2022年中考数学专题之数形结合 .pdf

学习必备欢迎下载中考数学专题数形结合知识梳理数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，从而起到优化计算的目的华罗庚先生曾指出： “数与形本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性，是中考数学的一个最重要数学思想典型例题一、在数与式中的应用【例 1】实数a、b 在数轴上的位置如图所示，化简2aab=_【分析】由数轴上a，b 的位置可以得到a0 且ab2aa，abba【解】22aababaab【例 2】如下图是小明用火柴搭的1 条、2 条、3 条“金鱼”，则搭n 条“金鱼”需要火柴_根【分析】由图形可知，搭1 条金鱼需要8 根火柴棒，后面每多一条就多6 根火柴棒，所以搭n 条金鱼共需 8+6(n1)=(6n+2) 根火柴棒【解】 6n+2 二、在方程、不等式中的应用【例 3】(08 聊城 )已知关于x 的不等式组020 xax的整数解共有2个，则a的取值范围是 _【分析】 解不等式组得解集为2xax，我们可以将x2 标注在数轴上， 要使得不等式组有2 个整数解， 由图象可知整数解为0，1，则a应在 10 之间，且可以等于1，但不能为0，所以以的取值范围是la0【解】1n3 Bk=3 Ck3 D无法确定【分析】如果根据b24ac 的符号来判别解的情况，本题将无从入手，可将原方程变形为ax2+bx+c=k ，从而理解成是两个函数的交点问题，即2yaxbxcyk，由图象可知只要y=k3 就一定定与抛物线有两个不同的交点，所以答案选C【解】 C 三、在函数中的应用【例 6】(08 安徽 )如图为二次函数y=ax2+bx+c 的图象，在下列说法中：ac0 当 x1 时， y 随 x 的增大而增大正确的说法有_(把正确的答案的序号都填在横线上) 【分析】由图象可知，开口向上，与x 轴交于 1 和 3 两点，与 y 轴交于负半轴，则a0，c0；由对称性知对称轴x=1，所以结论正确【解】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载【例 7】某跳水运动员进行10 米跳台跳水训练时，身体(看成一点 )在空中的运动路线如图所示，为经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)要跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103米，入水处距池边的距离为4 米，同时，运动员在距水面高度为5 米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误，(1)求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中运动路线是如图抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3 导米，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由【分析】 (1)在给出的直角坐标系中，要确定抛物线的解析式，就要确定抛物线上三个点的坐标，如起跳点 O(0，0)，入水点 (2， 10)，最高点的纵点标为23(2)求出抛物线的解析式后，要判断此次跳水会不会失误，就是要看当该运动员在距池边水平距离为335米，3332155x时，该运动员距水面高度与5 米的关系【解】 (1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ，由图可知， O， B 两点的坐标依次为(0， 0)(2， 10)， 且顶点 A 的纵坐标为23， 则20421 04243cabcacba， 解得2561030abc或3220abc抛物线的对称轴在y 轴右侧，02ba又抛物线开口向下，256a，103b，c=0，2251063yxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载(2)当运动员在空中距池边距离为335米时，即383255x时，63y，此时运动员距水面高为16410533因此，试跳会出现失误四、在概率统计中的应用【例 8】(05 江西 )某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图所示的条形统计图：(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图，并说明这两幅统计图各有什么特点；(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议【分析】观察条形统计图可以计算出调查总人数，画扇形统计图需计算出第一版、第二版的百分比和圆心角，分别为15003601085000，500360365000，建议可从不足的方面提出【解】 (1)参加调查的人数为5000 人；(2)如图所示：条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比(3)如：建议改进第二版的内容，提高文章质量，内容更贴近生活，形式更活泼些精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载综合训练1 “数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P 所表示的数是2” ，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做( ) A代入法B数形结合C换元法D分类讨论2(08 大连 )如图，两温度计读数分别为我国某地今年2 月份某天的最低气温与最高气温，那么这天的最高气温比最低气温高( ) A5B7C12D 123某人从 A 地向 B 地打长途电话6 分钟，按通话时间收费，3 分钟以内收费24 元，此后每加1 分钟加收 1 元，则表示电话费y(元)与通话时间 (分)之间的关系的图象正确的是( ) 4若 M112y，N214y，312y，三点都在函数kyx(ky3y1By2y1y3C y3y1y2Dy3y2y1 5关于 x 的一元二次方程x2 xn=0 没有实数根，则抛物线y=x2xn 的顶点在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 ( ) 6(08 临沂 )若不等式组302741xaxx的解集为x0 Ba=0 Ca4 Da=4 7(08 镇江 )福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数 y=x2x+m(m 为常数 )的图象如图所示，如果x=a时， y0 晶晶：我发现图象的对称轴为x=12欢欢：我判断出x1ax2迎迎：我认为关键要判断a1 的符号妮妮： m 可以取一个特殊的值Ay0 B0ym Dy=m 8如图，在平面直角坐标系中，AOB=15 0， OA=OB=2 ，则点A、B 的坐标分别是_和_9在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b 的小正方形 (ab)如图 1，把余下的部分剪拼成一个矩形如图 2，通过计算两个图形(阴影部分 )的面积，验证了一个等式，则这个等式是_10(08 绍兴 )如图，已知函数y=x+b 和 y=ax+3 的图象交点为P，则不等式x+bax+3 的解集为_11方程组211yxyx的解是 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载12(08 广州 )如图，为实数a、b 在数轴上的位置，化简222abab13(02 南京 )(1)阅读下面材料：点A、B 在数轴上分别表示实数a、b，A、B 两点之间的距离表示为AB当 A、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，ABOBbab；当 A、B 两点都不在原点时，如图 2，点 A、B 都在原点的右边ABOBOAbabaab；如图 3，点 A、B 都在原点的左边，ABOBOAbabaab；如图 4，点 A、B 在原点的两边，ABOBOAababab(2)回答下列问题：数轴上表示2和 5 的两点之间的距离是_， 数轴上表示2和 5的两点之间的距离是_，数轴上表示1 和 3 的两点之间的距离是_；数轴上表示x 和 1 的两点 A 和 B 之间的距离是_，如果2AB，那么 x 为_；当代数式12xx取最小值时，相应的x 的取值范围是_14(08 苏州 )某厂生产一种产品，图是该厂第一季度三个月产量的统计图，图是这三个月的产量与第一季度总产量的比例分布统计图，统计员在制作图、图时漏填了部分数据根据上述信息，回答下列问题：(1)该厂第一季度 _月份的产量最高(2)该厂一月份产量占第一季度总产量的_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载(3)该厂质检科从第一季度的产品中随机抽样，抽检结果发现样品的合格率为98请你估计：该厂第一季度大约生产了多少件合格的产品?(写出解答过程 ) 15(08 恩施 )如图所示， C 为线段 BD 上一动点，分别过点B、D 作 AB BD ，EDBD ，连接 AC、EC已知 AB=5 ，DE=1 ，BD=8 ；设 CD=x (1)用含 x 的代数式表示AC+CE 的长；(2)请问点 C 满足什么条件时，AC+CE 的值最小 ? (3)根据 (2)中的规律和结论，请构图求出代数式224129xx的最小值16如图，已知抛物线与x 轴交于 A( 1，0)、 B(3， 0)两点，与y 轴交于点C(0，3)。(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得 PDC 是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点 M 是抛物线上一点，以B、C、D、 M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载综合训练参考答案1B 2C 3C 4 B 5A 6B 7C 831 ，(2， 0) 9a2b2=(a+b)(ab) 10 x1 11(0， 1) 12原式 =ab (ba)=2b 13 3 3 4 1x1 或 3 lx2 14 (1)三(2)30 (3)(190038)98=4900 15 (1)228251xx(2)当 A、C、E 三点共线时， AC+CE 的值最小(3)如下图所示，作BD=12 ，过点 B 作 AB BD ，过点 D 作 EDBD，使 AB=2 ，ED=3 ，连结 AE 交 BD于点 CAE 的长即为代数式224129xx的最小值过点A 作 AF BD交 ED 的延长线于点F，得矩形ABDF ，则AB=DF=2 ， AF=BD=12 所以22123213AE即224129xx的最小值为1316 (1) 抛物线与y 轴交于点C(0，3)，设抛物线解析式为y=ax2+bx+3(a0) 根据题意，得309330abab，解得12ab，抛物线的解析式为y=x2+2x+3(2)存在由 y=x2+2x+3 得， D 点坐标为 (1，4)，对称轴为x=1若以 CD 为底边，则PD=PC，设 P 点坐标为 (x，y)，根据勾股定理，得 x2+(3y) 2=(x1) 2+(4 y) 2，即 y=4x又 P 点(x，y)在抛物线上，4x=x2+2x+3 ，即 x23x+1=0 解得352x，因3521，应舍去精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载5542yx，即点 P 坐标为35 5522，若以 CD 为一腰，因为点P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P 与点 C 关于直线 x=1 对称，此时点P 坐标为 (2，3)符合条件的点P 坐标为35 5522，或(2，3)(3)由 B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，根据勾股定理，得CB=3 2，CD=2，BD=2 5CB2+CD2=BD2=20，BCD=90 ，设对称轴交x 轴于点 E，过 C 作 CMDE，交抛物线于点M，垂足为F，在 Rt DCF 中，CF=DF=1 ，CDF=45，由抛物线对称性可知，CDM=2 45=90，点坐标M 为(2，3)，DM BC，四边形 BCDM 为直角梯形，由 BCD=90 及题意可知，以BC 为一底时，顶点M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以 CD 为一底或以BD 为一底，且顶点M 在抛物线上的直角梯形均不存在综上所述，符合条件的点M 的坐标为 (2，3)坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页