2022年中考数学复习专题----动点试题 2.pdf

动点试题近十几年来，河北省数学中考试题最后一题都是动点试题。此题是选拔性试题，是难题，故要求具有比较强的分析能力，推理能力，计算能力，考查学生综合解决问题的能力。此题一般入口不难，第（1）（2）问大部分学生能得分，但（3） ， （4）问得分率很低。这就要求我们所有同学一定要做好（1),(2) 问；中等以上同学力争做好（3） （ 4）问。动点问题有：点动的类型；线动类型；图形动的类型。下面我们通过一个比较简单的动点题说明怎么解好动点题。示例： 已知正方形ABCD 的边长是1，E 为 CD 边的中点，P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P从 A 点出发，沿ABCE 运动，到达点E.若点 P 经过的路程为自变量x， APE 的面积为函数y，（1）写出 y 与 x 的关系式(2)求当 y13时， x 的值等于多少？ABCDE.总结： 解决动态问题需要把动态问题静态化，化为几个静态的过程，再在每一个静态过程中寻找两个变量间的关系。寻找两个变量间的关系一般会涉及到相似，勾股定理，三角函数等数学知识。下面我们回顾总结一下河北中考近三年的动点试题。(07 河北 ) 如图 16，在等腰梯形ABCD 中，AD BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135点 P 从点 B 出发沿折线段 BA-AD-DC 以每秒 5 个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点 C 出发沿线段CB 方向以每秒3 个单位长的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QKBC，交折线段CD-DA-AB 于点 E点 P、Q 同时开始运动，当点P 与点 C 重合时停止运动，点Q 也随之停止设点P、Q 运动的时间是t 秒（ t 0） （ 1）当点 P 到达终点C 时，求 t 的值，并指出此时BQ 的长；（ 2）当点 P 运动到 AD 上时， t 为何值能使PQDC ？（ 3）设射线 QK 扫过梯形 ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD、 DA 上时，S与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（ 4）PQE 能否成为直角三角形？若能，写出 t 的取值范围； 若不能，请说明理由D E K P Q C B A 图 16 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页(08 河北 )（本小题满分12 分）如图 15，在RtABC中，90C，50AB，30AC，DEF，分别是ACABBC，的中点点P从点D出发沿折线DEEFFCCD以每秒7 个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QKAB， 交折线BCCA于点G 点PQ，同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止设点PQ，运动的时间是t秒（0t） （1）DF，两点间的距离是；（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值若不能，说明理由；（3）当点P运动到折线EFFC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（4）连结PG，当PGAB时，请直接写出t的值（09 河北） 如图，在 RtABC 中， C=90 ，AC = 3，AB = 5点 P 从点C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点A 匀速运动， 到达点 A 后立刻以原来的速度沿AC 返回； 点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点B 匀速运动伴随着P、 Q 的运动， DE 保持垂直平分PQ，且交PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时出发，当点Q 到达点 B 时停止运动， 点 P 也随之停止 设点 P、Q 运动的时间是t 秒（t0） （1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求APQ 的面积 S与t 的函数关系式； （不必写出t 的取值范围）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值 若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值A E C D F G B Q K 图 15 P A C B P Q E D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页练习1.如图，已知在矩形ABCD 中， AD=8，CD=4，点 E 从点 D 出发，沿线段DA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 方向移动，同时点F 从点 C 出发，沿射线CD 方向以每秒2 个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动设点E 移动的时间为t（秒） （1）求当 t 为何值时，两点同时停止运动；（2）设四边形BCFE 的面积为S，求 S与 t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）求当 t 为何值时，以E，F，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（4）求当 t 为何值时，BEC=BFC2. 正方形ABCD边长为 4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：RtRtABMMCN；（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时RtRtABMAMN，求此时x的值A B C D E F O D M A B C N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页3.如图，在梯形ABCD中，354 245ADBCADDCABB，动点M从B点出发沿线段BC以每秒2 个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t秒（1）求BC的长（2）当MNAB时，求t的值（3）试探究：t为何值时，MNC为等腰三角形4. 如图，在 RtAOB 中， AOB90， OA3cm，OB4cm，以点 O 为坐标原点建立坐标系，设P、Q 分别为 AB、OB 边上的动点它们同时分别从点A、O 向 B 点匀速运动，速度均为1cm/秒，设 P、Q 移动时间为t（0t4）（1）求 AB 的长， 过点 P 做 PMOA 于 M，求出 P 点的坐标 （用t 表示）（2）求 OPQ 面积 S（ cm2） ，与运动时间t（秒）之间的函数关系式，当t 为何值时， S有最大值？最大是多少？（3）当 t 为何值时， OPQ 为直角三角形？（4）若点 P 运动速度不变，改变Q 的运动速度，使OPQ 为正三角形，求Q 点运动的速度和此时t 的值 . 参考答案y A O M Q P B x A D C B M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页示例： 解： （1）当01x时，12yx当12x时，11111(1)(2)4222yxx=3144x当22.5x时，151(2.5)242yxx（2）当 y13时，由1132x得23x； 由131344x得53x由151342x得116x，因为116不在22.5x内，故舍去。所以， y13时， x 的值是23x或53x(07 河北 ) 解： （1）t =（50 7550） 5=35（秒）时，点P 到达终点C（1 分）此时， QC=353=105， BQ 的长为 135105=30 （2 分）（ 2）如图 8，若 PQ DC，又 ADBC，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC，由 QC=3t，BA+AP=5t 得 50755t=3t，解得 t=1258经检验，当t=1258时，有 PQ DC （ 4 分）（ 3）当点E 在 CD 上运动时，如图9分别过点A、D 作 AFBC 于点 F，DH BC 于点 H，则四边形ADHF 为矩形，且 ABF DCH，从而FH = AD=75，于是 BF=CH=30 DH=AF=40又 QC=3t，从而 QE=QCtanC=3tCHDH=4t（注：用相似三角形求解亦可）S=SQCE =12QE QC=6t2；（6分）当点 E 在 DA 上运动时，如图8过点 D 作 DHBC 于点 H，由知 DH =40，CH=30，又 QC=3t，从而 ED=QH=QCCH=3t30S= S梯形QCDE =12(EDQC)DH =120 t600（8 分）（4） PQE 能成为直角三角形（9 分）当 PQE 为直角三角形时， t 的取值范围是 0t25 且 t1558或 t=35（ 12 分）（注： （ 4）问中没有答出t1558或 t=35 者各扣 1 分，其余写法酌情给分）下面是第（ 4）问的解法，仅供教师参考：当点 P 在 BA （包括点 A） 上， 即 0t 10 时， 如图 9 过点 P 作 PG BC 于点 G ， 则 PG=PBsinB=4t，又有 QE=4t = PG，易得四边形PGQE 为矩形，此时 PQE 总能成为直角三角形当点P、E 都在 AD（不包括点A 但包括点D）上，即10 t 25 时，如图8F G D E K P Q C B A 图9 H Q K C H D E P B A 图8精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页由 QK BC 和 AD BC 可知，此时，PQE 为直角三角形，但点P、E 不能重合，即5t503t30 75，解得 t1558当点 P 在 DC 上（不包括点D 但包括点C） ，即25t35时，如图10由ED25330=45，可知，点P在以QE=40为直径的圆的外部，故 EPQ 不会是直角由PEQDEQ，可知PEQ一定是锐角对于PQE，PQECQE，只有当点P与C 重合，即t=35 时，如图 11， PQE=90， PQE 为直角三角形综上所述，当 PQE 为直角三角形时，t 的取值范围是0 t 25 且 t1558或 t=35(08 河北 )解： （1）25（2）能如图 5，连结DF，过点F作FHAB于点H，由四边形CDEF为矩形，可知QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），此时12.5QHOF由20BF，HBFCBA，得16HB故12.5161748t（3）当点P在EF上6(25)7t时，如图64QBt，7DEEPt，由PQEBCA，得7202545030tt21441t当点P在FC上6(57)7t时，如图 7已知4QBt，从而5PBt，由735PFt，20BF，得573520tt解得172t（4）如图 8，213t；如图 9，39743t（注： 判断PGAB可分为以下几种情形：当6027t 时，点P图10 D E K P Q C B A C(P)D F(Q)B A(E)图11 A E C D F B Q K 图 6 P G A E C D F B Q K 图 7 P (G)A E C D F B Q K 图 8 P G H A E C D F B Q K 图 9 P G 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页下行，点G上行，可知其中存在PGAB的时刻，如图8；此后，点G继续上行到点F时，4t，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PGAB；当6577t时，点PG，均在FC上，也不存在PGAB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在6787t中存在PGAB的时刻，如图9；当810t 时，点PG，均在CD上，不存在PGAB）（09 河北） 解： （1）1，85；（2）作 QFAC 于点 F，如图 3， AQ = CP= t，3APt 由AQFABC，22534BC，得45QFt45QFt 14(3)25Stt ，即22655Stt （3）能当 DEQB 时，如图4DEPQ， PQQB，四边形QBED 是直角梯形此时 AQP=90 由 APQ ABC，得AQAPACAB，即335tt 解得98t如图 5，当 PQBC 时， DE BC，四边形QBED 是直角梯形此时 APQ =90 由 AQP ABC，得AQAPABAC，即353tt 解得158t（4）52t或4514t【注：点P 由 C 向 A 运动， DE 经过点 C方法一、连接QC，作 QGBC 于点 G，如图 6A C B P Q E D 图 4 A C B P Q E D 图 5 A C(E) B P Q D 图 6 G A C(E) B P Q D 图 7 G A CB P Q D 图 3 EF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页PCt ，222QCQGCG2234(5)4(5)55tt由22PCQC，得22234(5)4(5)55ttt，解得52t方法二、由CQCPAQ，得QACQCA，进而可得BBCQ，得CQBQ，52AQBQ52t点 P 由 A 向 C 运动， DE 经过点 C，如图 722234(6)(5)4(5)55ttt，4514t】练习1. 解： （1）当 B， E，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图2 所示（1 分）由题意可知：ED=t，BC=8， FD= 2t- 4，FC= 2tEDBC， FED FBCFDEDFCBC2428ttt解得 t=4当 t=4 时，两点同时停止运动；（3 分）（2） ED=t ，CF=2t ， S=SBCE+ SBCF=12 84+122tt=16+ t2即 S=16+ t2 （0 t 4） ；（6 分）（3）若 EF=EC 时，则点F 只能在 CD 的延长线上， EF2=222(24)51616tttt，EC2=222416tt，251616tt=216t t=4 或 t= 0（舍去）；若 EC=FC 时， EC2=222416tt，FC2=4t2，216t=4t2433t；若 EF=FC 时， EF2=222(24)51616tttt，FC2=4t2，251616tt=4t2 t1=168 3（舍去），t2=168 3当t 的值为4，433，168 3时，以E， F， C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（9 分）（4）在 RtBCF 和 RtCED 中， BCD=CDE=90，2BCCFCDED，RtBCFRtCED BFC=CED（10 分）ADBC， BCE=CED 若 BEC=BFC，则 BEC= BCE即 BE=BC图 2 A B C D E F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页BE2=21680tt，21680tt=64t1=168 3（舍去），t2=168 3当 t=168 3时， BEC=BFC（12 分）2. 解： （1）在正方形ABCD中，490ABBCCDBC，AMMN，90AMN，90CMNAMB，在RtABM中，90MABAMB，CMNMAB，RtRtABMMCN，（2）RtRtABMMCN，44ABBMxMCCNxCN，244xxCN，222141144282102422ABCNxxySxxx梯形，当2x时，y取最大值，最大值为10（3）90BAMN，要使ABMAMN，必须有AMABMNBM，由（ 1）知AMABMNMC，BMMC，当点M运动到BC的中点时，ABMAMN，此时2x3.解： （1）如图，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形3KHAD在RtABK中，2sin 454 242AKAB2cos454 242BKAB在RtCDH中，由勾股定理得，22543HC43310BCBKKHHCN D A CB M A D A D N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页（2）如图，过D作DGAB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形MNABMNDG3BGAD1037GC由题意知，当M、N运动到t秒时，102CNtCMt，DGMNNMCDGC又CCMNCGDCCNCMCDCG即10257tt解得，5017t（3）分三种情况讨论：当NCMC时，如图，即102tt103t当MNNC时，如图，过N作NEMC于E90CCDHCNEC，NECDHCNCECDCHC即553tt258t当MNMC时，如图，过M作MFCN于F点.1122FCNCtA D C B M N （图）（图）A D C B M N H E A D N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页90CCMFCDHC，MFCDHCFCMCHCDC即1102235tt6017t综上所述，当103t、258t或6017t时，MNC为等腰三角形4. （ 1）由题意知： BD=5 ，BQ=t，QC=4-t， DP=t，BP=5-t PQ BC BPQ BDC BCBQBDBP即455tt920t当920t时， PQ BC 3 分（2）过点 P作 PM BC ，垂足为M BPM BDC 355PMt)5(53tPM4 分tS21)5(53t=815)25(103t5 分当52t时， S有最大值1586 分（3）当 BP=BQ 时，tt5，25t7 分当 BQ=PQ 时，作 QEBD ，垂足为E，此时， BE=2521tBP BQE BDC BDBQBCBE即5425tt1325t9 分当 BP=PQ 时，作 PFBC，垂足为F, 此时， BF=221tBQ BPF BDC BDBPBCBF即5542tt1340t11 分14013t，252t，32513t，均使 PBQ 为等腰三角形12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页