2022年中考数学复习专题讲座动点型问题 .pdf

中考数学复习专题讲座：动点型问题（建立动点问题的函数解析式（或函数图像）、动态几何型压轴题、双动点问题、因动点产生的最值问题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法， 来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路, 这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。三、中考考点精讲建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律, 是初中数学的重要内容. 动点问题反映的是一种函数思想, 由于某一个点或某图形的有条件地运动变化, 引起未知量与已知量间的一种变化关系, 这种变化关系就是动点问题中的函数关系.（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）例 1（2012?嘉兴）如图，正方形ABCD 的边长为 a，动点 P从点 A出发，沿折线ABDCA的路径运动，回到点 A时运动停止设点P运动的路程长为长为x，AP长为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（） A B C D思路分析： 根据题意设出点P运动的路程x 与点 P到点 A的距离 y 的函数关系式，然后对x 从 0 到 2a+2a 时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案解： 设动点 P按沿折线ABDCA的路径运动，正方形ABCD 的边长为a，BD=a，则当 0 x a 时，y=x，当 ax（ 1+）a 时， y=，当 a（1+）x a（2+）时，y=，当 a（2+）xa（ 2+2）时， y=a（2+2） x，结合函数解析式可以得出第 2，3 段函数解析式不同，得出A选项一定错误，根据当ax（ 1+）a 时，函数图象被P在 BD中点时，分为对称的两部分，故B选项错误，再利用第4 段函数为一次函数得出，故C选项一定错误，故选：D 点评： 此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键对应训练1 （2012?内江）如图，正ABC的边长为3cm ，动点P从点 A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒） ，y=PC2，则 y 关于 x 的函数的图象大致为（）ABCD解：正 ABC的边长为3cm ， A=B=C=60 ， AC=3cm 如图， D为 AB的中点，连结CD ，则： AD=BD=1.5 （cm） ，CD=3 32（cm） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页当 0 x 1.5 时，即点P在线段 AD上时， AP=xcm （0 x 1.5 ） ，则2222223 33()()3922PCCDDPxxx，即 y=x23x+9（0 x 1.5 ） ；当 1.5 x3 时，即点 P在线段 AD上时， AP=xcm （ 1.5 x 3） ，则2222223 33()()3922PCCDDPxxx，即 y=x23x+9（1.5 x3） ；综上，当0 x3 时， y=x23x+9，该函数图象是开口向上的抛物线；当 3x6 时，即点 P在线段 BC上时， PC= （6x）cm （3x6） ；则 y=（6x）2=（x 6）2（3x6） ，该函数的图象是在3x6 上的抛物线；故选C（二）应用比例式建立函数解析式（或函数图像）例 2（2012?攀枝花） 如图， 直角梯形 AOCD 的边 OC在 x 轴上， O为坐标原点， CD垂直于 x 轴，D （5，4） ，AD=2 若动点 E、F同时从点O出发， E点沿折线OA AD DC 运动，到达C点时停止； F 点沿 OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1 个单位长度设E运动 x 秒时， EOF的面积为y（平方单位） ，则 y 关于 x 的函数图象大致为（）A B CD思路分析： 首先根据点D的坐标求得点A的坐标， 从而求得线段OA和线段 OC的长， 然后根据运动时间即可判断三角形 EOF的面积的变化情况解： D（5，4） ，AD=2 OC=5 ， CD=4 OA=5，运动x 秒（ x5）时， OE=OF=x ，作 EH OC于 H，AG OC于点G，EH AG ， EHO AGO ，即：，EH= x，SEOF= OF?EH= xx=x2，故 A、B错误；当点 F 运动到点 C时，点 E运动到点A，此时点 F停止运动，点E在 AD上运动，EOF的面积不变，点E在 DC上运动时，如右图，EF=11 x，OC=5 ，SEOF=OC?CE=（ 11 x）5=x+是一次函数，故C正确，故选C点评： 本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据动点确定分段函数的图象对应训练2 （2012?贵港）如图， RtABC 的内切圆O与 AB 、BC 、CA分别相切于点D 、E、F，且ACB=90 ， AB=5 ， BC=3 ，点 P在射线 AC上运动，过点P作 PH AB ，垂足为H（1）直接写出线段AC 、AD及O 半径的长；（2）设 PH=x ，PC=y ，求 y 关于 x 的函数关系式；（3）当 PH与O 相切时，求相应的y 值（1）连接 AO 、DO 设O 的半径为r 在 RtABC中，由勾股定理得AC=4，则O 的半径 r=（AC+BC AB ）=（4+35）=1；CE 、 CF是O 的切线， ACB=90 ，CFO= FCE= CEO=90 ，CF=CE ，四边形CEOF 是正方形，CF=OF=1 ；又 AD 、 AF是O 的切线， AF=AD ；AF=AC CF=AC OF=4 1=3，即 AD=3；（2）在 RtABC中，AB=5 ，AC=4 ，BC=3 ，C=90 ， PH AB ，C= PHA=90 ， A=A， AHP ACB ，=，即=，y=x+4，即 y 与 x 的函数关系式是y=x+4；（3）如图， PH与O相切 OMH =MH D= HDO=90 ，OM=OD，四边形OMH D 是正方形，MH =OM=1 ；由（1）知，四边形CFOE 是正方形， CF=OF=1 ，PH=PM+MH=PF+FC=P C，即x=y；D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页又由（ 2）知， y=x+4，y=y+4，解得， y= （三）应用求图形面积的方法建立函数关系式例 3 （2012?桂林）如图，在 ABC 中， BAC=90 ， AB=AC=6 ，D为 BC的中点（1）若 E、F 分别是 AB 、AC上的点，且AE=CF ，求证： AED CFD ；（2）当点 F、E分别从 C、 A两点同时出发，以每秒1 个单位长度的速度沿CA 、AB运动，到点A、B时停止；设DEF的面积为y，F 点运动的时间为x，求 y 与 x 的函数关系式；（3）在（ 2）的条件下，点F、E分别沿 CA、AB的延长线继续运动，求此时y 与 x 的函数关系式思路分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到BAD= DAC= B=C=45 ，进而得到AD=BD=DC，为证明AED CFD 提供了重要的条件；（2）利用 S四边形 AEDF=SAED+SADF=SCFD+SADF=SADC=9 即可得到y与 x 之间的函数关系式；（3）依题意有：AF=BE=x 6，AD=DB ，ABD= DAC=45 得到DAF= DBE=135 ，从而得到 ADF BDE ，利用全等三角形面积相等得到SADF=SBDE从而得到SEDF=SEAF+SADB即可确定两个变量之间的函数关系式解： （1）证明： BAC=90 AB=AC=6 ，D为 BC中点BAD= DAC= B=C=45 AD=BD=DC （2 分）AE=CF AED CFD （2）解：依题意有：FC=AE=x ， AED CFD S四边形 AEDF=SAED+SADF=SCFD+SADF=SADC=9 ；（3）解：依题意有：AF=BE=x 6，AD=DB ，ABD= DAC=45 DAF= DBE=135 ADF BDE SADF=SBDESEDF=SEAF+SADB=点评： 本题考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大对应训练3 （2012?桂林）如图，在边长为4 的正方形ABCD 中，动点P从 A点出发，以每秒1 个单位长度的速度沿 AB向 B 点运动，同时动点Q从 B点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿BC CD方向运动，当P运动到 B点时，P、Q两点同时停止运动设 P点运动的时间为t ，APQ的面积为S，则 S与 t 的函数关系的图象是（） A B C D解：点P在 AB上运动，点Q在 BC上运动，此时AP=t，QB=2t，故可得S= AP?QB=t2，函数图象为抛物线；点 P在 AB上运动，点Q在 CD上运动，此时AP=t， APQ底边 AP上的高维持不变，为正方形的边长4，故可得 S= AP 4=2t，函数图象为一次函数综上可得总过程的函数图象，先是抛物线，然后是一次增函数选D（四）以双动点为载体，探求函数图象问题例 4 （2012?荆门）如图（1）所示， E为矩形 ABCD 的边 AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE EDDC运动到点C时停止，点Q沿 BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒设 P、Q同发 t 秒时， BPQ的面积为ycm2已知 y 与 t的函数关系图象如图（2） （曲线 OM为抛物线的一部分） ，则下列结论：AD=BE=5 ；cosABE=；当 0t 5 时， y=t2；当 t=秒时，ABE QBP ；其中正确的结论是（填序号）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页思路分析：根据图（ 2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点 E时点 Q到达点 C，从而得到BC 、BE的长度，再根据M 、N是从 5 秒到 7 秒，可得 ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出 AB的长度，然后针对各小题分析解答即可解： 根据图（ 2）可得，当点P到达点 E时点 Q到达点 C，点 P、Q的运动的速度都是1cm/秒， BC=BE=5 ，AD=BE=5 ，故小题正确；又从M到 N的变化是2，ED=2 ，AE=AD ED=5 2=3，在 RtABE中， AB=4，cosABE=，故小题错误；过点 P作 PF BC于点 F，AD BC ， AEB= PBF ，sin PBF=sinAEB=，PF=PBsin PBF=t ，当 0t 5 时，y=BQ?PF= t?t=t2，故小题正确；当 t=秒时，点P在 CD上，此时， PD=BE ED=52= ，PQ=CD PD=4 =，=，=，=，又 A=Q=90 ，ABE QBP ，故小题正确综上所述，正确的有点评： 本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点 E时点 Q到达点 C是解题的关键，也是本题的突破口（五）以双动点为载体，探求函数最值问题例 5（2012?张家界）如图，抛物线y=x2+x+2 与 x 轴交于 C、A两点，与 y 轴交于点B，OB=2 点 O关于直线AB的对称点为D，E为线段 AB的中点（1）分别求出点A、点 B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求 k 值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB 、AO方向向 B、O移动，点P每秒移动1 个单位，点 Q每秒移动个单位，设 POQ的面积为S，移动时间为t ，问： S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t 值；若不存在，请说明理由思路分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y 轴的交点坐标（即B点坐标）；令 y=0，能确定抛物线与 x 轴的交点坐标（即A、C的坐标） （ 2）由（ 1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标已知A、B的坐标，易判断出 OAB 是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合 DOA的读数，即可得到D点的坐标，由此得解 （4）首先用 t 列出 AQ 、AP的表达式，进而可得到P到 x 轴的距离，以OQ 为底、 P到 x 轴的距离为高，可得到关于S、t 的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t 的值解： （1）令 y=0，即 x2+x+2=0；解得 x1=，x2=2C（，0） 、A（2，0） 令 x=0，即 y=2，B（ 0，2） 综上， A（2，0） 、B（0，2） （2）令 AB方程为 y=k1x+2 因为点 A（ 2，0）在直线上， 0=k1?2+2k1=，直线 AB的解析式为y=x+2 （3）由 A（2，0） 、 B（0，2）得：OA=2，OB=2 ，AB=4 ，BAO=30 ， DOA=60 ；D与 O点关于 AB对称， DOA=60 ， OD=OA=2，D点的横坐标为，纵坐标为3，即 D（，3） 因为 y=过点 D，3=，k=3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页（4）AP=t， AQ= t ，P到 x 轴的距离： AP?sin30=t ，OQ=OA AQ=2t ；SOPQ=?（2t ）?t=（t 2）2+ ；依题意有，解得 0t 4当t=2时， S有最大值为点评： 该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围（六）因动点产生的最值问题因动点产生的最值问题与一般最值问题一样，一般都归于两类基本模型：1归于函数模型2归于几何模型（ 1两线段之和的最小值”时大都应用这一模型。（ 2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时大都应用这一模型。例 6 （2012?襄阳）如图，在矩形OABC 中， AO=10 ，AB=8，沿直线 CD折叠矩形OABC 的一边 BC ，使点 B落在 OA边上的点E处分别以OC ，OA所在的直线为x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c 经过 O，D，C三点（1）求 AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点 E出发，沿EC以每秒 2 个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点 C出发，沿CO以每秒1 个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点 C时，两点同时停止运动设运动时间为t 秒，当 t 为何值时，以 P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似？