2022年中考复习专题――存在性问题 .pdf

学习必备欢迎下载数学“存在性”问题的解题策略存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在推理论证得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。由于“存在性” 问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。【典型例题】例 1. 223(1)9200 xxmxmm若关于 的一元二次方程有两个实数根，390cos5abcABCABCCB又已知 、 、 分别是的 、 、 的对边，且，3bamRt，是否存在整数，使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于ABCcm的斜边 的平方？若存在，求出满足条件的的值，若不存在，请说明理由。分析： 这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m，满足的条件有m是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于RtABC 斜边 c 的平方，隐含条件判别式0 等，这时会发现先抓住RtABC 的斜边为c 这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决。解：在中，RtABCCB9035cos设 a=3k， c=5k，则由勾股定理有b=4k，33343kkkab，abc91215设一元二次方程的两个实数根为，xmxmmxx2212319200()则有：，xxmx xmm1212231920()xxxxx xmmm122212212222312920() ()()736312mm由，xxcc1222215有，即73631225736256022mmmm，mm124647精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页学习必备欢迎下载不是整数，应舍去，m647当时，m40存在整数m=4，使方程两个实数根的平方和等于RtABC 的斜边 c 的平方。例 2. 22kykxyP如图：已知在同一坐标系中，直线与 轴交于点，抛物2122(1)4(0)(0)yxkxkxA xB xC线与 轴交于， 两点，是抛物线的顶点（1）求二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）（2）若点 A 在点 B 的左侧，且x1x20 当 k 取何值时，直线通过点B；是否存在实数k，使 SABP=SABC？如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。分析：本题存在探究性体现在第（ 2）问的后半部分。认真观察图形，要使SABP=SABC，由于AB=AB ，因此，只需两个三角形同底上的高相等就可以。OP 显然是 ABP 的高线，而 ABC 的高线，需由C 作 AB 的垂线段，在两个高的长中含有字母k，就不难找到满足条件的k 值。解：( )()()11044414122，最小值aykkk( )()()()2214222由，得：yxkxkyxxk当时，yxxk02212点 A 在点 B 左侧，又，xxx xxx121212000A（2k，0） ，B（2，0） ，将，代入直线Bykxk()2022得：，222043kkk当时，直线过点kB43精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页学习必备欢迎下载（2）过点 C 作 CDAB 于点 D 则CDkk| () |()1122直线交 轴于，ykxkyPk22022()OPk22若，则SSABOPABCDABPABC1212OP=CD 2212kk()解得：，kk12122由图象知，取kk012当时，kSSABPABC12此时，抛物线解析式为：yxx22例 3. 已知： ABC 是 O 的内接三角形，BT 为 O 的切线， B 为切点， P 为直线 AB 上一点，过点P 作 BC 的平行线交直线BT 于点 E，交直线AC 于点 F。（1）当点 P 在线段 AB 上时，求证： PAPB=PE PF （2）当点 P为线段 BA 延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由。( )cos34 213若，求的半径ABEBAO分析： 第（ 1）问是一个常规性等积式的证明问题，按一般思路，需要把它转化为比例式，再转化为证明两个三角形相似的问题，同学们不会有太大的困难。难点在于让P 点沿BA 运动到圆外时，探究是否有共同的结论，符合什么共同的规律。首先需要按题意画出图形，并沿用原来的思路、方法去探索，看可否解决。第（3）问，从题意出发，由条件，欲求的半径，启发我们作出直径为辅助线，使隐性的cosEBAOAH13条件和结论显现出来。证明： （1） （如图所示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页学习必备欢迎下载BT 切 O 于 B， EBA= C，EFBC， AFP= C AFP= EBA 又 APF= EPB PFA PBE PAPEPFPBPAPB=PEPF （2） （如图所示）当 P为 BA 延长线上一点时，第（1）问的结论仍成立。BT 切 O 于点 B， EBA= C EPBC， PFA=C EBA= PFA 又 EPA=BPE PFA PBE PFPBPAPEPAPB=PEPF （3）作直径AH ，连结 BH， ABH=90 ，BT 切 O 于 B， EBA= AHB ，coscosEBAAHB1313s i ncos221AHBAHB又 AHB 为锐角s i n A H B223在中，RtABHAHBABAHABsin4 2，AHABAHBsin6 O 的半径为3。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页学习必备欢迎下载例 4. 已知二次函数 ymxmxm2330()()（1）求证：它的图象与x 轴必有两个不同的交点；（2）这条抛物线与x 轴交于两点A（ x1，0） ，B（x2，0） （x1x2） ，与 y 轴交于点C，且 AB=4 ， M 过 A、 B、C 三点，求扇形MAC 的面积 S。（3）在（ 2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使 PBD（PDx 轴，垂足为D）被直线 BC 分成面积比为1： 2 的两部分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。分析： 本题的难点是第（3）个问题。我们应先假设在抛物线上存在这样的点P，然后由已知条件（面积关系）建立方程，如果方程有解，则点P 存在；如果方程无解，则这样的点P 不存在，在解题中还要注意面积比为 1： 2，应分别进行讨论。解：( )()()()131230022mmmm它的图象与x 轴必有两个不同的交点。( )()()()233312ymxmxmxx令，则，yA xB x00012()()，xxm120，xmx2131，ABm()()1030AB=4 ，OA=1 ，OBmmB333130()yxx223C（ 0， 3） ， OC=OB ， ABC=45 AMC=90 ，设 M（1，b） ，由 MA=MC ，得：()()11132222bbb=1， M（1， 1）MA()()111522精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页学习必备欢迎下载扇形SMAC14542（3）设在抛物线上存在这样的点P（x，y） ，则过 B（3，0） ，C（0， 3）的直线BC的解析式为：yxBCPDE3，设与交于点当 SPBE：SBED=2： 1 时，PE=2DE， PD=3DE PD 的长是 P 点纵坐标的相反数，DE 的长是 E 点纵坐标的相反数，且 P、E 两点横坐标相同，抛直线PDyxxDEyx2233xxx22333()解得：，不合题意，舍去xx1323()P（2， 3）当 SPBE：SBED=1：2 时，PEDEDPDE1232，xxx223323()解得：，不合题意，舍去xx12123()，P()12154抛物线上存在符合题意的点，或，PP()()2312154例 5.如图：二次函数的图象与轴相交于、两点，点在原yxbxcxABA2点左边，点在原点右边，点，在抛物线上，BPmABPAO()tan1225（1）求 m 的值；（2）求二次函数的解析式；（3）在 x 轴下方的抛物线上有一动点D，是否存在点D，使 DAO 的面积等于 PAO的面积？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页学习必备欢迎下载解： （1）作 PHx 轴于 H，在 RtPAH 中t an PAOPHAH25，PHmAHm52P（1，m）在抛物线上，m=1+b+c ，设，A xB xAB()()12002|xx212()xxx x1221242令，得：yxbxc002，xxbx xcbc1212242xbbcb24222且，xxxbxb12122222OH=1， AH AO=1 ，AHmAOxb5222152221mb由：得：mbcmbbcmbc1522214224254521252b4()舍去m2425( )24521252yxx（3）假设在x 轴下方的抛物线上存在点D（x0，y0） ，使，则有：SSDAOPAOSAOySAOPHDAOPAO，12120|精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页学习必备欢迎下载，| |yPHm02425，代入，得：yyxx00020242545215xxxx020124521524253515，解得：，满足条件的点有两个：DD()()352425152425，或，例 6. 如图，在平面直角坐标系OXY 中，正方形OABC 的边长为2cm，点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c 经过点 A 和 B，且 12a+5c=0。（1）求抛物线的解析式；（2）如果点P 由点 A 沿 AB 边以 2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 由点 B 开始沿BC 边以 1cm/秒的速度向点C 移动，那么：移动开始后第t 秒时，设S=PQ2（cm2） ，试写出S 与 t 之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当 S 取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、 B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由。解： （1）根据题意， A（0， 2） ，B（2， 2）根据题意：2242125056532cabcacabc抛物线的解析式为： yxx565322（2）移动开始后第t 秒时， AP=2t ，BQ=t P（2t， 2） ，Q（2，t2），SPQStt2222222()()即Sttt584012()当 取得最小值时，St45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页学习必备欢迎下载，PQ()()852265假设在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、 R 为顶点的四边形是平行四边形，若以 PR 为一条对角线，使四边形PBRQ 为平行四边形BPQR28525，22512512565R()经检验，在抛物线上，R()12565若为 PB 为一条对角线，使四边形PRBQ 为平行四边形BQtPR45245145，经检验，不在抛物线上RR()()8514585145综上所述，当最小时，抛物线上存在点，使得以、 、SRPBQR()12565为顶点的四边形是平行四边形。练习一、单项选择题（每题3 分，共 42 分）1. 12（）A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 2. 下列计算正确的是（）A. 34235aaa； B. ()aa47；C. ()aba b2336；D. aaa a20()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页学习必备欢迎下载3. 1 纳米 =0.000000001 米，则 3.14 纳米用科学计数表示为（）A. 3.14109米；B. 3.14108米；C. 3.14109米；D. 3141010.米4. 李明沿着坡角为的斜坡前进200 米，则他上升的最大高度是（）A. 200cos米； B. 200cos米；C. 200sin米； D. 200sin米5. 如图， O 的直径 AB CD 弦于 E，若 OB=5， CD=8，则 BE 长为（）A. 3 ；B. 2.5；C. 2；D. 1 6. 今年学校有n 件科技小作品参赛，比去年增加了40%还多 5 件，设去年有m 件作品参赛，则 m=（）A. n5140%；B. n(140%)5；C. n5140%；D. n(140%)57. 两圆直径分别为14 和 6，圆心距为8，则这两圆公切线最多有（）条。A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 在直角坐标系中，点A（m，n）且mn20，则点 A 一定不在（）的图象上。A. yx1； B. yx；C. yx； D. yx29. 如图，在 ABC 中， DEBC，AD ： DB=EC ：AE，则 DE：BC=（）A. 1：3；B. 1： 1；C. 2：1；D. 1：2 10. 是中心对称但不是轴对称的图形是（）A. 正三角形；B. 梯形；C. 平行四边形；D. 直线11. 三峡工程在6 月 1 日 6 月 10 日下闸蓄水期间，水库水位由106 米升至 135 米，高峡出平湖初现人间。假设水库水位保持均匀上升，能正确反映水位h(米)与时间 t（天）变化的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页学习必备欢迎下载12. 如果圆锥的母线长是高的2 倍，侧面展开图的面积是8 3 ，则圆锥的高是（）A. 1 ；B. 1.5；C. 2 ；D. 2313. 某商品的价格是按利润的50%计算销售价，为了促销，采取打折优惠方式出售。若每件商品打折后仍能获利20%，则商家是按销售价的（）折出售A. 七五；B. 八；C. 八五；D. 九14. 已知ykxk()0图象上有点A()xy11，B xy()22，xx120，则yy12的值（）A. 小于 0；B. 等于 0；C. 大于 0 ；D. 正负不确定二、填空题15. 函数yxx11的自变量x 的取值范围是 _。16. 分解因式：xxx33412_。17. 已知梯形下底长是上底长的2 倍，且中位线是6cm，则下底长是 _cm。18. 如果xxxxxx2222821521，则_。19. 如图，在直角坐标系中，RtOAB RtOCD，相似比为1：2，且 B（1，1） ，则 D 的坐标是（ _，_） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页学习必备欢迎下载20. 小明预算4 月份家庭用电开支。四月初连续8 天早上电表显示的读数见下表，如果每度电收取电费0.42 元，估计小明家四月份这个月（按 30 天计）的电费是 _元。 （注：电表计数器上先后两次显示的读数的差就是这段时间内所消耗电能的度数）日期1 2 3 4 5 6 7 8 电报显示读数21 24 28 33 39 42 46 49 三、 （每题 5 分，共 15 分）21. 如果一个角的补角是155，求这个角的余角。22. 计算：(tan)()|160132110。23. 如图，是一块由长方形ABCG 割去长方形EFGD 而成的金属板。请你画一条直线，将金属板 ABCDEF 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法，不要证明）_为所求作的直线。四、解答题（24 题 7 分，其余每题8 分，共 39 分）24. 已知等腰梯形ABCD 的周长是15，AD BC，ADBC ， BAD=2 B，对角线CA 平分 BCD，求对角线AC 的长及梯形面积S。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页学习必备欢迎下载25. 某球迷协会组织36 名球迷乘车前往比赛场地为中国队加油助威，现可租用两种车辆：一种每辆车可乘坐8 人，另一种每辆车可乘坐4 人，要求每辆车既不超载也不空座位（1）请你给出三种不同的租车方案（2）若 8 个座位的车是每辆280 元/天， 4 个座位的车是每辆200 元/天，写出租车费用S（元）与租8 人座位车x（辆）的函数解析式，并求自变量x 取值范围。（3）请确定租车总费用最小的方案，这时费用是多少元？26. 已知：如图，塔AB 和楼 CD 的水平距离为80 米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A的仰角分别45和 60，试求塔高和楼高。 （精确到0.01 米，214143.，1.732）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页学习必备欢迎下载27. 如图，已知BC 是 O 的直径，延长CB 至 A，使ABBC122，割线 APM 交 O于点 M，使 3PM=2AP ，过 M 作 O 的另一直径MN，连结 PN 交 AC 于 E，切线 PF切O 于 P，交 AB 于 F。（1）求证： MN BC 于 O； （2）求 BFP 的面积。28. 已知：抛物线yxm xm21264()与 x 轴交于两点A（x1， 0） ，B（x2，0）()xxxx12120，它的对称轴交x 轴于点 N（x3，0） ，若 A，B 两点距离不大于6， （1）求 m 的取值范围；（2）当 AB=5 时，求抛物线的解析式； （ 3）试判断，是否存在m 的值，使过点 A 和点 N 能作圆与y 轴切于点 （0，1） ，或过点 B 和点 N 能作圆与y 轴切于点 （0，1） ，若存在找出满足条件的m 的值，若不存在试说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页学习必备欢迎下载试题答案一、单项选择题： （每题 3 分，共 42 分）1. B 2. C 3. C 4. C 5. C 6. C 7. B 8. A 9. D 10. C 11. D 12. C 13. B 14. A 二、填空题15. xx11且 16. ()()()xxx22317. 4 6318. 0 或 2 19. D（2，2）20. 50.4 元三、 （每题 5 分，共 15 分）21. 6522. 31223. 如图： MN 为所求作的直线。24. 对角线 AC 的长为3 3，梯形面积S为274325. 解： （1）设租用 8 座车 x 辆，租用 4 座车 y 辆，则843692xyyx，当时，；当时，；当时，xyxyxy091725三种不同的租车方案是：租用4 座车 9 辆；租用 8 座车一辆， 4 座车 7 辆；租用 8 座车两辆， 4 座车5 辆（2）Sxyxx280200280200 92()即Sxxx120180004()，且 是整数当 x=4 时，S最小元180012041320()租车总费用最小的方案是：租用8 座车 4 辆，租用 4 座车 1 辆，这时费用为1320 元。26. 塔高： 138.56 米，楼高： 58.56 米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页学习必备欢迎下载27. 证明： （1）ABBCBC1224，3232PMAPAPPM，设 AP=3m，则 PM=2m，由切割线定理： APAM=AB AC 3526452 552mmmm，AMm222552 5520()()又MOAO22222420MOAOAM222 AOM 是直角三角形，MN BC （2）作 PHAC 于 H， PHMN PHMOAPAMPHMO353535265，设 BF=x，则 AF=2x， PF 为切线， APF=TPM=N 即 APF=N A+M=90 ， N+M=90， A= N A=APF， PF=AF=2x由切割线定理：PFFBFCxxx2224，()()xBF1212()负值舍去 ，SBFPHBFP1212126531028. 解： （1）令 y=0，则xm xm21260()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页学习必备欢迎下载xxxxxx121212000，且，xmx12232，AmB()()23020，ABmm22352()由 AB6，且x x120，得：4605263212mmmm123m（2）当 AB=5 时，5250mm，抛物线的解析式为：yxx26（3）N（x3，0）是抛物线与x 轴的交点Nm()2120，若 N 在 x 轴的正半轴上，则OGONmOB12122，由切割线定理：OGONOB2121221mm若 N 在 x 轴的负半轴上，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页学习必备欢迎下载则ONmOAm12232，由切割线定理：OGONOA2112232mm()mm12232232，123mm232()舍去m232m 的值为 1 或232。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页