2022年不等式恒成立问题中的参数求解技巧 .pdf

学习必备欢迎下载不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中， 有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。其方法大致有：用一元二次方程根的判别式，参数大于最大值或小于最小值，变更主元利用函数与方程的思想求解。本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。例 1 对于 x R，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。变形：若对于x R，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。变形：此题需要对m 的取值进行讨论，设。当 m=0 时， 30，显然成立。当 m0 时，则 0。当 m0 时，显然不等式不恒成立。由知。关键点拨：对于有关二次不等式（或 0）的问题，可设函数，由a 的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x 轴的交点问题，由判别式进行解决。例 2 已知函数，在时恒有，求实数k 的取值范围。例 2 解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。当图象与x 轴无交点满足0，即，解得 2k1 。/k1 当图象与x 轴有交点，且在时，只需由知关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x 的关系，则可以利用函数的单调性求解。恒成立，即大于时大于函数值域的上界。恒成立，即小于时小于函数值域的下界。例 3 已知二次函数，如果 x 0，1时，求实数a 的取值范围。解： x 0， 1时，即当 x=0 时， aR 当 x时，问题转化为恒成立由恒 成 立 ， 即 求的 最 大 值 。 设。 因为减函数，所以当x=1 时，可得。由恒 成 立 ， 即 求的 最 小 值 。 设。 因为增函数，所以当x=1 时，可得 a0。由知。关键点拨：在闭区间0， 1上使分离出 a，然后讨论关于的二次函数在上的单调性。例 4 若不等式在 x 1，2时恒成立，试求a 的取值范围。解：由题设知，得 a0，可知 a+x1，所以。原不等式变形为。，即。又，可得恒 成 立 。 设， 在 x 1， 2 上 为 减 函 数 ， 可 得名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载，知。综上知。关键点拨：将参数a 从不等式中分离出来是解决问题的关键。例 5 是否存在常数c 使得不等式，对任意正数x、y 恒成立？试证明你的结论。解：首先，欲使恒成立（ x、y0） ，进行换元令。上述不等式变为，即恒成立。寻求的最小值，由a0，b0，利用基本不等式可得。同理欲使恒成立，令，得上述不等式变为，即。寻求的最大值，易得。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载综上知存在使上述不等式恒成立。关键点拨：本题是两边夹的问题，利用基本不等式，右边寻找最小值，左边寻找最大值，可得 c=。三、变更主元在解含参不等式时，有时若能换一个角度，变参数为主元，可以得到意想不到的效果，使问题能更迅速地得到解决。例 6 若不等式，对满足所有的 x 都成立，求x 的取值范围。解：原不等式可化为令是关于 m 的一次函数。由题意知解得 x 的取值范围是关键点拨：利用函数思想，变换主元，通过直线方程的性质求解。例 7 已知是定义在 1，1上的奇函数且，若 a、b 1，1 ，a+b0，有。（ 1）判断函数在 1，1上是增函数还是减函数。（2）解不等式。（ 3）若对所有、a 1，1恒成立，求实数m 的取值范围。解： （1）设，则，可知，所以在 1，1上是增函数。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载（ 2）由在 1，1上是增函数知解得，故不等式的解集（ 3）因为在 1， 1上是增函数，所以，即1 是的最大值。依题意有，对 a 1，1恒成立，即恒成立。令，它的图象是一条线段，那么。关键点拨：对于（1） ，抽象函数单调性的证明往往借助定义，利用拼凑条件，判断差的符号。对于（2） ，后一步解不等式往往是上一步单调性的继续，通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来。对于（3） ，转换视角变更主元，把看作关于a 的一次函数，即在 a 1，1上大于等于0，利用是一条直线这一图象特征，数形结合得关于m 的不等式组，从而求得m 的范围。不等式恒成立问题中的参数求解技巧名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载一、用一元二次方程根的判别式例 1 对于 x R，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。变形：若对于xR，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。例 2 已知函数，在时恒有，求实数 k 的取值范围。二、参数大于最大值或小于最小值例 3 已知二次函数，如果 x 0，1时，求实数 a 的取值范围。例 4 若不等式在 x 1，2时恒成立，试求a 的取值范围。例 5 是否存在常数c 使得不等式，对任意正数x、y 恒成立？试证明你的结论。三、变更主元例 6 若不等式，对满足所有的 x 都成立，求x 的取值范围。例 7 已知是定义在1，1上的奇函数且，若 a、b 1，1 ，a+b0，有。（ 1）判断函数在 1，1上是增函数还是减函数。（2）解不等式。（ 3）若对所有、a 1，1恒成立，求实数m 的取值范围。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -