2022年专题---抽象函数的导数问题 .pdf

精品资料欢迎下载专题抽象函数的导数问题所谓抽象函数， 即函数解析式未知的函数，这几年很流行抽象函数与导数结合的问题，此类问题一般有两种方法：（1）根据条件设法确定函数的单调性；（2）要根据题目给定的代数形式，构造函数，确定单调性，而构造什么样的函数，一方面要和已知条件含有fx的式子特征紧密相关，这要求我们必须非常熟悉两个函数的和、差、积、商的求导公式；另外一方面，由于此类问题往往是选填题，问题的结构往往有一定的暗示，所以务必要结和问题的结构，构造适合的抽象函数【求导的四则运算】法则 1( )( )( )( )f xg xfxg x. 法则 2 ( )( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xgx f xg. 法则 32() ()()() ()( )( )f xfx g xf x gxg xgx. 例 1、（2006 江西卷）对于R上可导的任意函数( )f x， 若满足(1)( )0 xfx， 则必有（）A.(0)(2)2(1)fff B. (0)(2)2 (1)fff C.(0)(2)2 (1)fff D . (0)(2)2 (1)fff分析： 这个题目的条件(1)( )0 xfx，实际上不能构造函数，它其实是告诉我们这个函数的单调性，具体来说：由(1)( )0 xfx得：（1）10 x且( )0fx，于是在(1,)上( )f x单调递增；（2）10 x且( )0fx，于是(,1)上( )f x单调递减；综上可知的最小值为(1)f，(0)(1)ff，(2)(1)ff，得(0)(2)2 (1)fff，选 C 【典型构造】若条件是( ) ( )( ) ( )0fx g xgx f x， 可构造( )( ) ( )F xf x g x， 则( )F x单调递增；若条件是( )( )0fxf x，可构造( )( )xF xe fx，则( )F x单调递增；若条件是( )( )0 xfxf x，可构造( )( )F xxf x，则( )F x单调递增；若条件是()(xfxnfx，可构造( )( )nF xx fx，则名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载1( )( )( )0nFxxxfxnfx，若10nx，则( )F x单调递增；例 2、( )f x是 R 上的可导函数，且( )+ ( )0fxf x，21(0)1, (2)ffe，求(1)f的值分析：构造( )( )xF xe f x，则( )( )( )0 xFxefxf x，所以( )F x单调递增或为常函数，而0(0)(0)1Fe f，2(2)(2)1Fe f， 所以( )1F x， 故1( 1 )( 1 ) 1Fef，得1(1)fe例 3、（07 陕西理）( )f x是定义在(0)，上的非负可导函数， 且满足( )( )0 xfxf x 对任意正数ab，若ab，则必有（）A( )( )af bbf aB( )( )bf aaf bC( )( )af abf b( )( )bf baf a分析：选项暗示我们，可能用得到的函数有两种可能，1( )( )f xg xx或2( )( )gxxfx，下面对他们分别求导，看看哪个能利用上已知条件：112( )( )( )( )( )f xxfxf xg xgxxx，因为()f x，( )( )0( )( )0 xfxf xxfxf x， 得( )0 xfx， 则( )()0 xfxfx， 故1()0gx，于是由ab得( )( )f af bab，即( )( )af bbf a，选 A例 3、定义在(0,)2上的函数( )f x，导数为( )fx，且( )( )tanf xfxx，则下式恒成立的是（）A.3 ()2 ()43ffB. (1)2 ()sin16ffC.2()()64ffD. 3 ()()63ff解：因为( )( )tanf xfxx，所以sin( )( )cosxf xfxx，即( )s in( )c os0fxxf xx，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载构造( )( )sinf xF xx，则2()sin( ) cos()0sin ( )fxxfxxFxx，所以( )F x单调递增，因63，所以()()63FF，即()()63sinsin63ff，即3 ()()63ff，选 D 练习1、 已知函数( )f x满足2()( )fxfxx，且在(0,)上，()fxx，则不等式(2)( )22faf aa的解集为（）A. 1,)B. (,1C. (,2D. 2,)解析：构造21g( )( )2xf xx，则2211g()( )()()( )022xg xfxxf xx，故g( )x为奇函数，且在(0,)上，( )( )0gxfxx，故g( )x是增函数，而2211(2)( )22(2)(2)( )22faf aafaaf aag(2)( )ag a，故只需2aa，得1a，选 B2、设( ),( )f x g x在 , a b上可导，且( )( )fxgx，则当axb时，有（）. ( )( )A f xg x. ( )( )B f xg x. ( )( )( )( )C f xg ag xf a.( )( )()(D fxg bg xfb解析：构造函数， 则易知单调递增， 于是，选 C 3、（ 2011 高考辽宁）函数的定义域为R,( 1)2f，对任意xR，( )2fx，则( )24f xx的解集为（）A. ( 1,1)B.( 1,)C. (, 1)D. (,)解析： 构造函数( )( )24F xf xx，则( )( )2220F xfx，所以( )F x在 R( )( )( )F xf xg x( )F x( )( )( )F aF xF b( )( )( )( )f xg xf ag a名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载上单调递增，又因为( 1)( 1)2( 1)40Ff，则()24()24fxxfxxFx，于是的1x，选 B 4、 已知函数( )f x满足(1)1f， 导函数1( )2fx， 则不等式2( )1f xx的解集为（）A. ( 1,1)B. (, 1)C. (, 1)(1,)D. (1,)解析：构造函数( )2( )1F xf xx，则1()2()12102Fxfx，所以函数( )F x单调递减，而(1)0F，2 ( )1f xx等价于( )0F x，得1x，选 D; 5、( )f x是定义在 R 上的可导函数， 且满足( )( )0 xfxf x 对任意正数ab， 若ab，则必有（）A( )( )af bbf aB( )( )af abf bC( )( )af abf bD( )( )af bbf a解析：构造( )( )F xxf x，可知( )F x递增，故选B；6.(2009 天津 )设( )f x在 R 上的导函数为( )fx，且22( )( )f xxfxx，则下面的不等式在 R 上恒成立的有（）A( )0f xB( )0f xC( )f xxD( )f xx解析：构造函数2( )( )F xx f x，则( )2( )( )Fxxf xxfx，当0 x时，由22( )( )f xxfxx，得(0)0f；当0 x时，22 ( )( )f xxfxx，得2( )2 ( )( )0Fxxf xxfxx x，于是( )F x在(0,)上单调递增，故2( )( )(0)0F xx f xF，则( )0f x；当0 x时，22( )( )f xxfxx，得2( )2( )( )0Fxxf xxfxx x，则( )F x在(0,)上单调递减，故2( )( )0F xx f x，则( )0f x；综上可知( )0f x选 A7、( )f x在 R 上的导函数为( )fx，且( )( )fxf x，且0a，则下面的不等式成立的有（）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载A( )(0)af ae fB( )(0)af ae fC( )(0)f afD( )(0)f af解 析 ： 构 造( )( )xf xF xe，( )( )( )0 xfxf xFxe， 则( )F x单 调 递 增 ， 则0( )(0)( )(0)af afF aFee，即( )(0)af ae f，故选 A 8、函数( )f x的导函数为( )fx，对任意的实数x，都有2( )( )fxf x成立，则（）A( )( )af bbf aB( )( )af abf bC( )( )af abf bD( )( )af bbf a解析：构造12( )( )xf xF xe，1122112221( )( )2( )( )2( )0()2xxxxfx ef x efxf xFxee，则( )F x单调递增，则(2ln 2)(2ln3)FF，即ln2ln3(2ln2)(2ln3)(2ln2)3(2ln2)2(223ffffffee，故选 B 9、设函数fx满足22xex fxxfxx，228ef，则当0 x时，( )f x（）A有极大值 , 无极小值B有极小值 , 无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值也无极小值解析：由已知得232( )xex f xfxx=，设2( )2( )xg xex f x，求导得22()2()4( )e(2)xxxxeegxex fxxfxxxx，易得( )g(2)0g x在0 x且2x是恒成立，因此232( )0 xex f xfxx=在0 x且2x是恒成立，而(2)0f，说明( )f x在0 x时没有极大值也没有极小值选D 10、 若定义在上的函数满足， 其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）AB名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载CD【解析】 由已知条件， 构造函数， 则， 故函数在上 单调 递增，且，故， 所以， 所 以 结 论 中 一 定 错 误 的 是C ， 选 项D无 法 判 断 ； 构 造 函 数，则，所以函数在上单调递增， 且，所以，即，选项 A,B 无法判断，故选C11 、 设 函 数是 奇 函 数的 导 函 数 ， 当时 ，则使得成立的的取值范围是（）ABCD名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -