2022年中考数学二次函数压轴题题型归纳 2.pdf
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2022年中考数学二次函数压轴题题型归纳 2.pdf
实用标准精彩文档中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式:22BABAxxyyAB2、中点坐标 :线段AB的中点C的坐标为:22BABAyyxx,直线11bxky(01k)与22bxky(02k)的位置关系:(1)两直线平行21kk且21bb(2)两直线相交21kk(3)两直线重合21kk且21bb(4)两直线垂直121kk3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下: 用和参数的其他要求确定参数的取值范围; 解方程,求出方程的根;(两种形式:分式、二次根式) 分析求解:若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。例:关于x的一元二次方程01222mxmx有两个整数根,5m且m为整数,求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。 (方法同上)例:若抛物线3132xmmxy与x轴交于两个不同的整数点,且m为正整数,试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下:已知关于x的方程23(1)230mxmxm(m为实数),求证:无论m为何值,方程总有一个固定的根。6、函数过固定点问题,举例如下:已知抛物线22mmxxy(m是常数),求证: 不论m为何值,该抛物线总经过一个固定的点,并求出固定点的坐标。7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页实用标准精彩文档( 1)如图,直线1l、2l,点A在2l上,分别在1l、2l上确定两点M、N,使得MNAM之和最小。( 2)如图,直线1l、2l相交,两个固定点A、B,分别在1l、2l上确定两点M、N,使得ANMNBM之和最小。( 3)如图,BA、是直线l同旁的两个定点,线段a,在直线l上确定两点E、F(E在F的左侧) ,使得四边形AEFB的周长最小。8、在平面直角坐标系中求面积的方法:直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法:如右图,S PAB=1/2 PM x=1/2 AN y 9、函数的交点问题:二次函数(cbxaxy2)与一次函数(hkxy)(1)解方程组hkxycbxaxy2可求出两个图象交点的坐标。(2)解方程组hkxycbxaxy2,即02hcxkbax,通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点0仅有一个交点0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页实用标准精彩文档没有交点010、方程法(1)设:设主动点的坐标或基本线段的长度(2)表示:用含同一未知数的式子表示其他相关的数量(3)列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、 “梯形”、 “相似三角形” 、 “直角三角形” 、 “等腰三角形”等图形时,利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移2121kkll、2121xxyyk平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等22BABAxxyyAB直角三角形直角梯形矩形跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。22BABAxxyyAB等腰三角形全等等腰梯形跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等【例题精讲】O x y A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页实用标准精彩文档一 基础构图:y=322xx(以下几种分类的函数解析式就是这个)和最小,差最大在对称轴上找一点P,使得 PB+PC 的和最小,求出P点坐标在对称轴上找一点P,使得 PB-PC的差最大,求出P点坐标求面积最大连接 AC,在第四象限找一点P,使得ACP面积最大,求出P坐标讨论直角三角连接 AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为直角三角形,求出 P坐标或者在抛物线上求点P,使ACP是以AC为直角边的直角三角形讨论等腰三角连接 AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为等腰三角形,求出 P坐标讨论平行四边形 1 、点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标二 综合题型例 1 (中考变式) 如图,抛物线cbxxy2与 x 轴交与 A(1,0),B(-3,0) 两点, 顶点为 D。交 Y轴于 C (1) 求该抛物线的解析式与ABC的面积。O x y A B C D O x y A B C D O x y A B C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页实用标准精彩文档(2) 在抛物线第二象限图象上是否存在一点M ,使MBC是以 BCM 为直角的直角三角形,若存在,求出点 P的坐标。若没有,请说明理由(3) 若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点( 不与 A、B 重合 ) ,过E作EF与 X 轴垂直,交BC于F,设 E点横坐标为x.EF 的长度为L,求 L关于 X的函数关系式?关写出X的取值范围?当E点运动到什么位置时,线段EF的值最大,并求此时E点的坐标?(4) 在( 5)的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当 E点运动到什么位置时, 以点 E 、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形?(5) 在( 5)的情况下点E运动到什么位置时,使三角形BCE的面积最大?例 2 考点:关于面积最值如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为 ( 1, 0)、(0 ,3) ,点B在x轴上已知某精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页实用标准精彩文档二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交BC于点F(1)求该二次函数的解析式;(2)若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段PF的长;(3)求PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标例 3 考点:讨论等腰如图,已知抛物线y21x2bxc与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为( 2,0) ,点C的坐标为( 0, 1) (1)求抛物线的解析式;(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DEx轴于点D,连结DC,当DCE的面积最大时,求点D的坐标;(3)在直线BC上是否存在一点P,使ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由例 4考点:讨论直角三角 如图,已知点 A(一 1,0)和点 B(1,2),在坐标轴上D B C O A y x E B C O A 备用图y x y x B A F P x1 C O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页实用标准精彩文档确定点 P,使得 ABP 为直角三角形,则满足这样条件的点P共有()(A)2个(B)4个 (C) 6个( D)7个 已知:如图一次函数y21x1 的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y21x2bxc的图象与一次函数y21x1 的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为 (1,0)(1)求二次函数的解析式;(2)求四边形BDEC的面积S;(3)在x轴上是否存在点P,使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形?若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由例 5 考点:讨论四边形已知:如图所示,关于x的抛物线yax2xc(a0)与x轴交于点A(2,0) ,点B(6,0) ,与y轴交于点C(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由综合练习:1、平面直角坐标系xOy中,抛物线244yaxaxac与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴O A B y C x D E 2 B A y O C x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页实用标准精彩文档交于点C,点A的坐标为 (1, 0),OBOC,抛物线的顶点为D。 (1) 求此抛物线的解析式; (2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足APBACB,求点P的坐标; (3) Q为线段BD上一点,点A关于AQB的平分线的对称点为A,若2QBQA,求点Q的坐标和此时QAA的面积。2、在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数2+2yaxaxc的图像与y轴交于点30,C,与x轴交于A、B两点,点B的坐标为03,。(1) 求二次函数的解析式及顶点D的坐标;(2) 点M是第二象限内抛物线上的一动点,若直线OM把四边形ACDB分成面积为1 :2 的两部分,求出此时点M的坐标;(3) 点P是第二象限内抛物线上的一动点,问:点P在何处时CPB的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点P的坐标。3、如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线xxmy222与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且对称轴与x轴交于点C。(1)求点B的坐标(用含m的代数式表示) ;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页实用标准精彩文档(2)D为OB中点,直线AD交y轴于E,若E( 0,2) ,求抛物线的解析式;(3)在( 2)的条件下,点M在直线OB上,且使得AMC的周长最小,P在抛物线上,Q在直线BC上,若以QPMA、为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标。4、已知关于x的方程2(1)(4)30m xm x。(1) 若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;( 2) 若正整数m满足822m,设二次函数2(1)(4)3ym xm x的图象与x轴交于AB、两点,将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象; 请你结合这个新的图象回答:当直线3ykx与此图象恰好有三个公共点时,求出k的值(只需要求出两个满足题意的k值即可)。5 如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a0)与 y 轴交于点C(0,4) ,与 x 轴交于点 A( 4, 0)和 B(1)求该抛物线的解析式;(2)点 Q是线段 AB上的动点,过点Q作 QE AC ,交 BC于点 E,连接CQ 当 CEQ 的面积最大时,求点Q的坐标;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页实用标准精彩文档(3)平行于 x 轴的动直线l 与该抛物线交于点P,与直线 AC交于点 F,点 D的坐标为 ( 2,0) 问是否有直线l ,使 ODF是等腰三角形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧例 1已知二次函数yx2(m1)xm 2 的图象与x轴相交于A(x1,0) ,B(x2,0)两点,且x1x2(1)若x1x20,且m为正整数,求该二次函数的表达式;(2)若x1 1,x21,求m的取值范围;(3)是否存在实数m,使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C(0, 2) ,若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由;(4)若过点D(0,12)的直线与( 1)中的二次函数图象相交于M、N两点,且MDDN13,求该直线的表达式题型二、 抛物线与x 轴两交点之间的距离问题例 2 已知二次函数y= x2+mx+m-5,(1)求证:不论m取何值时,抛物线总与x 轴有两个交点;(2)求当 m取何值时,抛物线与x 轴两交点之间的距离最短精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页实用标准精彩文档题型三、抛物线方程的整数解问题例1已知抛物线222(1)0yxmxm与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数,且 m 5,则整数 m的值为 _ 例 2已知二次函数yx22mx4m 8(1)当x2 时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围;(2)以抛物线yx22mx4m 8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AMN(M,N两点在拋物线上),请问:AMN的面积是与m无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由;(3)若抛物线yx22mx4m 8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数 m的值题型四、抛物线与对称,包括:点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例 1已知抛物线2yxbxc(其中b0,c0)与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n) ,且AB=2. (1) 求m,b的值(2) 如果抛物线的顶点位于x轴的下方,且BO=20。求抛物线所对应的函数关系式(友情提醒:请画图思考)题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)例 1已知:二次函数2y4xxm的图象与x 轴交于不同的两点A (1x,0) 、B (2x,0) (1xA O x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页实用标准精彩文档2x) ,其顶点是点C,对称轴与x 轴的交于点D(1)求实数m的取值范围;(2)如果(1x+1) (2x+1)=8,求二次函数的解析式;(3)把( 2)中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移,如果平移后的函数图象与x 轴交于点1A、1B,顶点为点C1,且111A B C是等边三角形,求平移后所得图象的函数解析式综合提升1已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4),且 |AB| 23,图象的对称轴为x1(1)求二次函数的表达式;(2)若二次函数的图象都在直线yxm的下方,求m的取值范围2已知二次函数yx2mxm2(1)若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB5,求m的值;(2)设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N,且SMNC 27,求m的值3. 已知关于x的一元二次方程x22(k1)xk20 有两个整数根,k5 且k为整数(1)求k的值;(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数yx22(k 1)xk2的图象沿x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页实用标准精彩文档轴向左平移4 个单位,求平移后的二次函数图象的解析式;(3)根据直线yxb与( 2)中的两个函数图象交点的总个数,求b的取值范围4已知二次函数的图象经过点A(1,0)和点B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围;(3)若二次函数的图象截直线yx1 所得线段的长为22,求m的值四、中考二次函数定值问题1. 如图,已知二次函数L1:y=x24x+3 与 x 轴交于 AB两点(点 A在点 B左边),与 y 轴交于点C(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)研究二次函数L2:y=kx24kx+3k( k0) 写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质;若直线y=8k 与抛物线L2交于 E、F 两点,问线段EF的长度是否发生变化?如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由2. 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(2,O)、B(2,0)、C(0, l) 三点,过坐标原点O的直线 y=kx 与抛物线交于M 、N两点分别过点C、D(0, 2) 作平行于x 轴的直线1l、2l (1)求抛物线对应二次函数的解析式;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页实用标准精彩文档 (2)求证以 ON为直径的圆与直线1l相切; (3)求线段 MN的长 ( 用 k 表示 ) ,并证明M 、N两点到直线2l的距离之和等于线段MN的长3. 如图 1,已知直线y=kx 与抛物线2422y=x +x273交于点 A(3,6) (1)求直线y=kx 的解析式和线段OA的长度;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页实用标准精彩文档(2)点 P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线 PM ,交 x 轴于点 M (点 M 、 O不重合),交直线 OA于点 Q ,再过点Q作直线 PM的垂线,交y 轴于点 N试探究:线段QM 与线段 QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;(3)如图 2,若点 B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段 OA上(与点 O 、A不重合),点 D (m ,0)是 x 轴正半轴上的动点,且满足BAE= BED= AOD 继续探究: m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1 个、 2 个?4孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a0) 的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,请精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页实用标准精彩文档解答以下问题:( 1)若测得OA=OB=22(如图 1) ,求a的值;( 2) 对同一条抛物线, 孔明将三角板绕点O旋转到如图2 所示位置时, 过B作BFx轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标;( 3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标FEyxBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页