2022年三角函数与平面向量专题分析 .pdf

第 1 页，共 13 页三角函数与平面向量考点与试题专题分析一、三角函数部分1、三角函数综述三角函数在高考试卷中的位置为解答题第一题，属容易题， 所以从得分角度来说是考生必得分之题目。 但从高考反馈的结果来看情况并不是很理想，从卷面反应的主要问题为考生解题步骤不够规范，其次对题意理解不到位，导致考生很难得到满分，其中也包括一些成绩或基础比较好的考生。三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，再加上丰富的三角公式， 使其产生的的各种问题丰富多彩，层次分明， 变化多样，围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置。近几年来高考从三角函数的图象、周期性、奇偶然性、单调性、最值、求值及综合应用等各个方面全面考查三角函数知识。2、常规考点及层次要求内容知识要求了 解理 解掌 握三角函数三角函数任意角的概念、弧度制任意角的正弦、余弦、正切的定义诱导公式、同角三角函数的基本关系式周期函数的定义、三角函数的周期性三角函数sinyx ，cosyx，tanyx 的图象和性质函数sin()yAx的图象和性质三角函数模型的简单应用三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式简单的三角恒等变换解三角形正弦定理、余弦定理解三角形及其简单应用3、三角函数知识点复习建议（1）理解正角、负角、零角、区间角、象限角、终边相同角的概念，相关角表示方法。（2）在已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并对不同的象限分别求出相应的值在应用诱导公式进行三角式的化简，求值时， 应注意公式中符号的选取。（3）单位圆中的三角函数线，是三角函数的一种几何表示，了解三角函数线。（4）会将三角函数式化为只含一个三角函数的“标准式”，或者换元后成为一个初等函数式（换元后注意定义域的确定），进而可求得某些复合三角函数的最值、最小正周期、单调性等对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页（5）会求三角函数的单调区间、周期、对称轴、对称中心。（6）熟练三角函数图象的作图方法，通过作图去体验和巩固图象间的变换关系。（7）熟悉公式并会运用诱导公式：奇变偶不变，符号看象限；两角和差的正弦、余弦、正切公式的正面运用和逆用；倍角公式以及变形，体会降幂和和差化积的运用；辅助角公式：一般限制在是特殊角的范围内。常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2+sin2= tan45 , 降次公式等。化弦（切）法。（8）关注三角函数在三角形中的应用，结合平面几何的性质寻找边角关系，要特别重视正弦定理和余弦定理在解三角形中的计算，掌握三角形面积公式的多种计算方法。（9）策略与技巧：发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。4、考题回顾（1）选择题与填空题考题 1、 已知函数()3 sincos,f xxx xR，若( )1f x，则 x 的取值范围为（）A.|22,3xkxkkZ B.|,3xkxkkZC.5| 22,66xkxkkZ D.5|,66xkxkkZ【考点分析】本题考查了辅助角公式及三角不等式的解法。【解析】：由条件1cossin3xx得216sin x，则652662kxk，解得kxk232，Zk，所以选 B. 考题 2、设 ABC的内角 A， B，C 所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且 ABC，3b=20acosA，则 sinA sinB sinC 为A.4 32 B.567 C.543 D.6 54 【考点分析】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用. 本题最终需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长。【答案】 D 考题 3、设 ABC 的内角 A，B，C，所对的边分别是a，b，c。若（ a+b-c ） （a+b+c）=ab，则角C=_。【考点分析】考察余弦定理的运用。【解析】：由222()()abc abcababcab名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页根据余弦定理可得22212cos223abcCCab。考题 4、将函数3cossin()yxx xR的图象向左平移(0)m m个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是A12B6 C 3 D56【考点分析】本题考查三角函数的图象与平移以及三角函数的图象与性质。【解析】：y=3cosx+sinx3cossin2cos()6yxxx, 将函数2cos()6yx的图像向左平移m （m 0）个单位长度后，得到2cos()6yxm，此时关于y轴对称，则,6mkkZ，所以,6mkkZ，所以当0k时，m的最小值是6，选 B. 考题 5、 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知6A， a=1，3b，则B = . 【考点分析】本题考查正弦定理。【解析】：由正弦定理得asinAbsinB，即1sin63sinB，解得sinB32。又因为ba，所以B3或23。（2）解答题考题 1、 设ABC的内角 A、B、 C所对的边分别为a、b、c，已知11,2,cos4abC。(I) 求ABC的周长； (II)求cos()AC的值。【考点分析】 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。【解析】： （）441441cos2222Cabbac2cABC的周长为5221cba. （）41cosC，415411cos1sin22CC，8152415sinsincCaAca，CA, 故A为锐角，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页878151sin1cos22AACAcosCACAsinsincoscos16114158154187. 考题 2、设函数22( )sin2 3sincoscos()f xxxxxxR的图像关于直线x对称，其中,为常数，且1(,1)2。（1）求函数( )f x的最小正周期；（2）若( )yf x的图像经过点(,0)4，求函( )f x的值域。【考点分析】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能力 . 二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位。求三角函数的最小正周期，一般运用公式2T来求解 ; 求三角函数的值域，一般先根据自变量x的范围确定函数x的范围 . 来年需注意三角函数的单调性，图象变换，解三角形等考查。【解析】：（ 1） 因22( )sin2 3sincoscos2sin(2)6fxxxxxx，由 直 线x是( )yfx图 象 的 一 条 对 称 轴 ， 可 得sin(2)16x， 所 以2()62xkkZ。又1(,1),2kZ，所以51,6k。所以( )f x的最小正周期是65。（2）由题()04f，即得2，故5( )2sin()236f xx，故函数( )f x的值域为 22,22。考题 3、已知向量(cossin,sin)axxxr，( cossin,23cos)bxxxr，设函数( )()f xa bxRr r的图像关于直线x对称，其中,为常数，且1(,1)2。（1）求函 数( )f x的最小正周期；（2）若( )yf x的图像经过点(,0)4，求函数 f （x）在区间30,5上的取值范围。【考点分析】本题考察三角恒等变化, 三角函数的图像与性质. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页【解析】：( ) 因为22( )sincos2 3sincosfxxxxxcos23sin 2xx2sin(2)6x. 由直线x是( )yf x 图象的一条对称轴, 可得sin(2)16, 所以2 ()62kkZ , 即1()23kkZ . 又1(, 1)2,kZ, 所以1k, 故56. 所以( )f x 的最小正周期是65. ( ) 由( )yf x 的图象过点(,0)4, 得()04f, 即5 2sin()2sin26264, 即2 . 故5( )2sin()236f xx, 由305x, 有556366x, 所以15sin()1236x, 得5122sin()22236x, 故函数( )f x 在30,5上的取值范围为 12, 22 . 考题 4、 在ABC中, 角A,B,C对应的边分别是a ,b, c . 已知 cos23cos()1ABC. ( ) 求角A的大小 ; ( ) 若 ABC 的面积5 3S,5b, 求sinsinBC的值 . 【考点分析】本题主要考查三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理的应用。【解析】：(I) 由已知条件得:cos23cos1AA22cos3cos20AA, 解得1cos2A, 角60A。(II)1sin5 32SbcA4c, 由余弦定理得:221a,222228sinaRA25sinsin47bcBCR。考题 5、 某实验室一天的温度（单位：）随时间t（单位： h）的变化近似满足函数关系：( )103cossin1212f ttt ，0, 24)t. （）求实验室这一天上午8 时的温度；（）求实验室这一天的最大温差。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页【考点分析】本题考查辅助角公式及三角函数一个周期内最值得问题。【解析】：(1)f(8) 103cos128 sin128 103cos23sin23103123210. 故实验室上午8 时的温度为10. (2) 因为f(t) 10 232cos12t12sin12t102sin12t3，又 0t24，所以312t373，所以 1 sin12t31. 当t2 时， sin12t31；当t14 时， sin12t3 1. 于是f(t) 在 0 ，24) 上取得最大值12，最小值8. 故实验室这一天最高温度为12，最低温度为8，最大温差为4。考题 6、某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位 ;h ）的变化近似满足函数关系；(1) 求实验室这一天的最大温差；(2) 若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？【考点分析】本题考查辅助角公式及三角函数在一个周期内解三角不等式问题。【解析】：(1) 因为f(t) 10 232cos12t12sin12t10 2sin12t3，又 0t24，所以312t311 时，实验室需要降温由(1) 得f(t) 102sin12t3，故有 102sin12t311，即 sin12t312. 又 0t24，因此7612t3116，即 10t18. 故在 10 时至 18 时实验室需要降温。5、命题趋势预测及复习建议题型分类：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页（1）考小题：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识，解析，图象与图象变换，两域( 定义域、值域) ，四性 ( 单调性、奇偶性、对称性、周期性) ，简单的三角变换( 求值、化简及比较大小 ) 。（2）考大题：着重考查基础知识和基本技能与方法。(3) 考应用：以实际生活为背景，借助三角函数进行求解。(4) 考综合：体现三角的工具作用，由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查。知识点分类：（1）考查三角函数的概念及同角三角函数的基本关系高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求值域、 求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角三角函数的关系的应用等。（2）考查三角函数的图象及其性质三角函数的图象与性质主要包括：正弦(型 ) 函数、余弦 ( 型 )函数、正切 ( 型 ) 函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容。（3）求单调区间高考对三角函数的单调性考查，常以小题形式呈现，有时也会出现在大题的某一小问中。（4）求最值高考对三角函数最值的考查，常以小题形式呈现， 属中档题， 有时也在大题中的某一步呈现，属中档题，高考常考查以下两种类型：化成sin()yAx的形式后利用正弦函数的单调性求其最值；化成二次函数形式后利用配方法求其最值。（5）利用三角恒等变换求三角函数值三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础，大多结合三角函数的图象与性质， 解三角形进行命题，高考命题考查的重点性质是公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式。（6）三角函数的综合应用三角函数的综合应用是历年来高考考查的重点、热点问题， 新课标高考更加注重对知识点的综合应用意识的考查，而且新课标高考在考查的内容以及形式上不断推陈出新，三角函数不仅可以与平面向量、集合、函数与方程、不等式等结合命题，而且小题还可以结合平面解析几何等知识点命题。模拟试题：题 1：如图,在平面直角坐标系xOy中,点,A B C均在单位圆上,已知点A在第一象限，横坐标是3,5点B在第二象限,点1,0C。（1）设,COA求sin 2的值；（2）若AOB为正三角形,求点B的坐标。题 2：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页且tanBtanA12ca。（1）求B；（2）若 cos(C6) 13，求 sinA的值。题 3：在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，m(2bc，cosC)，n(a，cosA) ，且m n. (1) 求角A的大小；(2) 求函数y2sin2Bcos(32B) 的值域 解析 (1) 由m n得(2bc)cosAacosC0，由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC 0，sin(AC) sinB，2sinBcosAsinB0，B、A(0，) ，sinB0，A3. (2)y1cos2B12cos2B32sin2B112cos2B32sin2Bsin(2B6) 1，当角B为钝角时，角C为锐角，则2B023B2?2B23，562B676， sin(2B6) ( 12，12) ，y(12，32) 当角B为锐角时，角C为钝角，则0B2223B? 0B6，62B60，x12. (4) 若ABBCAB20，则ABC必定是 ( ) A锐角三角形 B 直角三角形C钝角三角形 D 等腰直角三角形 答案 B 解析 ABBCAB2AB(BCAB) ABAC0，ABAC，ABAC，ABC为直角三角形名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 第 13 页，共 13 页（5）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若ACa，BDb，则AF等于 () A.14a12b B.23a13b C.12a14b D.13a23b 答案 B 解析 E为OD的中点，BE 3ED，DF AB，|AB|DF|EB|DE|， |DF| 13|AB| ，|CF| 23|AB| 23|CD| ，AFACCFAC23CDa23(ODOC) a23(12b12a) 23a13b. （6）在ABC中，C90，且CACB3，点M满足BM 2MA，则CMCB等于 ( ) A2 B3 C4 D6 答案 B 解析 CMCB(CAAM) CB(CA13AB) CBCACB13ABCB13|AB| |CB| cos4513323223. 备考建议：重视数学基础知识、基本技能和数学思想方法。以课本例题、练习题和习题重组为中心，切实抓好基础题型和常规方法，提高对数学本质的理解和应用数学知识分析问题、解决问题的能力。重视答题的规范性，在细节处见实力。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -