2022年上海高中数学三角函数大题压轴题练习 2.pdf

优秀教案欢迎下载三角函数大题压轴题练习1已知函数( )cos(2)2sin()sin()344f xxxx（）求函数( )f x的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数( )f x在区间,12 2上的值域解： （1）( )cos(2)2sin()sin()344f xxxx13cos2sin 2(sincos )(sincos )22xxxxxx2213cos2sin 2sincos22xxxx13cos2sin 2cos222xxxsi n ( 2)6x2T2周期由2(),()6223kxkkZxkZ得函数图象的对称轴方程为()3xkkZ（2）5,2,12 2636xx因为( )sin(2)6f xx在区间,12 3上单调递增，在区间,3 2上单调递减，所以当3x时，( )f x取最大值1 又31()()12222ff，当12x时，( )f x取最小值32所以函数( )fx在区间,12 2上的值域为3,122已知函数2( )sin3sinsin2f xxxx（0）的最小正周期为（）求的值；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载（）求函数( )f x在区间203，上的取值范围解： （）1cos23( )sin 222xf xx311sin2cos2222xx1sin262x因为函数( )f x的最小正周期为，且0，所以22，解得1（）由（）得1( )sin 262f xx因为203x ，所以72666x，所以1sin2126x，因此130sin2622x，即( )f x的取值范围为302，3.已知向量m=(sinA,cosA),n=( 3,1)，mn1，且 A 为锐角 .（）求角A 的大小；（）求函数( )cos24cossin ()f xxAx xR的值域 . 解： （）由题意得3sincos1,m nAA12sin()1,sin().662AA由 A 为锐角得,663AA（）由（）知1cos,2A所以2213( )cos22sin12sin2sin2(sin).22f xxxxsx因为 xR，所以sin1,1x，因此，当1sin2x时， f(x)有最大值32. 当sin1x时，( )f x有最小值 -3, 所以所求函数( )f x的值域是332，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载4.已知函数( )sin()(0 0 )fxAxA，xR的最大值是1，其图像经过点 13 2M， （1）求( )f x的解析式；（2）已知02，且3( )5f，12()13f，求()f的值【解析】 （1） 依题意有1A， 则( )s in ()f xx，将点1(, )3 2M代入得1sin()32，而0，536，2，故( )sin()cos2f xxx；（2）依题意有312cos,cos513，而,(0,)2，2234125sin1 ( ),sin1 ()551313，3124556()cos()coscossinsin51351365f。5.已知函数117( ),( )cos(sin)sin(cos),( ,).112tf tg xx fxxfxxt（）将函数( )g x化简成sin()AxB（0A，0，0,2)）的形式；（）求函数( )g x的值域 . 解.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分 12 分）解： （）1sin1cos( )cossin1sin1cosxxg xxxxx2222(1 sin )(1 cos )cossincossinxxxxxx1sin1coscossin.cossinxxxxxx17,coscos , sinsin ,12xxxxx1sin1cos( )cossincossinxxg xxxxxsincos2xx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载2 sin2.4x（）由1712x，得55.443xsint在53,42上为减函数，在35,23上为增函数，又5535sinsin,sinsin()sin34244x（当17,2x） ，即21sin()222 sin()23424xx，故 g(x)的值域为22, 3 .6 （本小题满分12 分）在ABC中，角,A B C所对应的边分别为, ,a b c，2 3a，tantan4,22ABC2sincossinBCA，求,A B及,b c解：由tantan422ABC得cottan422CCcossin224sincos22CCCC14sincos22CC1sin2C，又(0,)C566CC，或由2sincossinBCA得2sincossin()BBBC即sin()0BCBC6BC2()3ABC由正弦定理sinsinsinabcABC得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载1sin22 32sin32BbcaA7. 在ABC中, 内角,A B C对边的边长分别是, ,a b c. 已知2,3cC. 若ABC的面积等于3, 求,a b; 若sinsin()2sin 2CBAA, 求ABC的面积 . 说明： 本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力满分12 分解析： （）由余弦定理及已知条件得，224abab，又因为ABC的面积等于3，所以1sin32abC，得4ab 4 分联立方程组2244ababab，解得2a，2b 6 分（）由题意得sin()sin()4sincosBABAAA，即sincos2sincosBAAA， 8 分当cos0A时，2A，6B，4 33a，2 33b，当cos0A时，得sin2sinBA，由正弦定理得2ba，联立方程组2242ababba，解得2 33a，4 33b所以ABC的面积12 3sin23SabC 12 分1. 已知函数( )sin()sin()cos(,)66f xxxxa aR a为常数. ( ) 求函数( )f x的最小正周期；( ) 若函数( )f x在-2，2 上的最大值与最小值之和为3，求实数a的值 . 解： （）( )2sincoscos6f xxxa3 sincosxxa2sin6xa5 分函数( )f x的最小正周期2T7 分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载( ) ,22x，2363xmin32fxfa 9 分max23fxfa 11 分由题意，有(3)(2)3aa31a 12 分2.（本小题12 分）已知函数.21)4(,23)0(,23cossincos2)(2ffxxbxaxf且（1）求)(xf的最小正周期； （2）求)(xf的单调增区间；解： （1）由21)4(23)0(ff得123ba 3分)32sin(2sin212cos2323cossincos3)(2xxxxxxxf 6 分故最小正周期T（2）由)(223222Zkkxk得)(12125Zkkxk故)(xf的单调增区间为)(12,125Zkkk 12 分3已知xxaxxfcossin34cos4)(2，将)(xf的图象按向量)2,4(b平移后，图象关于直线12x对称（）求实数a的值，并求)(xf取得最大值时x的集合；（）求)(xf的单调递增区间解： （）22cos22sin32)(xxaxf，将)(xf的图象按向量)2,4(b平移后的解析式为2)4()(xfxgxax2cos322sin23分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载)(xg的图象关于直线12x对称，有)6()0(gg，即aa3332，解得1a5 分则2)62sin(422cos22sin32)(xxxxf6 分当2262kx，即3kx时，)(xf取得最大值27 分因此，)(xf取得最大值时x的集合是,3Zkkxx8 分（）由226222kxk，解得36kxk因此，)(xf的单调递增区间是3,6kk)(Zk12 分4.已知向量m (sin,cos)和n=(cos,sin2) ， ，2 (1) 求|nm的最大值； (2)当|nm=528时，求cos28的值4解： (1) cossin2,cossinmn(2 分) 22cossin2(cossin )mn= 42 2(cossin )=44cos4=2 1cos4(4 分) ，2 ，49445，)4cos(1 |nmmax=22(6 分) (2) 由已知8 2,5mn, 得7cos425 (8分) 又2cos2cos ()1428216cos ()2825 (10分) ，2898285，4cos285(12 分) 。 5.。 已知 A、 B、 C 的坐标分别为 A （3， 0） ， B （0， 3） ， C （sin,cos） ，).23,2(（I）若|,|BCAC求角的值；名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载（II）若tan12sinsin2, 12求BCAC的值. 5、解：（1）) 3sin,(cos),sin, 3(cosBCAC，cos610sin) 3(cos|22AC，22|cos(sin3)106sinBC. 由|BCAC得cossin. 又45),23,2(. （2）由.1)3(sinsincos)3(cos, 1 得BCAC.32cossin又.cossin2cossin1cossin2sin2tan12sinsin222由式两边平方得,94cossin21.95tan12sinsin2.95cossin226.在 ABC 中， a,b,c 分别为角A，B，C 的对边，设22222( )()4f xa xabxc，（1）若(1)0f，且 BC=3，求角 C.（2）若(2)0f，求角 C 的取值范围 . 6解；（1）由 f（ 1）=0，得 a2a2+b24c2=0， b= 2c（ 1 分） . 又由正弦定理， 得 b= 2RsinB ，c=2RsinC,将其代入上式， 得 sinB=2sinC （2 分）BC=3， B=3+C，将其代入上式，得sin（3+C）=2sinC（ 3 分）sin（3）cosC + cos 3sinC =2sinC，整理得，CCcossin3（ 4 分）tanC=33（5 分）角 C 是三角形的内角，C=6（6分）（2） f（2）=0， 4a22a2+2b24c2=0，即 a2+b22c2=0（7 分）由余弦定理，得cosC=abcba2222（8 分）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载=abbaba222222cosC=abba4222142abab（当且仅当a=b 时取等号）（10 分）cosC21，C 是锐角，又余弦函数在（0，2）上递减，.0C3（12 分）7 A、B、C 为 ABC 的三内角，且其对边分别为a、b、c. 若m(cosA2，sinA2)，n(cosA2，sinA2)，且mn12.（1）求 A；（2）若 a2 3，三角形面积S3，求 b+c 的值 .7.解： （1）m(cosA2，sinA2)，n(cosA2，sinA2)，且mn12，cos2A2sin2A212，2分即cosA12，又 A(0，)， A235 分（2）SABC12bc sinA12b c sin233，bc4 7 分又由余弦定理得：a2=b2+c22bc cos120 b2+c2+bc 10 分 16(b+c)2，故b+c4.12 分8. 已知向量 m=（sinB，1cosB)，且与向量 n=(2，0)所成角为3，其中 A, B, C是ABC 的内角(1)求角的大小；(2)求 sinA+sinC 的取值范围 (本题满分 12分) 8.解： （1） m=（sinB，1-cosB) ,与向量 n=（2，0）所成角为,3, 3sincos1BB3 分tan,3,32,32032CABBB即又6 分（2） ：由（ 1）可得)3sin(cos23sin21)3sin(sinsinsinAAAAACA8 分30A3233A10 分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载sin(A+3)(3 2,1,sinA+sinC (3 2,1. 当且仅当1sinsin,6CACA时12 分9.(本题满分12 分)在 ABC 中，已知 (a+b+c)(a+bc)=3ab，且 2cosAsinB=sinC ，求证：ABC 为等边三角形9.解由已知得：22()3abcab，即222abcab2221cos22abcCab即C=60(1) 又C=180 (A+B) sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosA sinB 由已知： sinC=2cosA sinB sinA cosBcosA sinB=0 即 sin(A B)=0 A、 B 为三角形内角，A B(180 ，180 ) A B=0即 A=B (2) 由(1)(2) 可知： ABC 为等边三角形10. （ 12 分）已知ABC中CBCABABCACABAB)(2,边 AB 、BC 中点分别为 D、 E（1）判断ABC的形状（2）若0AECD，求B2sin10 解： （1）由已知化简得CBCABCACABAB)(即0CBCA得；ABC为直角三角形-6 分（2）设 A(a,0)B(0,b)则 E(0,2b),D(2,2ba) 04222baAECDsinB=3322baa3222sinB-12分11已知 ABC 内接于单位圆，且 (1tanA)(1tanB)2，（1） 求证：内角 C 为定值；（2） 求ABC 面积的最大值 . 11.本题考查正切和角公式，正弦的和（差）角公式，三角形内角和定理、正弦定理，三角函数最值等知识. （1）证明：由 (1tanA)(1 tanB) 2tanAtanB 1tanAtanB tan（ AB） 1.3/A、B 为 ABC 内角，AB4. 则 C43（定值） . 6/（2）解：已知 ABC 内接于单位圆， ABC 外接圆半径R=1. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载由正弦定理得：2sin2CRc，Aasin2，Bbsin2.8/则 ABC 面积 SBacsin21BAsinsin2BB sin)4sin(2BBBsin)sin(cosBBB2sinsincos)2cos1 (212sin21BB21)42sin(22B10/0B4， 43424B. 故 当8B时， ABC 面积 S的最大值为212. 12/12.设函数 f（x）=mn，其中向量m=（2cosx,1） ,n=（cosx,3sin2x） ，xR. （1）求 f（x）的最小正周期；（2）在 ABC 中， a、b、 c 分别是角A、B、C 的对边， f（A）=2，a=3，b+c=3 （bc） ，求 b、 c 的长 . 12 （1）f(x)=2cos2x+3sin2x=1+2sin(2 x+)6f(x)的最小正周期为. （2） f(A)=2 ，即 1+2sin(2A )6=2， sin(2A+)6=2162A+66132A+6=65. 3A由 cosA=21=,2222bcacb即(b+c)2-a2=3bc, bc=2.又 b+c=3(bc), 12cb13.已知 ABC 的面积为1， tanB=21，tanC=2，求 ABC 的边长及tanA 13 tanA =tan （ B+C ） = tan （B+C ） ，=4311221tantan1tantanCBCB 2分 tanB=21，0B2， sinB=55，cosB=552，又 tanC=2，2C， sinC=552，cosC=55名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载 sinA=sin （B+C ）=sinBcosC+cosBsinC=55（55）+552552=53 6分,sinsinBbAa a=bBAb53sinsin， 8分又 SABC=21absinC=2153b2552=1，解得 b=315，于是 a=3， 10分c=3152sinsinACa 12分14（12 分）已知函数)4sin(sin)2sin(22cos1)(2xaxxxxf(1) 求函数 y = f（x）的单调递增区间；(2) 若函数 y = f（x）的最小值为24，试确定常数 a 的值14 （12 分） 解：)4sin(sin)2sin(21cos21)(22xaxxxxf)4sin(cossin)4sin(sincos2cos2222xaxxxaxxx3 分)4sin()2()4sin()4sin(222xaxax6 分（1）由 x + 42k2，2k2 （kZ）得x2k34，2k4 （ kZ）sin()cos02xx()2xkkz 函数 y = f（x）的单调递增区间是2k34，2k2, ( 2k2，2k4 （kZ） 9 分（2）由已知得2(2)24a， a = 2 12 分名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -