,366 1, 00, 11 YXPYXPPZ 1001YXYXPPPP 914194429441,3613 2ZP 021120YXYXYXPPPPPP 94419442,3612 3Zp 1221YXYXpppp 显然，随机变量显然，随机变量 具有可能值具有可能值YXZ 0,1,2,3,4。），），（，对对应应（）；，对对应应（其其中中：10011000 zz第七讲第七讲 二维离散变量函数的分布二维离散变量函数的分布 4Zp 22YXpp 9441.364所以，所以， 的概率分布如下：的概率分布如下：YXZ 3663613361Z kZzp012343612364习习。有有兴兴趣趣的的同同学学可可自自己己练练照照同同样样的的思思路路求求出出。的的概概率率分分布布，则则可可以以按按若若题题目目是是求求XYZ 设二维随机变量（设二维随机变量（X X, ,Y Y）的概率分布为：）的概率分布为： 例例7-4-2 (2005)X0140.10.abY01第七讲第七讲 二维离散变量函数的分布二维离散变量函数的分布 1010 YXPXPYXXP,解解：由由已已知知独独立立：aYXPYXXP )()()()(1010aXPXPX 4000.)()(已知事件已知事件X=0与与X+Y=1相互独立，则相互独立，则( ) . 4 . 0, 1 . 0 ; 2 . 0, 3 . 0; 1 . 0, 4 . 0 ; 3 . 0, 2 . 0 baDbaCbaBbaA baaaba 40.,由由独独立立性性得得：110401 .ba性性：又又由由全全体体点点概概率率和和为为Bba故故选选.,.10 40 ),(),()()(),(,0110111 YXPYXPYXPzPYXzYXZ即即的的联联合合概概率率的的和和的的概概率率等等于于对对应应的的则则令令第七讲第七讲 二维离散变量函数的分布二维离散变量函数的分布结束结束