2022年专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第三讲函数的图象与性质 .pdf

学习必备欢迎下载第三讲函数的图象与性质1函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数2函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设x1，x2a，b，那么 (x1x2)f(x1)f(x2)0?f x1f x2x1x20? f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0 ?f x1f x2x1x20 x0得，函数定义域为0,1)2 (2013 山东 )已知函数f(x)为奇函数，且当x0 时， f(x)x21x，则 f(1)等于() A 2 B0 C 1 D2 答案A 解析f( 1) f(1) (11) 2. 3 (2013 四川 )函数 yx33x1的图象大致是() 答案C 解析由 3x10 得 x0，函数 yx33x1的定义域为 x|x 0，可排除选项A；当 x 1 时， y13131320，可排除选项B；当 x2 时，y1，当 x 4 时， y6480，但从选项 D 的函数图象可以看出函数在(0，)上是单调递增函数，两者矛盾， 可排除选项D.故选 C. 4 (2013 北京 )函数 f(x)的图象向右平移1 个单位长度， 所得图象与曲线y ex关于 y 轴对称，则 f(x)等于() Aex1B ex1Cex1Dex1答案D 解析与 yex图象关于y 轴对称的函数为yex.依题意， f(x)图象向右平移一个单位，得 yex的图象 f(x)的图象由 yex的图象向左平移一个单位得到f(x)e(x1)ex1. 5 (2013 江苏 )已知 f(x)是定义在R 上的奇函数当x0 时， f(x)x24x，则不等式f(x)x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载的解集用区间表示为_答案(5,0)(5， ) 解析由已知 f(0)0， 当 x0 时，f(x) f(x) x24x， 因此 f(x)x24x，x 0 x24x，xx 等价于x0 x24xx，或xx解得： x5 或 5x0. 题型一函数及其表示例 1(1)若函数 yf(x)的定义域是 0,2，则函数g(x)f 2xln x的定义域是() A0,1B 0,1) C0,1)(1,4D(0,1) (2)已知实数a0，函数 f(x)2xa，x0，x1，故 x(0,1)(2)首先讨论1a,1a 与 1 的关系，当 a1,1 a0 时， 1a1，所以 f(1a)2(1a)a2 a；f(1a) (1a)2a 3a1. 因为 f(1a)f(1a)，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载所以 2 a 3a1，所以 a32(舍去 )综上，满足条件的a34. 反思归纳(1)求函数定义域的方法：根据具体函数yf(x)求定义域时， 只要构建使解析式有意义的不等式(组)，求解即可； 根据抽象函数求定义域时：a.若已知函数f(x)的定义域为 a， b， 其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出b.若已知函数f(g(x)的定义域为 a，b，则 f(x)的定义域为g(x)在 xa，b时的值域(2)求复合函数的函数值，要先内后外；分段函数问题要准确代入函数的解析式，如不能确定要进行讨论互动探究若将例 1(2)中“ f(1a)f(1a)”变为“ f(1a)f(1a)”，则a 的取值范围是_答案a34或 a0 解析当 a0 时，由 f(1a)f(1a)得：(22a)a1a2a，解得 a32. 所以 a0，当 a0. 变式训练1设函数 g(x)x22(xR)，f(x)g x x4，xg x ，g x x，xg x ，则 f(x)的值域是() A94， 0 (1， ) B 0， ) C94， ) D94，0(2， ) 答案D 解析由 xg(x)得 xx22， x2；由 xg(x)得 xx22，1x2. f(x)x2x2，x2，x2x 2， 1x2.即 f(x)x12274，x2，x12294， 1 x2.当 x2；当 x2 时， f(x)8. 当 x (， 1) (2， )时，函数的值域为(2， )名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载当 1x2 时，94f(x)0. 当 x 1,2时，函数的值域为94，0综上可知， f(x)的值域为 94， 0 (2， )题型二函数的图象问题例 2已知 f(x)2x 1x0 ，x0 x 1 ，则下列函数的图象错误的是() 审题破题可以先画出函数f(x)的草图，然后变换得到其它函数的图象，也可以利用特殊点进行排除答案D 解析先在坐标平面内画出函数yf(x)的图象， 再将函数yf(x)的图象向右平移1 个长度单位即可得到yf(x1)的图象，因此A 正确；作函数yf(x)的图象关于y 轴的对称图形，即可得到yf(x)的图象， 因此 B 正确； yf(x)的值域是 0,2，因此 y|f(x)|的图象与 y f(x)的图象重合， C 正确； yf(|x|)的定义域是 1,1， 且是一个偶函数， 当 0 x1时， yf(|x|)x，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D 不正确反思归纳(1)作图：应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成(2)识图：在观察、分析图象时，要注意到图象的分布及变化趋势，具有的性质，找准解析式与图象的对应关系(3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究变式训练2已知函数f(x)2x2，则函数y|f(x)|的图象可能是() 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载答案B 解析函数 f(x)2x2 是把函数y 2x的图象向下平移两个单位得到的图象，由 2x20得 x1，即在 ( ，1)上，函数 f(x)2x2 的图象位于x 轴下方，根据指数函数图象的特点，不难看出把x 轴下方的部分对称到x 轴上方后得到函数y|f(x)|的图象故选B. 题型三函数的性质问题例 3(1)(2012 山东)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)，当 3x1 时， f(x) (x2)2；当 1x3 时， f(x)x.则 f(1)f(2)f(3) f(2 013)等于() A335 B337 C 1 678 D2 012 (2)设 f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x0 时， f(x)x2，若对任意的x 22，22，不等式f(xt)2f(x)恒成立，则实数t 的取值范围是() A2， ) B(，2 C432， ) D(，2432， ) 审题破题(1)先判断函数的周期性，再求函数值； (2)利用函数f(x)的单调性先脱去f，然后分离 t，再求最值得t 的范围答案(1)B(2)B 解析(1)利用函数的周期性和函数值的求法求解f(x6)f(x)，T6. 当 3 x1 时， f(x) (x2)2；当 1x3 时， f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3) 1，f(4)f(2)0，f(5)f(1) 1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)12 0106 335. 而 f(2 011) f(2 012)f(2 013)f(1)f(2)f(3)2，f(1)f(2)f(2 013)3352337. (2)设 x0. f(x)(x)2，又 f(x)是奇函数，f(x) x2. f(x)在 R 上为增函数，且2f(x)f(2x)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载故 f(xt)2f(x)f(2x)? xt2x 在22，22上恒成立，由于 x t2x? (21)x t，要使原不等式恒成立，只需(21)( 22)t? t2即可反思归纳(1)周期函数f(x)的最小正周期T 必须满足下列两个条件：当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(xT) f(x)；T 是所在正周期中最小的一个(2)函数的单调性往往和不等式相结合，应用时要看清函数的单调区间，必要时可以利奇偶性作适当变换；去掉函数符号“ f”然后求解变式训练3(1)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足f(1) 1，f(2)2，则 f(3)f(4)等于() A 1 B1 C 2 D2 答案A 解析由于函数 f(x)的周期为5，所以 f(3)f(4) f(2)f(1)，又 f(x)为 R 上的奇函数，f(2)f(1) f(2)f(1) 21 1. (2)已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0 恒成立，则x 的取值范围为 _答案(2，23) 解析易知原函数在R 上单调递增，且为奇函数，故f(mx2)f(x)0? f(mx2)f(x)f(x)，此时应有mx2x? mxx20，对所有m2,2恒成立，令g(m) xmx2，此时只需g 2 0g 2 0即可，解之得 2x0，0，x0，x2 mx，x0 时， x0，0，x0，x22x，x0 时， f(x) x22x (x1)21，当 x 1， )时， f(x)单调递减；当x(0,1时， f(x)单调递增9 分当 x1，a21，解之得 10 或 x0，从而 x0，这样可代入解析式求m. (2)本题可通过f(x)的图象直观地看出函数f(x)的单调区间有关分段函数的单调性问题，不但要注意每一段上的单调性，还应注意“接点 ”处函数值的大小1 (2012 天津 )下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2) 内是增函数的为() Aycos 2x，xRB ylog2|x|，xR 且 x0 Cyexex2， xRDyx31，xR答案B 解析利用逐项排除法求解选项 A 中函数 ycos 2x 在区间0，2上单调递减，不满足题意；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载选项 C 中的函数为奇函数；选项 D 中的函数为非奇非偶函数，故选B. 2 (2013 山东 )函数 yxcos xsin x 的图象大致为() 答案D 解析函数 yxcos xsin x 为奇函数，排除B.取 x2，排除 C；取 x ，排除 A，故选 D. 3 如果函数 f(x)ax2 2x3 在区间 (， 4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是() Aa14B a14C14a0 D14 a0 答案D 解析当 a0时， f(x)2x3，在定义域 R 上是单调递增的，故在 (，4)上单调递增；当 a 0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x1a，因为 f(x)在(，4)上单调递增，所以 aa14.综合 得14a0. 4 设 f(x)为偶函数，对于任意的x0 的数，都有f(2x) 2f(2 x)，已知 f(1)4，那么f(3)等于() A2 B 2 C 8 D 8 答案D 解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)4，f(3)f(3)，当 x1 时， f(21) 2 f(2 1)，f(3) 24 8，f(3) 8. 5 若偶函数 f(x)在(， 0)内单调递减，则不等式f(1)1，即 lg x1 或 lg x10 或 0 x110. 6 已知定义在R 上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xR，都有 f(x4)f(x)；对于任意的x1，x2R，且 0 x1x2 2，都有 f(x1)f(x2)；函数yf(x2)的图象关于y 轴对称则下列结论中正确的是() Af(4.5)f(7)f(6.5) Bf(7)f(4.5)f(6.5) Cf(7)f(6.5)f(4.5) Df(4.5)f(6.5) f(7) 答案A 解析由已知得 f(x)是以 4 为周期且关于直线x2 对称的函数f(4.5)f(412)f(12)，f(7)f(4 3) f(3)，f(6.5)f(452) f(52)又 f(x)在 0,2上为增函数所以作出其在0,4上的图象知f(4.5)f(7)f(6.5)专题限时规范训练一、选择题1 已知函数 f(x)lg(1x)的定义域为M，函数 y1x的定义域为N，则 MN() Ax|x1 Dx|x 1 答案A 解析Mx|x1 ，N x|x0 ，MNx|x1 不关于原点对称，故选D. 4(2013 湖南 ) 函数f(x) 2ln x 的图象与函数g(x) x2 4x 5 的图象的交点个数为() A3 B2 C 1 D0 答案B 解析画出两个函数f(x)，g(x)的图象，由图知 f(x)，g(x)的图象的交点个数为2. 5 设函数 f(x)21x，x1，1log2x， x1，则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是() A1,2B 0,2C1， ) D0， ) 答案D 解析当 x1 时， 21x2，解得 x0，所以 0 x1；当 x1 时， 1log2x2，解得 x12，所以 x1.综上可知x0. 6 已知函数 f(x)a 3 x5，x 1，2ax，x1是 (， )上的减函数， 那么 a 的取值范围是() A(0,3) B (0,3 C(0,2) D(0,2 答案D 解析由题意，得a30，a35 2a，解得 00，12log6x0.解得 0 x6. 10(2012 陕西 )设函数 f(x)x， x0，12x，x0，则 f(f(4)_. 答案4 解析f(f(4)f124f(16)4. 11(2012 上海 )已知 yf(x)x2是奇函数， 且 f(1)1.若 g(x)f(x)2，则 g(1)_. 答案1 解析y f(x)x2是奇函数，f(x)(x)2 f(x)x2，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载f(x)f(x)2x20.f(1) f(1) 20. f(1)1，f(1) 3. g(x)f(x)2，g(1)f(1)2 32 1. 12设 f(x)是定义在R 上且周期为2 的函数，在区间 1,1上， f(x)ax1， 1x0，bx2x1，0 x1，其中 a， bR.若 f12f32，则 a3b 的值为 _答案10 解析因为 f(x)的周期为2，所以 f32f32 2 f 12，即 f12f 12. 又因为 f 1212a1，f12b22121b 43，所以12a1b 43. 整理，得a23(b1)又因为 f(1)f(1)，所以 a 1b22，即 b 2a.将 代入 ，得 a2，b 4. 所以 a 3b23(4) 10. 三、解答题13已知函数f(x)的图象与函数h(x)x1x2 的图象关于点A(0,1)对称(1)求 f(x)的解析式；(2)若 g(x)f(x) xax，且 g(x)在区间 0,2上为减函数，求实数a 的取值范围解(1)f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1) 对称，设 f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)，其关于A(0,1)的对称点B(x，y )，则xx20，yy21，x x，y2y.B(x，y)在 h(x)上， yx1x 2. 2y x1x2，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载yx1x，即 f(x)x1x. (2)g(x) x2ax1，g(x)在0,2 上为减函数，a22，即 a4. a 的取值范围为(， 414一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：(1)用 表示铁棒的长度L( )；(2)若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值解(1)根据题中图形可知，L( )2cos 2sin ， 0，2. (2)本题即求L( )的最小值L( )2cos 2sin 2sin cos sin cos . 令 tsin cos ，t (1，2，原式可化为L(t)4tt214t1t. 因为 L(t)为减函数，所以L(t)L(2)4 2. 所以铁棒的最大长度为4 2 m名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -