2022年上海市向东中学高三数学立体几何测试卷及答案2 .pdf

优秀学习资料欢迎下载CBC1B1AA高三立体几何测试一、填空1、正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AB 中点，则异面直线DE 与 BD1所成角的大小为. 分析： 取 CD 中点 F，则 BF/DE. 那么D1BF 是异面直线DE 与 BD1所成的角（或补角）.设正方体的棱长为2，可求得：5,5,3211FDBFBD.在 BFD1中，求得515cos1BFD，所以异面直线DE 与 BD1所成角的大小为515arccos2、设 A、B、C、D 分别表示下列角的取值范围：（1）A 是直线倾斜角的取值范围；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所成角的取值范围；（4）D 是两异面直线所成角的取值范围.用“”把集合A、B、C、D 连接起来得到. 分析： 直线倾斜角的范围是),0，锐角的范围是)2,0(.由此：ACDB. 3、如图是一正方体的平面展开图，在这个正方体中：（1）AF 与 CN 所在的直线平行；（2）CN 与 DE 所在的直线异面； （ 3）CN 与 BM 成 60角；（4）DE 与 BM 所在的直线垂直. 以上四个命题中正确的命题序号是；分析： 将此展开图还原成正方体（如图）.可以看出：（2） 、 （3） 、 （4）是正确命题. 4、已知平面,，直线ba,.有下列命题：（1）/aa； （2）/aa（3）/baba； （ 4）/baba.其中正确的命题序号是. 分析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线a可能在平面内.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面内两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（ 3）. 5、已知线段AB 长为 3，A、B 两点到平面的距离分别为1与 2，则 AB 所在直线与平面所成角的大小为；分析： 要注意到点A、B 是平面同侧还是在平面的两侧的情况.当 A、B 在平面的同侧时， AB 所在直线与平面所成角大小为31arcsin；当 A、B 在平面的两侧时， AB 所在直线与平面所成角为2. 6、侧棱长为2cm，底面边长为3cm 的正三棱锥的体积为_433_3cm. 7、如图，在体积为1 的直三棱柱111CBAABC中，1,90BCACACBB M F A D E C N A B C D E F M N 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载A B C D E O 求直线BA1与平面CCBB11所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）. 命题立意 本题考查直线与平面所成角的大小. 思路分析 本题可通过几何法找到直线在平面上的射影，利用直角三角形求出直线与平面所成角的大小.也可以利用空间向量，借助向量与向量所成的角进行求解. 试题解析 解法一 由题意可得体积12121111CCBCACCCSCCVABC, 211CCAA连接1BC1111111ACB CACCC，11CA平面CCBB11，11BCA是直线BA1与平面CCBB11所成的角52211BCCCBC，51t a n11111BCCABCA，则11BCA55arctan8、若一正三棱锥的底面边长是a，体积为1233a，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的大小为；侧面与底面所成二面角的大小为；此三棱锥的侧面积为. 分析： 如图，设正三棱锥ABCD 的高为h.由题知：321234331aha，则ah.设 BC 中点为 E，顶点 A 在底面上的射影为O.注意三角形ADO 中含有侧棱与底面所成角即ADO与侧面底面所成二面角的平面角即AEO.由底面是正三角形且边长为a知aDOaEO33,63，则32,3AEOtgADOtg.所以侧棱与底面所成角大小为3，侧面与底面所成二面角大小为32arctg.由aAE639知，可求得侧面积为2439a.求侧面积也可以利用面积射影定理，由侧面与底面所成二面角正切值为32，则此二面角的余弦值为131，正三棱锥各侧面与底面所成的二面角都相等，则131侧底SS，所以2439aS侧. 9、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚. 外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）；内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）；垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）. 举例 三棱锥的“三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱锥”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件. 分析： 三侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心，又底面是正三角形，则外心就是中心，知此三棱锥是正三棱锥.反之也成立，选C. 10、ABCD A1B1C1D1是单位正方体， 黑、白两只蚂蚁从点A 出发以相同速度沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为 “爬完一段” .白蚂蚁爬行的路线是111DAAA，黑蚂蚁爬行的路线是1BBAB，在爬行过程中它们都遵循如下规则：所爬行的第2n段与第n段所在直线必须是异面直线（其中Nn）.设黑、白两只蚂蚁都爬名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载完 2007 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两个蚂蚁的距离是（）A、1；B、2；C、3；D、0. 分析： 注意到它们的运动规律，都是呈周期运动，运动周期为6.经过 2007 次运动，由333462007知，它们运动后所停位置就是第3 次运动后所停位置. 则它们都到达C1点，所以这两蚂蚁之间的距离为0，选 D. 二、解答题：11、已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，A1A平面 ABCD ，AB=4 ，AD=2. 若 B1DBC，直线 B1D 与平面 ABCD所成的角等于30，求平行六面体ABCD A1B1C1D1的体积 . 解：连结BD，因为 B1B平面 ABCD ，B1DBC，所以 BCBD. 在 BCD 中， BC=2，CD=4 ，所以 BD=32.又因为直线B1D 与平面 ABCD 所成的角等于30，所以 B1DB=30 ，于是BB1=31BD=2. 12、如图，在棱长为2 的正方体DCBAABCD中，FE、分别是BA和AB的中点，求异面直线FA与CE所成角的大小(结果用反三角函数值表示）. 解：连接EB，BFEA/，且BFEA，FBEA是平行四边形，则EBFA/，异面直线FA与CE所成的角就是CE与EB所成的角 . 由CB平面ABAB，得BECB. 在RtCEB中，5, 2BECB，则552tanCEB，552arctanCEB. 异面直线FA与CE所成角的大小为552arctan13、正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长是2，BC1与平面 ACC1A1所成角为30. 试求：（1）三棱柱 ABC A1B1C1的体积；（2）点 C 到平面 BAC1的距离 . 分析 ：（1） 求三棱柱的体积， 只要求出其高即可.由 BC1与平面 ACC1A1所成角为 30，则要作出 BC1在平面 ACC1A1上的射影 .取 AC中点 E，则BEAC，所以BE平面ACC1A1，则EC1是 BC1在平面ACC1A1上的射影 .有EBC1=30.由3BE，知31EC，所以221CC.则三棱柱的体积V=1ABCCCS=62. （2）若直接求点C 到平面 BAC1的距离，则需要作垂线、定垂足，比较麻烦.利用体积转化则比较简单.注意到三棱锥 CABC1即为三棱锥C1ABC ，其体积为362，设 C 到平面 BAC1的距离为h，则12 6133ABCh S.容易求得111ABCS，所以点C 到平面 BAC1的距离为11662. 14、在四棱锥PABCD 中，底面是边长为2 的菱形， DAB 60，对角线AC 与 BD 相交于点O，PO平面 ABCD ，PB 与平面 ABCD 所成的角为60（1）求四棱锥PABCD 的体积；（2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）6ACD1A1BB1C1D154326ACD1A1BB1C1D15432P A B C D O E 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载命题立意 本题考查四棱锥及其体积，直线与平面所成角，异面直线所成的角，或能正确建立空间直角坐标系，空间向量以及两个向量所成的角. 思路分析 本题可利用四棱锥的体积公式求出体积，再利用几何法找平行关系，把求异面直线所成的角转化为求平面角的问题，利用余弦定理加以求解；也可以利用空间向量，借助向量与向量所成的角进行求解. 试题解析 解答： （1） 在四棱锥 P-ABCD 中,由 PO平面 ABCD, 得 PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角 , PBO=60 . 在 RtAOB 中 BO=ABsin30 =1, 由 POBO, 于是 ,PO=BOtan60 =3,而底面菱形的面积为23. 四棱锥 P-ABCD 的体积 V=31 233=2. （2）解法一 以 O 为坐标原点 ,射线 OB、OCOP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立空间直角坐标系. 在 RtAOB 中 OA=3,于是 ,点 A、B、D、P 的坐标分别是A(0, 3,0), B (1,0,0), D (1,0,0), P (0,0, 3). E 是 PB 的中点 ,则 E(21,0,23) 于是DE=(23,0, 23),AP=(0, 3,3). 设AP与DE的夹角为, 有 cos=4233434923, =arccos42, 异面直线DE 与 PA 所成角的大小是arccos42. 解法二 取 AB 的中点 F,连接 EF、DF. 由 E 是 PB 的中点 ,得 EFPA， FED 是异面直线DE 与 PA 所成角(或它的补角 )，在 RtAOB 中 AO=ABcos30 =3=OP，于是 , 在等腰 RtPOA 中，PA=6，则 EF=26. 在正 ABD 和正 PBD 中,DE=DF=3，cosFED=34621DEEF=42, 异面直线DE 与 PA 所成角的大小是arccos42. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -