2022年中考压轴题分类专题五《抛物线中的四边形》 .pdf

中考压轴题分类专题五 抛物线中的四边形基本题型：一、 已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上） ，若四边形ABPQ为平行四边形，求点P坐标。分两大类进行讨论：（1）AB为边时（2）AB为对角线时二、 已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上） ，若四边形ABPQ为距形，求点P坐标。在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等三、 已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上） ，若四边形ABPQ为菱形，求点P坐标。在四边形ABPQ为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直四、已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上） ，若四边形ABPQ为正方形，求点P坐标。在四边形ABPQ为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边相等（2）对角线互相垂直在四边形ABPQ为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：（1）邻边互相垂直（2）对角线相等五、已知AB，抛物线02acbxaxy，点P在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上） ，若四边形ABPQ为梯形，求点P坐标。分三大类进行讨论：（1）AB为底时（2）AB为腰时（3）AB为对角线时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页所需知识点：一、 两点之间距离公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则由勾股定理可得：221221yyxxPQ。二、 圆的方程：点y, xP在 M 上， M 中的圆心M 为b ,a，半径为 R。则RbyaxPM22，得到方程：222Rbyax。P 在的图象上，即为M 的方程。三、 中点公式：已知两点2211y,xQ,y,xP，则线段PQ 的中点 M 为222121yy,xx。四、 任意两点的斜率公式：已知两点2211y ,xQ,y,xP，则直线PQ 的斜率：2121xxyykPQ。五、 平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：111bxky:l，222bxky:l021kk。（一）12121lbbkk2l。 （二）121lkk与2l相交。特别是21211llkk。_ Q_ G_ P_ O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页典型例题：例一（ 08 深圳中考题） 、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2acbxaxy的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ， OBOC ，tan ACO31（1）求这个二次函数的表达式（2）经过 C、D 两点的直线，与x 轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度（4）如图 10，若点 G（2， y）是该抛物线上一点，点P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和 APG 的最大面积 . 图 9yxOEDCBAGABCDOxy图 10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页例二、 如图，反比例函数ykx的图象与二次函数cbxxy2的图象在第一象限内相交于A、B 两点，A、B 两点的纵坐标分别为1，3，且 AB=52（）求反比例函数的解析式；（）求二次函数的解析式（3）如果 M 为 x 轴上一点， N 为 y 轴上一点，以点 A，B，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，试求直线 MN 的函数表达式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页例 3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=32x2+bx+c经过 A（0， 4） 、B（x1，0） 、 C（x2，0）三点，且x2x1=5（ 1）求b、c的值； （ 4 分）（ 2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE 是以 BC 为对角线的菱形； （3 分）（ 3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由（ 3分）（第 25 题图）A x y B C O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页例 4、 （2009 年重庆綦江县）26 （ 11 分）如图， 已知抛物线2(1)3 3(0)ya xa经过点( 2)A，0，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1 个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为( )t s问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1 个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t( )s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长x y M C D P Q O A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页同步训练：1、如图，抛物线y=ax2+bx+c 交坐标轴于点A（ 1，0） 、B（3，0） 、C（0， 3） 。（ 1）求此抛物线函数解析式及顶点M 的坐标。（2）若直线CM 与 x 轴交于点D, E 是 C 关于此抛物线对称轴的对称点，试判断四边形ADCE 的形状并说明理由。（3）若 P 是该抛物线上异于A、B 两点的一个动点，连接BP 交 y 轴正半轴于点N，是否存在点P 使AOC 与 BON 相似，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由。x y O A B C E D M x y O A B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页2 如图，在直角坐标系xOy中， 点P为函数214yx在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为(01)，直线l过(01)B，且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于CQ，连结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：四边形APQR为平行四边形；平行四边形APQR为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线214yx有无其它公共点？并说明理由x l Q C P A O B H R y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页3、 （2009 年广东广州 ）如图 13，二次函数)0(2pqpxxy的图象与x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点C（0，-1） ， ABC 的面积为45。（ 1）求该二次函数的关系式；（ 2）过 y 轴上的一点M（0，m）作 y 轴的垂线，若该垂线与ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（ 3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页4、 （2009 年烟台市） 如图，抛物线23yaxbx与x轴交于AB，两点，与y轴交于C 点，且经过点(23 )a，对称轴是直线1x，顶点是M（ 1）求抛物线对应的函数表达式；（ 2）经 过C ,M两 点 作 直 线 与x轴 交 于 点N， 在 抛 物 线 上 是 否 存 在 这 样 的 点P， 使 以 点PACN， ， ，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）设直线3yx与 y 轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与BD，重合），经过ABE， ，三点的圆交直线BC于点F，试判断AEF的形状，并说明理由；（ 4）当E是直线3yx上任意一点时， （3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）O B x y A M C 1 3（第 26 题图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页5、 （2009 年浙江省湖州市）已知抛物线22yxxa（0a）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12yxa分别与x轴，y轴相交于BC，两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则MN，；(2)如图，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线22yxxa（0a）上是否存在一点P，使得以PACN， ，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由. 第（ 2）题x y B C O D A M N Nx y B C O A M N 备用图（第 24 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页6、 （2009 年河池市） 如图 12，已知抛物线243yxx交x轴于 A、B 两点，交y轴于点 C，?抛物线的对称轴交x轴于点 E，点 B 的坐标为（1，0） （1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与 A、B、C 三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）连结 CA 与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM 把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM 的解析式；若不存在，请说明理由O D B C A xyE 图 12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页7、 （江苏省2009 年） 如图，已知二次函数221yxx的图象的顶点为A二次函数2yaxbx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数221yxx的图象的对称轴上（1）求点A与点C的坐标；（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数2yaxbx的关系式x y O 1 2 3 2 1 112221yxxA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页8、 （2009 年柳州） 如图 11，已知抛物线baxaxy22（0a）与x轴的一个交点为( 1 0)B，与 y轴的负半轴交于点C，顶点为D（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点A 的坐标；（2）以 AD 为直径的圆经过点C求抛物线的解析式；点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以EFAB，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标O x y A B C D 图 11 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页