（3）点 N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点 N，使以 M ，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点 N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由5解： （1）四边形ABCO 为矩形， OAB= AOC= B=90 ， AB=CO=8 ，AO=BC=10 由题意，BDC EDC B=DEC=90 ， EC=BC=10 ，ED=BD 由勾股定理易得EO=6 AE=106=4，设 AD=x ，则 BD=ED=8 x，由勾股定理，得x2+42=（8x）2，解得， x=3， AD=3 抛物线y=ax2+bx+c 过点 D（3，10） ，C（8，0） ，解得抛物线的解析式为：y=x2+x（2） DEA+ OEC=90 ， OCE+ OEC=90 ， DEA= OCE ，由（ 1）可得 AD=3 ，AE=4，DE=5 而 CQ=t，EP=2t， PC=10 2t 当 PQC= DAE=90 ， ADE QPC ，=，即=，解得 t=当 QPC= DAE=90 ， ADE PQC ，=，即= ，解得 t=当 t=或时，以 P、Q、C为顶点的三角形与ADE相似（3）假设存在符合条件的M 、N点，分两种情况讨论：EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC 是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则： M （4，） ；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被 EC中点（ 4，3）平分，则N（4，） ；EC为平行四边形的边，则ECMN ，设 N（4，m ） ，则 M （48，m+6 ）或 M （4+8，m 6） ；将 M （ 4，m+6 ）代入抛物线的解析式中，得：m= 38，此时 N（4， 38） 、M （ 4， 32） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页将 M （12，m 6）代入抛物线的解析式中，得：m= 26，此时 N（4， 26） 、M （ 12， 32） ；综上，存在符合条件的M 、 N点，且它们的坐标为：M1（ 4， 32） ，N1（4， 38） M2（ 12， 32） ，N2（4， 26） M3（4，） ，N3（4，） 四、中考真题演练1. （2012 安徽省 4 分） 如图， A点在半径为2 的O 上，过线段OA上的一点P作直线，与O 过 A点的切线交于点 B，且 APB=60 ，设OP= x，则 PAB的面积 y 关于 x 的函数图像大致是【】【分析】 利用 AB与O 相切， BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x 表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象：AB 与O相切， BAP=90 ， OP=x ，AP=2 x，BPA=60 ，AB=3(2x)， APB的面积23y(2x)2， （ 0 x 2） 。PAB的面积 y 关于 x 的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0 x2 的部分。故选D。2. （2012 浙江温州4 分） 如图，在 ABC 中， C=90 ， M是 AB的中点，动点P从点 A出发， 沿 AC方向匀速运动到终点C,动点 Q从点 C出发， 沿 CB方向匀速运动到终点 B.已知 P，Q两点同时出发，并同时到达终点. 连结 MP ，MQ ，PQ.在整个运动过程中， MPQ的面积大小变化情况是【】A.一直增大 B.一直减小 C.先减小后增大 D.先增大后减小【分析】 如图所示，连接CM ，M是 AB 的中点，SACM=SBCM=12SABC，开始时，SMPQ=SACM=12SABC；由于 P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达 AC的中点时，点Q也到达 BC的中点，此时， SMPQ=14SABC；结束时， SMPQ=SBCM=12SABC。MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选C。3. （2012 江苏无锡3 分）如图， 以 M （ 5，0）为圆心、 4 为半径的圆与x 轴交于 AB两点，P是M上异于 A B的一动点，直线PA PB分别交 y 轴于 CD，以 CD为直径的N 与 x 轴交于 E、F，则 EF的长【】A 等于 4B等于 4C等于 6 D随 P点【分析】连接 NE ，设圆 N 半径为 r ，ON=x ，则 OD=rx，OC=r+x，以 M （ 5，0）为圆心、 4 为半径的圆与x 轴交于 AB两点， OA=4+5=9 ， 0B=54=1。AB是M的直径，APB=90 。BOD=90 ，PAB+ PBA=90 ， ODB+ OBD=90 。PBA= OBD ， PAB= ODB 。APB= BOD=90 ， OBD OCA 。OCOD=OBOA，即r+x9=1rx，即 r2x2=9。由垂径定理得：OE=OF ，由勾股定理得：OE2=EN2ON2=r2x2=9。OE=OF=3，EF=2OE=6 。4. （2012湖北黄冈 3分） 如图，在 RtABC 中， C=90 ，AC=BC=6cm ，点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向以每秒2cm的速度向终点 B运动；同时，动点Q从点 B出发沿 BC 方向以每秒 1cm 的速度向终点 C 运动， 将PQC 沿 BC 翻折， 点P的对应点为点 P. 设 Q 点运动的时间t 秒，若四边形 QPCP 为菱形，则t 的值为【】A. 2 B. 2 C. 2 2 D. 4 【分析】 如图，过点P作 PD AC于点 D，连接 PP 。由题意知，点P、P关于 BC对称， BC 垂直平分PP 。 QP=QP，PE=P E。根据菱形的性质，若四边形QPCP 是菱形则CE=QE 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页C=90 ， AC=BC ， A=450。AP=2t ，PD= t。易得，四边形PDCE 是矩形， CE=PD= t ，即CE=QE= t。又 BQ= t ，BC=6 ，3 t=6 ，即t=2 。5. （2012 四川广元3 分） 如图，点A的坐标为（ -1 ，0） ，点 B 在直线yx上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【】A.（ 0，0） B.（21，21） C.（22，22） D.（22，22）【分析】 如图，过点A作 AB OB ，垂足为点B，过 B作 BCx轴，垂足为C。由垂线段最短可知，当B与点 B重合时 AB最短。点B在直线 y=x 上运动， AOB 是等腰直角三角形。BCO为等腰直角三角形。点A的坐标为（ -1 ，0） ，OC=CB=12OA=121=12。B坐标为（12，12） 。当线段AB最短时，点B的坐标为（12，12） 。故选 B。6. （2012 浙江义乌4 分） 如图，已知点A （0，2） 、B（，2） 、C（0，4） ，过点 C向右作平行于x 轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP ，以 AP为边在其左侧作等边 APQ ，连接 PB 、BA 若四边形ABPQ 为梯形，则：（1）当 AB为梯形的底时，点P的横坐标是 ；（2）当 AB为梯形的腰时，点P的横坐标是 【分析】（1）如图 1：当 AB为梯形的底时， PQ AB ，Q在 CP上。APQ是等边三角形， CP x 轴，AC垂直平分PQ 。A（ 0，2） ，C（0，4） ，AC=2 。32 3PCAC tan302=33。当 AB为梯形的底时，点P的横坐标是：2 33。（2）如图 2，当 AB为梯形的腰时， AQ BP ，Q在 y 轴上。 BP y 轴。CP x轴，四边形ABPC 是平行四边形。 CP=AB=2 3。当 AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：2 3。7. （2012 湖北鄂州3 分） 在锐角三角形ABC中， BC=24，ABC=45 ， BD平分 ABC ， M 、N 分别是 BD、BC上的动点，则CM+MN 的最小值是 。【分析】 如图，在BA 上截取BE=BN ，连接EM 。 ABC 的平分线交AC 于点D，EBM= NBM 。在 AME与AMN中， BE=BN ，EBM= NBM ，BM=BM ，BME BMN （ SAS ） 。ME=MN。CM+MN=CM+MECE 。又CM+MN 有最小值，当CE是点 C到直线 AB的距离时， CE取最小值。BC=4 2，ABC=45 ， CE 的最小值为4 2sin450=4。CM+MN 的最小值是4。8. （2012 山东济南 3 分） 如图， MON=90，矩形ABCD 的顶点 A 、B分别在边OM ，ON上，当 B在边 ON上运动时， A随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2 ，BC=1 ，运动过程中，点D到点 O的最大距离为【】A21B5C14555 D52【分析】 如图，取AB的中点 E，连接 OE 、DE、OD ，OD OE+DE ，当O、D、 E三点共线时，点D到点 O的距离最大，此时， AB=2 ， BC=1 ，OE=AE=12AB=1 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页DE=2222ADAE112， OD 的最大值为：21。故选 A。9 （2012?遵义）如图，ABC是边长为6 的等边三角形，P是 AC边上一动点，由A向 C运动（与A、C不重合），Q是 CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向 CB延长线方向运动（Q不与 B重合），过 P作 PE AB于 E，连接 PQ交 AB于 D（1）当 BQD=30 时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由解： （1） ABC是边长为6 的等边三角形， ACB=60 ， BQD=30 ， QPC=90 ，设AP=x，则 PC=6x，QB=x ， QC=QB+BC=6+x，在 RtQCP中， BQD=30 ， PC= QC ，即 6x=（6+x） ，解得 x=2；（2）当点 P、Q运动时，线段DE的长度不会改变理由如下：作 QF AB ，交直线AB的延长线于点F，连接 QE ，PF，又 PE AB于 E， DFQ= AEP=90 ，点 P、Q做匀速运动且速度相同，AP=BQ ， ABC是等边三角形， A=ABC= FBQ=60 ，在APE和 BQF中， A= FBQ= AEP= BFQ=90 ， APE= BQF ， APE BQF ， AE=BF ，PE=QF且 PE QF ，四边形PEQF是平行四边形，DE= EF， EB+AE=BE+BF=AB， DE= AB ，又等边 ABC的边长为6， DE=3 ，当点P 、Q运动时，线段DE的长度不会改变10 （2012?河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1 与抛物线y=ax2+bx3 交于 A、B两点，点A在 x轴上，点B的纵坐标为3点 P是直线 AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点 P作 x 轴的垂线交直线 AB于点 C，作 PD AB于点 D（1）求 a、b 及 sin ACP的值；（2）设点 P的横坐标为m 用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；连接 PB ，线段 PC把 PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由解： （1）由x+1=0，得 x=2， A（ 2，0） 由x+1=3，得 x=4， B（4，3） y=ax2+bx3 经过 A、B两点，a= ，b=，设直线 AB与 y 轴交于点E，则 E（0，1） PCy 轴， ACP= AEO sin ACP=sin AEO=（2）由（ 1）知，抛物线的新解析式为y=x2x 3则点 P（ m ，m2m 3） 已知直线AB ：y=x+1，则点 C（m ，m+1 ） PC= m+1 （m2m 3）=m2+m+4= （m 1）2+RtPCD中，PD=PC?sin ACP=（m 1）2+ ?=（m 1）2+PD长的最大值为：如图，分别过点D、B作 DFPC ，BG PC ，垂足分别为F、G在 Rt PDF中， DF=PD= （m22m 8） 又BG=4 m ，=当=时，解得m= ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页当=时，解得m=11 （2012?孝感）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b， c 是常数， a0）与x 轴交于 A，B两点，与y 轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（ 1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若 P为线段 BD上的一个动点，过点P作 PM x 轴于点 M ，求四边形PMAC 面积的最大值和此时P点的坐标；（3）若 P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作 PQ AC交 x 轴于点 Q当点 P的坐标为时，四边形 PQAC 是平行四边形；当点P的坐标为时，四边形PQAC 是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）解： （1）抛物线y=ax2+bx+c 过点 C（0，3）当 x=0 时， c=3又抛物线y=ax2+bx+c 过点 A （ 1，0） ，B（3，0），解得抛物线的解析式为：y=x2+2x+3 又 y= x2+2x+3，y=（ x 1）2+4，顶点D的坐标是（ 1，4） （2）设直线BD的解析式为y=kx+n（k0）直线y=kx+n 过点 B（3，0） ，D（1，4），解得直线 BD的解析式： y=2x+6， P点在线段BD上，因此，设点P坐标为（ m ，2m+6 ）又 PM x 轴于点 M ， PM= 2m+6 ，OM=m，又 A（ 1，0） ， C（3，0） OA=1 ，OC=3 设四边形PMAC 面积为 S， 则 S= OA?OC+ （PM+OC ） ?OM= （ 2m+6+3 ） ?m= m2+ m+ = （m ）2+，13，当 m= 时，四边形PMAC 面积的最大值为，此时， P点坐标是（，） （3）答案：（2，3） ； （，） *注：以下给出解题简要过程，原题并无此要求* 四边形PQAC 是平行四边形，如右图所示过点P作 PE x 轴于点 E，易证 AOC QEP ，yP=PE=CO=3 又CP x 轴，则点C（0， 3）与点 P关于对称轴x=1 对称， xP=2 P（2，3） 四边形PQAC 是等腰梯形，如右图所示设 P（m ，n） ，P点在抛物线上，则有n=m2+2m+3 过 P点作 PE x 轴于点 E ，则 PE=n 在 RtOAC 中， OA=1 ， OC=3 ， AC=，tan CAO=3 ，cosCAO=；PQ CA ， tan PQE=tan CAO=3 ， QE= n， PQ=n过点 Q作 QM PC ， 交 AC于点 M ， 则四边形 PCMQ 为平行四边形， QAM 为等腰三角形 再过点 Q作 QN AC于点 N 则有： CM=PQ=n，AN= AM= （AC CM ）=（1n） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页AQ=5（1n） 又 AQ=AO+OQ=1+（m n） ，5（1n）=1+（m n） ，化简得： n=3m ；又 P点在抛物线上，有n=m2+2m+3 ， m2+2m+3=3 m ，化简得： m2m=0 ，解得 m1=0（舍去），m2=，m=，n=3m=， P（，） 12 （2012?攀枝花） 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形 ABCD 是菱形， 顶点 A 、C、D均在坐标轴上， 且 AB=5 ，sinB=（1）求过 A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n ， （1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1y2时，自变量x 的取值范围；（3）设直线 AB与（1）中抛物线的另一个交点为E ，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，PAE的面积最大？并求出面积的最大值解： （1）四边形ABCD 是菱形， AB=AD=CD=BC=5， sinB=sinD=；RtOCD 中，OC=CD?sinD=4， OD=3 ；OA=AD OD=2 ，即：A（ 2，0） 、B（ 5， 4） 、C（0，4） 、D（3，0） ；设抛物线的解析式为：y=a（x+2） （x 3） ，得： 2（ 3）a=4，a=；抛物线：y=x2+ x+4（2）由 A（ 2，0） 、B（ 5，4）得直线AB：y1=x；由（ 1）得： y2=x2+x+4，则：，解得：，；由图可知：当y1y2时， 2x 5（3） SAPE=AE?h ，当P到直线 AB的距离最远时，SABC最大；若设直线LAB ，则直线L 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点P；设直线 L：y=x+b，当直线L 与抛物线有且只有一个交点时，x+b=x2+x+4，且 =0；求得： b=，即直线L：y=x+；可得点P（，） 由（ 2）得： E（5，） ，则直线 PE：y=x+9；则点 F（，0） ，AF=OA+OF= ； PAE的最大值： SPAE=S PAF+SAEF= （+）=综上所述，当P（，）时， PAE的面积最大，为13 （2012?凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于A 、B两点，抛物线y=x2+bx+c 经过 A、B两点，并与x 轴交于另一点C （点 C点 A的右侧），点 P是抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点 P在第二象限内，过点P作 PD 轴于 D，交 AB于点 E当点 P运动到什么位置时，线段 PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x 轴的动直线l 与抛物线交于点Q，与直线 AB交于点 N ，点 M为 OA的中点，那么是否存在这样的直线l ，使得 MON 是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页解： （1）直线 y=x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于A、B两点， A（ 4，0） ，B（0， 4）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、 B两点，可得，解得，抛物线解析式为y=x23x+4令 y=0，得 x23x+4=0，解得 x1=4，x2=1， C （1，0） （2）如答图1 所示，设 D（t ，0） OA=OB ， BAO=45 ， E（t ，t ） ，P（t ， t23t+4 ） PE=yPyE=t23t+4 t= t24t= （ t+2 ）2+4，当 t= 2 时，线段PE的长度有最大值4，此时 P（ 2，6） （3）存在如答图2 所示，过N点作 NH x 轴于点 H设 OH=m （m 0） ， OA=OB ， BAO=45 ，NH=AH=4 m ， yQ=4m 又 M为 OA中点， MH=2 m MON 为等腰三角形：若 MN=ON，则 H为底边 OM 的中点， m=1 ， yQ=4m=3 由 xQ2 3xQ+4=3，解得 xQ=，点 Q坐标为（，3）或（，3） ；若 MN=OM=2，则在 Rt MNH 中，根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即 22=（4m ）2+（ 2m ）2，化简得m26m+8=0 ，解得： m1=2，m2=4（不合题意，舍去）yQ=2，由 xQ23xQ+4=2，解得 xQ=，点 Q坐标为（，2）或（，2） ；若 ON=OM=2，则在 Rt NOH 中，根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即 22=（4 m ）2+m2，化简得 m24m+6=0 ， = 80，此时不存在这样的直线l ，使得 MON 为等腰三角形综上所述，存在这样的直线l ，使得 MON 为等腰三角形所求 Q点的坐标为（，3）或（， 3）或（，2）或（，2） 14 （2012?恩施州）如图，已知抛物线y=x2+bx+c 与一直线相交于A （ 1，0） ，C（2，3）两点，与y 轴交于点 N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点 M （3，m ） ，求使 MN+MD 的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线 AC上的任意一点，过点E作 EFBD交抛物线于点F，以 B，D，E，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值解： （1）由抛物线y=x2+bx+c 过点 A （ 1，0）及 C（2， 3）得，解得，故抛物线为y=x2+2x+3，又设直线为y=kx+n 过点 A（ 1，0）及 C（2，3）得，解得，故直线