2022年一元二次方程根的分布情况归纳总结 .pdf

精品资料欢迎下载一元二次方程02cbxax根的分布情况设方程200axbxca的不等两根为12,x x且12xx，相应的二次函数为20fxaxbxc，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一： （两根与 0 的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0 120,0 xx两个正根即两根都大于0 120,0 xx一正根一负根即一个根小于0，一个大于0120 xx大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f大致图象（0a）得出的结论00200baf00200baf00f综合结论（不讨论a）00200baa f00200baaf00fa名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载表二： （两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即kxkx21,两根都大于k即kxkx21,一个根小于k，一个大于k即21xkx大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf大致图象（0a）得出的结论020bkafk020bkafk0kf综合结论（不讨论a）020bkaa fk020bkaa fk0kfakkk名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载表三： （根在区间上的分布）分布情况两根都在nm,内两根有且仅有一根在nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在nm,内，另一根在qp,内，qpnm大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq大致图象（0a）得出的结论0002fmfnbmna0nfmf0000fmfnfpfq综合结论（不讨论a）0nfmf00qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间nm,外，即在区间两侧12,xm xn， （图形分别如下）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载需满足的条件是（ 1）0a时，00fmfn；（ 2）0a时，00fmfn对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（ 1）两根有且仅有一根在nm,内有以下特殊情况：1若0f m或0fn， 则此时0fmf n不成立， 但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根， 然后可以根据另一根在区间nm,内， 从而可以求出参数的值。如方程2220mxmx在区间1,3上有一根，因为10f，所以22212mxmxxmx，另一根为2m，由213m得223m即为所求；2方程有且只有一根，且这个根在区间nm,内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的 值 带 入 方 程 ， 求 出 相 应 的 根 ， 检 验 根 是 否 在 给 定 的 区 间 内 ， 如 若 不 在 ， 舍 去 相 应 的 参 数 。 如 方 程24260 xmxm有 且 一 根 在 区 间3, 0内 ， 求m的 取 值 范 围 。 分 析 ： 由300ff即141530mm得出15314m；由0即2164 260mm得出1m或32m，当1m时，根23,0 x，即1m满足题意；当32m时，根33,0 x，故32m不满足题意；综上分析，得出15314m或1m函数与方程思想：若y=( )f x与x轴有交点0 xf(0 x)=0 若y=f(x)与y=g(x)有交点 (0 x，0y)( )f x=( )g x有解0 x。根的分布练习题例 1、已知二次方程221210mxmxm有一正根和一负根，求实数m的取值范围。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载解：由2100mf即2110mm，从而得112m即为所求的范围。例 2、已知二次函数222433ymxmxm与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于 1，求实数m的取值范围。解：由210mf即2210mm122m即为所求的范围。例 3、已知二次方程22340mxmx只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间0,1上只有一个正根，则010ff4 310m13m即为所求范围。（注：本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在0,1内，由0计算检验，均不复合题例 4. 已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根，其中一根在区间( 1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求 m 的范围 . (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求 m 的范围1.若方程4(3)20 xxmm有两个不相同的实根，求m的取值范围。2.已知函数421xxym有且只有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点3.关于x的一元二次方程0222aaxx，当a为何实数时：（ 1）不同两根在3 ,1之间（ 2）有一个根大于2，另一个根小于2 （ 3）在3, 1内有且只有一解4.已知a是实数，函数.322)(2axaxxf如果)(xfy在区间1 , 1上有零点，求a的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -