2022年中考模拟试题分类汇编直角三角形与勾股定理 .pdf

（第 3 题）直角三角形与勾股定理一、选择题1、(2011 浙江杭州模拟14) 如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB上的点 E处. 已知 AB=38, B=30, 则 DE的长是 ( ). A. 6 B. 4 C. 34 D. 23答案： B 2. （2011 湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为7， 面积为 6， 则斜边长为（）A. 5 B. C. 7 D. 答案： A 3（ 2011年杭州市上城区一模）梯形ABCD中ABCD，ADC+BCD=90，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ，且S1 +S3 =4S2，则CD=（）A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB 答案： B 4 （2011 年浙江省杭州市模2）直角三角形两直角边和为7，面积为 6，则斜边长为 （）A. 5 B. C. 7 D. 答案： A 二、填空题1、（ 2011 年北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方 形 的 边 长 为5cm ， 则 正 方 形A 、 B 、 C 、 D的 面 积 和是答案： 25cm22（ 20102011 学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题 ） 如图是两个全等的三角形纸片，其三边长之比为3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为SA， SB，已知 SA+SB=13，则纸片的面积是. B A C D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页答案： 36 3、(2011 浙江杭州模拟15) 如图，将含 30角的直角三角尺ABC绕点 B顺时针旋转150后得到 EBD ，连结 CD.若 AB=4cm. 则 BCD的面积为答案：23cm4 (2011 年宁夏银川 ) 将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积_cm2答案：2495.(2011 浙江省杭州市 8 模) 如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别向外延长一倍，得到图2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_；(第 5 题图 ) 答案 :76 6、（ 2011 年浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端 C处，已知AB BD ， CD BD ， 且测得 AB=1.2 米， BP=1.8 米， PD=12米， 那么该古城墙的高度是米. 答案： 8 第 2 题图SASB第 4题图A C E D B F 3045图 2 ABC图 1 ABCA B P D C 第 6 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页7、（ 2011 年浙江杭州八模）如图，小明在A时测得某树的影长为3 米， B时又测得该树的影长为 12 米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_米.答案： 6第 8 题图8、（ 2011 年浙江杭州八模）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_；答案： 769. ( 浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷 ) 如图，将边长为33的等边 ABC 折叠，折痕为DE，点 B 与点 F 重合，EF 和 DF 分别交 AC 于点 M、N，DFAB，垂足为 D，AD1，则重叠部分的面积为. 答案：39344+B 组1（ 2011 年杭州三月月考）将一副三角板按如图1 位置摆放 , 使得两块三角板的直角边AC和MD重合 . 已知AB=AC=8 cm,将MED绕点A(M) 逆时针旋转60后( 图 2), 两个三角形重叠（阴影）部分的面积是 cm2答案：316482（ 2011 年重庆江津区七校联考一模）一元二次方程27120 xx的两根恰好是一直角三角形的两边长，则该直角三角形的面积为。答案： 6或7233、（ 2011 年浠水模拟2）如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6 的直角边分别 向 外 延 长 一 倍 ， 得 到 图2 所 示 的 “ 数 学 风 车 ” ， 则 这 个 风 车 的 外 围 周 长 是（第 7 题）A 时B 时图 2 ABC图 1 ABCDNEFMCBA图2图1A(M)EDCBEDCBA(M)(第 1 题) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页_；答案： 76 4. （2011 年杭州市模拟）侧棱长为15cm 的直三棱柱的三个侧面面积分别为25 22cm、25 52cm和 25 32cm，则该棱柱上底面的面积为2cm答案：25 6185. （2011 年海宁市盐官片一模）已知cba,是直角三角形的三条边，且cba，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是。（只填序号）222422)1(hbahba；22224cbhcb；由cba,可以构成三角形；直角三角形的面积的最大值是22b. 答案：6（ 2011 北京四中一模）在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸A，B 两处之间的距离，先从A处出发与AB成 90方向，向前走了10 米到 C处，在 C处测得 ACB 60( 如图所示 ) ，那么 A，B之间的距离约为米（计算结果精确到0.1 米) 答案： 17 7. （ 2011 深圳市中考模拟五） 等腰三角形的腰长为2， 腰上的高为1， 则它的底角等于答案 : 15或 75三、解答题1、(2011 浙江杭州模拟14) 图 2 ABC图 1 ABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页如图，直角梯形ABCD中，ABDC，DAB=90，AD=2DC=4，AB=6动点M以每秒 1 个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动当点M到达点B时，两点同时停止运动过点M作直线lAD，与折线A-C-B的交点为Q点M运动的时间为t（秒）（1）当0.5t时，求线段QM的长；（2） 点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C 、P 、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由（3）若PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；答案：解：（ 1）由 RtAQMRtCAD2 分CDADAMQM即40.52QM，1QM 1 分（2）1t或53或 43 分（3）当 0t2 时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E由（ 1）可得CDADAMQM即QM=2tQE=4-2t2 分SPQC =21PCQE=tt221 分即tty22当t 2时，过点C作CFAB交AB于点F，交PQ于点H. 4(2)6PADADPtt由题意得，4BFABAFCFBF45CBF6QMMBtQMPA 四边形AMQP为矩形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页PQABCHPQ，HF=AP=6- t CH=AD=HF= t-2 1 分 SPQC =21PQCH=tt2211 分即y=tt221综上所述)20(22ttty或y=tt221 ( 2tBC ）， ACB=900，CD AB ，D为垂足， CM平分 ACB,且 BC 、AC是方程 x2-14x+48=0 的两个根，求AD 、MD的长。（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解：设 a、b、c、d 都是正数，满足a：b=c：d, 且 a 最大。求证：a+db+c（提示：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，构造图1）答案：解：（ 1）显然，方程x2-14x+48=0 的两根为6 和 8， 1 分又 ACBC AC=8，BC=6 由勾股定理AB=10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页ACD ABC ，得 AC2= ADAB AD=6.4 -2分CM平分 ACB AM ：MB=AC ：CB 解得， AM=740- 1 分MD=AD-AM=3524-1分（2）解：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c 由三角形面积公式，得AB CD=AC BC 2AB CD=2AC BC -1分又勾股定理，得AB2=AC2+BC2AB2+2AB CD =AC2+BC2+2AC BC(等式性质 ) AB2+2AB CD =（AC+BC ）2-1分AB2+2AB CD+CD2 （AC+BC ）2-2分(AB+CD) 2 （ AC+BC ）2又 AB 、CD 、AC 、 BC均大于零AB+CDAC+BC 即 a+db+c-1分3. （2011 年北京四中中考全真模拟17）如图，有两棵树，一棵高10 米，另一棵高4 米，两树相距8 米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？1、探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和（或差）的有关问题，这种方法称为面积法。请你运用面积法求解下列问题：在等腰三角形 ABC中， AB=AC,BD为腰 AC上的高。(1) 若 BD=h ，M时直线 BC上的任意一点，M到 AB 、AC的距离分别为12hh，。若 M在线段 BC上，请你结合图形证明：12h +h= h；图当点 M在 BC的延长线上时，12hh， h 之间的关系为 . yE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页（请直接写出结论，不必证明）（2）如图，在平面直角坐标系中有两条直线1l：y = 34x + 6 ；2l：y = -3x+6 若2l上的一点M到1l的距离是3，请你利用以上结论求解点M的坐标。（1）证明：连结AM ABCABMACMSSS, EM AB , MF AC, BDAC 12AC.h = 12AB.1h + 12AC.2h又 AB = AC h = 1h + 2h2 分1h - 2h = h 3 分（2）由题意可知，DE = DF =10, EDF是等腰三角形。4 分当点 M在线段 EF上时，依据（ 1）中结论，h = EO=6 ， M到 DF（即 x 轴）的距离也为3. 点 M的纵坐标为3，此时可求得M(1,3) 6 分当点 M在射线 FE上时，依据（ 1）中结论h = EO=6 ， M到 DF（即 x 轴）的距离也为9. 点 M的纵坐标为9，此时可求得M(-1,9) 8 分故点 M的坐标为 (1,3) 或(-1,9) 4、（ 2011 年江苏盐都中考模拟）)2010(30tan212解：原式 =1334（4 分）5（ 2011 年黄冈中考调研六）( 满分 14 分) 如图 ,以等边 OAB 的边 OB所在直线为x轴,点 O为坐标原点 , 使点 A在第一象限建立平面直角坐标系，其中OAB边长为 6 个单位， 点 P从 O点出发沿折线OAB向 B点以 3 单位 / 秒的速度向B点运动 ,点 Q从 O点出发以2单位 / 秒的速度沿折线OBA向 A点运动，两点同时出发，运动时间为t（单位：秒），当两点相遇时运动停止。yxEDOF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页点 A坐标为 _，P、Q两点相遇时交点的坐标为_; 当t=2 时，SOPQ_; 当t=3 时，OPQS_; 设 OPQ 的面积为S，试求S关于t的函数关系式 ; 当 OPQ的面积最大时，试求在y 轴上能否找一点M ，使得以M 、P、Q为顶点的三角形是 Rt，若能找到请求出M点的坐标，若不能找到请简单说明理由。答案(1) A点坐标为3,33、交点坐标为（27 3(,3)55(2) 当 t=2 时，SOPQ6 3；当 t=3 时，SOPQ932(3)2233 (02)2336 3 (2)215327 3(3)2ttSttttt 318 5(4) 对 （3） 中的分段函数进行计算后得知当t=2 ，S有最大值， 此时 P与 A重合，OP=6 ，OQ=4 ，过 P作 PC OB于 C点，计算得OC=3 ，AC=3 3，CQ=1 ，PQ=2 7如图，过P作 PM PQ交 y 轴于 M点，过 M作 MN AC于 N，则 MN=OC=3，易得 RtPMN QPC ，有MNPNPCCQ即313 3PN，得 PN=33，MO=NC=833故 M点坐标为8(0,3)3过 Q作 MQ PQ交 y 轴于 M点，通过 MOQ QCP ，求得 M坐标为4(0,3)9以 PQ为直径作 D，则 D半径 r 为7，再x y O A B x y O A B x y O A B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页过 P作 PE y 轴于 E点，过 D作 DFy 轴于 F 点，由梯形中位线求得DF=72，显然 r DF ，故 D与 y 同无交点，那么此时在y 轴上无 M点使得 MPQ 为直角三角形. 综上所述，满足要求的M点8(0,3)3或4(0,3)96. (2011 浙江省杭州市 8 模) （本题满分8 分）某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”。小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心（即图中的C 处）固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上作些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去。小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O，过点 O 的木杆 CD 长为 260, OA、OB 为圆弧的半径长为90 （作为木杆的支架），且OA、 OB 关于 CD 对称，弧AB 的长为 30。当木杆CD 向右摆动使点B 落在地面上（即圆弧与直线l 相切于点B）时，木杆的顶端点D 到直线 l 的距离DF是多少？（第 6 题）解：由弧 AB 的长可得，AOB60，从而 BOE COB30，（ 2 分）OB90cm，OE360cm，（ 2 分）DE170+360 cm ， （2 分）DF180+385 cm （2 分）O A B D l A C C D E B F O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页7. （ 2011 广东南塘二模）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟30m 的速度沿着仰角为60的方向上升，20 分钟后升到B处，这时气球上的人发现在A的正西方向俯角为45的 C处有一着火点，求气球的升空点A与着火点 C的距离（结果保留根号）. 答案： 过 B作 BD CA于 D，则 AB 600m ，AD 300m ，BD CD 3003m ，CA 300(31)m。8. （2011 深圳市全真中考模拟一）ABC中， BC a，AC b，AB c若90C，如图 l ，根据勾股定理，则222abc。若 ABC不是直角三角形，如图2 和图 3，请你类比勾股定理，试猜想22ab与2c的关系，并证明你的结论图1CBA图2CBA图3CBA答案：解：若ABC是锐角三角形，则有222abc (1分) 若 ABC是钝角三角形，C为钝角，则有222abc。 (2分) 当 ABC是锐角三角形时，bacDACB证明：过点A作 ADBC，垂足为 D，设 CD为x，则有 BD ax（ 3分）根据勾股定理，得22222()bxADcaxB C A 东西4560精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页即222222bxcaaxx。2222abcax（5 分）0,0ax，20ax。222abc。（6 分）当 ABC是钝角三角形时，cabDABC证明：过 B作 BDAC ，交 AC的延长线于D。设 CD为x，则有222BDax（7 分）根据勾股定理，得2222()bxaxc即2222abbxc。（9 分）0,0bx，20bx，222abc。（10 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页