2022年三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结 .pdf

读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识点总结1O 是ABC的重心0OCOBOA; 若 O 是ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS故0OCOBOA;1()3PGPAPBPCG为ABC的重心 . 2O 是ABC的垂心OAOCOCOBOBOA; 若 O 是ABC(非直角三角形 )的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：故0OCCtanOBBtanOAAtan3O 是ABC的外心|OC|OB|OA|(或222OCOBOA) 若 O 是ABC的外心则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC：故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin4O 是内心ABC的充要条件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则刚才O 是ABC内心的充要条件可以写成0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131，O 是ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa。若 O 是ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC：故0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或; |0AB PCBCPACA PBP是ABC的内心 ; 向量()(0)|ACABABAC所在直线过ABC的内心 ( 是BAC的角平分线所在直线 ) ；范例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例 1O 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足)(ACACABABOAOP，,0则 P点的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（ B）内心（ C）重心（ D）垂心解析：因为ABAB是向量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为21ee 和，又APOAOP，则原式可化为)(21eeAP，由菱形的基本性质知AP 平分BAC，那么在ABC中， AP 平分BAC，则知选B. A C B 1e2eP 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2H 是 ABC 所在平面内任一点，HAHCHCHBHBHA点 H 是 ABC 的垂心 . 由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(, 同理ABHC，BCHA.故 H 是 ABC 的垂心 . （反之亦然（证略） ）例 3.(湖南 )P 是 ABC 所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则 P是 ABC 的（ D）A外心B内心C重心D垂心解析 :由0PCPBPBPAPCPBPBPA得.即0,0)(CAPBPCPAPB即则ABPCBCPACAPB,同理所以 P 为ABC的垂心 . 故选 D. (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4G 是 ABC 所在平面内一点，GCGBGA=0点 G 是 ABC 的重心 . 证明作图如右，图中GEGCGB连结 BE 和 CE，则 CE=GB，BE=GCBGCE 为平行四边形D 是 BC 的中点， AD 为 BC 边上的中线 . 将GEGCGB代入GCGBGA=0，得EGGA=0GDGEGA2，故 G 是 ABC 的重心 .（反之亦然（证略） ）例 5P 是 ABC 所在平面内任一点.G 是 ABC 的重心)(31PCPBPAPG. 证明CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPGG 是 ABC 的重心GCGBGA=0CGBGAG=0，即PCPBPAPG3由此可得)(31PCPBPAPG.（反之亦然（证略） ）例 6 若O为ABC内一点，0OAOBOC，则O是ABC的（）A内心B外心C垂心D重心解析：由0OAOBOC得OBOCOA，如图以 OB 、OC为相邻两边构作平行四边形，则OBOCOD，由平行四边形性质知12OEOD，2OAOE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。(四) 将平面向量与三角形外心结合考查例 7 若O为ABC内一点，OAOBOC，则O是ABC的（）A内心B外心C垂心D重心解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O是ABC的外心 ，选 B。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A B(x1,0) C(x2,y2) y x H Q G D E F (五)将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量1OP，2OP，3OP满足条件1OP+2OP+3OP=0，|1OP|=|2OP|=|3OP|=1，求证P1P2P3是正三角形 .（ 数学第一册（下） ，复习参考题五B 组第 6 题）证明由已知1OP+2OP=-3OP，两边平方得1OP2OP=21，同理2OP3OP=3OP1OP=21，|21PP|=|32PP|=|13PP|=3，从而 P1P2P3是正三角形 . 反之，若点O 是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|.即 O 是 ABC 所在平面内一点，1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|点 O 是正 P1P2P3的中心 . 例 9在ABC 中，已知 Q、G、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H 三点共线，且QG:GH=1:2 。【证明】：以 A 为原点， AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0) 、B （x1,0 ） 、C(x2,y2) ，D 、E、F分别为 AB、BC 、AC的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222xxxyxyEFD （、由题设可设1324,)(,)2xQyH xy（、, 122(,)33xxyG212243(,)(,)222xxyAHxyQFy，212(,)BCxxy2212422142()0()AHBCAHBCxxxy yxxxyy212223221232()()0222()22QFACxxyQFACxyyxxxyyy121221224323()(,),)22xxxxxxyQHxyy2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1(,)(,)6321 =3xxxyxxyxxxyQGyxxxxxyxxxxxyQH222（62y66y22y名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思即=3QHQG，故Q 、G 、H三点共线，且QG ：GH=1：2 例 10 若 O、H 分别是 ABC 的外心和垂心 .求证OCOBOAOH. 证明若 ABC 的垂心为 H，外心为 O，如图 . 连 BO 并延长交外接圆于D，连结 AD，CD. ABAD，BCCD.又垂心为H，BCAH，ABCH，AHCD，CHAD，四边形 AHCD 为平行四边形，OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH. 著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在 “欧拉线” 上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题. 例 11设 O、G、H 分别是锐角 ABC 的外心、重心、垂心. 求证OHOG31证明按重心定理G 是 ABC 的重心)(31OCOBOAOG按垂心定理OCOBOAOH由此可得OHOG31. 补充练习1已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形 ABC 的重心，动点P 满足OP=31(21OA+OB21+2OC),则点 P 一定为三角形ABC 的（ B ）A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点（非重心）C.重心D.AB 边的中点1.B取AB边 的 中 点M ， 则OMOBOA2， 由OP=31(21OA+OB21+2OC) 可 得3MCOMOP23，MCMP32，即点 P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选 B. 2在同一个平面上有ABC及一点满足关系式：2OA2BC2OB2CA2OC2AB，则为ABC的（D ）外心内心C 重心D 垂心2 已 知 ABC 的 三 个 顶 点A 、 B 、 C 及 平 面 内 一 点P 满 足 ：0P AP BP C， 则P 为ABC的（C ）外心内心C 重心D 垂心3已知 O是平面上一定点， A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：)(ACABOAOP，则 P的轨迹一定通过ABC的（C ）外心内心C 重心D 垂心4已知 ABC ，P 为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思0PAPCPAPBPBPC，则 P 点为三角形的（D ）外心内心C 重心D 垂心5已知ABC ， P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PAb PBcPC，则P 点为三角形的（B ）外心内心C 重心D 垂心6 在 三 角 形ABC中 ， 动 点P 满 足 ：CPABCBCA222， 则P 点 轨 迹 一 定 通 过 ABC 的 ：（B ）外心内心C 重心D 垂心7.已知非零向量 AB与AC满足 (AB|AB|+AC|AC|)BC=0 且AB|AB|AC|AC|=12, 则 ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形解析： 非零向量与满足(|ABACABAC) =0，即角 A 的平分线垂直于BC，AB=AC，又cosA| |ABACABAC=12，A=3，所以 ABC 为等边三角形，选D8.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数 m = 19. 点 O是三角形 ABC所在平面内的一点，满足OAOCOCOBOBOA，则点 O是ABC的（B ）（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点（C）三条中线的交点（D）三条高的交点10.如图 1，已知点 G是ABC的重心，过G作直线与 AB，AC两边分别交于M ，N两点，且AMxAB，ANyAC，则113xy。证点 G是ABC的重心，知GAGBGCO，得()()AGABAGACAGO，有1()3AGABAC。又 M ，N ，G三点共线（ A 不在直线 MN上） ，于是存在,，使得(1)AGAMAN 且，有AGxAByAC=1()3ABAC，得113xy，于是得113xy。例讲三角形中与向量有关的问题教学目标： 1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 2、向量的加法、数量积等性质 3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 4、数形结合教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题教学过程：1、课前练习1.1 已知 O是 ABC内的一点，若222OCOBOA，则 O是 ABC的A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心1.2 在ABC中，有命题BCACAB；0CABCAB；若0ACABACAB，则ABC为等腰三角形；若0ACAB，则 ABC为锐角三角形，上述命题中正确的是A、 B、 C、 D、2、知识回顾 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质2.3 上述两者间的关联3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题例 1、已知 ABC中，有0BCACACABAB和21ACACABAB, 试判断 ABC的形状。练习 1、已知 ABC中，aAB，bBC，B是 ABC中的最大角，若0ba，试判断 ABC的形状。4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题例 2、 已知 O是 ABC所在平面内的一点， 满足222222ABOCACOBBCOA， 则 O是 ABC 的 A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题例 3、已知 P是 ABC所在平面内的一动点，且点P满足,0,ACACABABOAOP，则动点 P一定过ABC的A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习 2、已知 O为平面内一点， A、B、C平面上不共线的三点，动点 P满足, 0,21BCABOAOP，则动点 P 的轨迹一定通过ABC的A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思例 4、已知 O是 ABC所在平面内的一点，动点 P 满足,0,coscosCACACBABABOAOP，则动点 P一定过 ABC的A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心练习3、已知O是ABC所在平面内的一点，动点P满足, 0,coscos2CACACBABABOCOBOP，则动点 P 一定过 ABC的A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心例 5、已知点 G是的重心，过G作直线与 AB 、AC分别相交于M 、N两点，且ACyANABxAM,，求证：311yx6、小结处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。7、作业1、已知 O是 ABC内的一点，若0OCOBOA，则 O是 ABC的A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心2、若 ABC的外接圆的圆心为O，半径为 1，且0OCOBOA，则OBOA等于A、21 B、0 C、1 D、213、已知 O是 ABC 所在平面上的一点，A、B、C、所对的过分别是a、b、c若0OCcOBbOAa，则 O是ABC的A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心4、已知 P是 ABC所在平面内与A不重合的一点，满足APACAB3，则 P是 ABC的A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足0OCOBOA，1OCOBOA，求证： ABC 为正三角形。6、在 ABC中，O为中线 AM上的一个动点，若AM 2，求)(OCOBOA三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”（必修 4 第二名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示， 然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、“ 重心” 的向量风采【命题 1】已知G是ABC所在平面上的一点，若0GAGBGC，则G是ABC的重心 如图 . AGCAB【 命 题2 】已 知O是 平 面 上 一 定 点 ，ABC， ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足()OPOAABAC，(0)，则P的轨迹一定通过ABC的重心 . 【解析】由题意()APABAC，当(0)，时，由于()ABAC表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC的重心，如图. 二、“ 垂心” 的向量风采【命题 3】P是ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是ABC的垂心【解析】由PA PBPB PC，得()0PBPAPC，即0PB CA，所以PBCA同理可证PCAB，PABCP是ABC的垂心如图. PABC图图图M PCBAO图HFEMABCOP名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【 命 题4 】已 知O是 平 面 上 一 定 点 ，ABC， ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足coscosABACOPOAABBACC，(0)，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心【解析】由题意coscosABACAPABBACC，由于0coscosABACBCABBACC，即0coscosAB BCAC BCBCCBABBACC,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC的垂心，如图. 三、“ 内心” 的向量风采【命题 5】已知I为ABC所在平面上的一点，且ABc，ACb，BCa若0aI A bI B cI C，则I是ABC的内心【解析】IBIAAB，ICIAAC，则由题意得()0abc IAbABcAC，ABACbABcACACABABACACABABAC，bcABACAIabcABACABAB与ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量，AI与BAC平分线共线，即AI平分BAC同理可证：BI平分ABC，CI平分ACB从而I是ABC的内心，如图. 【 命 题6 】已 知O是 平 面 上 一 定 点 ，ABC， ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足图图ABCOPbacIACB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思OCABABACOPOAABAC，(0)，则动点P的轨迹一定通过ABC的内心【解析】由题意得ABACAPABAC，当(0)，时，AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC的内心，如图. 四、 “外心”的向量风采【命题 7】已知O是ABC所在平面上一点，若222OAOBOC，则O是ABC的外心【解析】若222OAOBOC，则222OAOBOC，OAOBOC，则O是ABC的外心，如图。【 命 题7 】已 知O是 平 面 上 的 一 定 点 ，ABC， ，是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足2c o sc o sO BO CA BA COPABBACC，(0)，则动点P的轨迹一定通过ABC的外心。【解析】由于2OBOC过BC的中点， 当(0)，时，coscosABACABBACC表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4 条解释。） ，所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过ABC的外心，如图。图MOBCAP图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -