2022年湖城学校九年级数学上册二次根式全章教案 .pdf
名师精编精品教案湖城学校九年级数学上册教案第二十一章二次根式教材内容1本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式2本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章反比例正函数、第十八章勾股定理及其应用等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础教学目标1知识与技能（1）理解二次根式的概念（2）理解a（a 0）是一个非负数， （a）2=a（a 0） ，2a=a（a0） （3）掌握abab（a0，b0） ，ab=ab；ab=ab（ a0，b0） ，ab=ab（a 0，b0） （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减2过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的3情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页名师精编精品教案次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力教学重点1 二次根式a（a0） 的内涵a（a0） 是一个非负数；（a）2a （a0） ；2a=a（a0）?及其运用2二次根式乘除法的规定及其运用3最简二次根式的概念4二次根式的加减运算教学难点1对a（a0）是一个非负数的理解；对等式（a）2a（a0）及2a=a（a 0）的理解及应用2二次根式的乘法、除法的条件限制3利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式单元课时划分本单元教学时间约需6 课时，具体分配如下：211 二次根式1 课时212 二次根式的乘法2 课时213 二次根式的加减2 课时小结1 课时九年级数学上册教案备课人：杨贤课题：二次根式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页名师精编精品教案教学内容： 21.1 二次根式教学目标1理解二次根式的概念，并利用a（a0）的意义解答具体题目2提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题重点难点重点：形如a（a0）的式子叫做二次根式的概念；难点：利用“a（a 0） ”解决具体问题教学准备教师准备是否需要课件学生准备教学过程设计一、复习引入导语设计：在勾股定理和四边形两章中，已经用到过简单的二次根式运算，在本章中将系统地学习二次根式的运算。本课只学习二次根式的概念及其三个运算性质. 二、探究新知(一)定义及非负性活动 1、填空，完成课本思考1：65，S，2，5h活动 2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动 3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动 4、思考下列问题：9的运算结果是3，9 是不是二次根式？3 是不是？定义中为什么要加a0？若 a0 时，a表示什么？可不可能为负数？a(a0)是什么样的数呢？例 1、当 x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？2x，11x，32x练习： 1、课本思考2：当 x 是怎样的实数时，2x，3x有意义？1、若mx2，则 x 和 m 的取值范围是x_；m_. 2、已知053yx，求yx,的值各是多少？(二)两个运算性质活动 5、完成课本探究1 活动6、对2a中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变 . 练习：课本例2 活动 7、完成课本探究2 留白：（ 供 教 师 个 性化设计）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页名师精编精品教案活动 8、对2a中的运算顺序、 运算结果进行分析，归纳出： 一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(，2)32(；2、直角三角形的三边分别为a，b， c，其中 c 为斜边， 则式子2a-2c与式子2)(ca有什么关系？三、课堂训练完成课本中两个练习. 有时间可补充：1、mm1成立的条件是_. 2、mm1成立的条件是_. 四、小结归纳1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计习题 P5：1、2 P6：7、 8 附：板书设计一复习引入三. 课堂训练二探究新知四. 小结归纳(一)定义及非负性五. 作业设计(二)两个运算性质教后反思：留白：（供心得体会与反思）授课时间： _年_月_日九年级数学上册教案备课人：杨贤课题：21.2 二次根式的乘除精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页名师精编精品教案教学内容： 21.2 二次根式的乘除（第1 课时）教学目标知 识技 能1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算. 2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式. 过 程方 法1.经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根性质 . 2.通过例题分析和学生练习，达成目标1， 2，认识到乘法法则只是进行乘法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法 .情 感态 度培养学生观察、猜想的习惯和能力，勇于探索知识之间内在联系.重点难点重点：双向运用abba(a0，b 0)进行二次根式乘法运算.难点：被开方数的最优分解因数或因式的方法. 教学准备教师准备是否需要课件学生准备教学过程设计一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算。二、探究新知(一)二次根式乘法法则活动 1、 1.填空，完成课本探究1 2.用 1 中所发现的规律比较大小364436；2 36活动 2、给出二次根式的乘法法则活动 3、思考下列问题：公式中为什么要加a 0, b0？两个二次根式相乘其实就是不变，相乘cba（a0, b0，c0）= 练习：课本例1，在（ 1）（ 2）之后补充（3）aa4归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化. (二)积的算术平方根性质活动 4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质完成课本例2，在（ 1）（ 2）之间补充48归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号外. 例 3. 计算 : （1）714（2）10253；（ 3）xyx313分析：（ 1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外. （2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根号的数或式分别相乘，再留白：（ 供 教 师 个 性化设计）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页名师精编精品教案把这两个积相乘.，之后同（ 1） . 三、课堂训练完成课本练习 . 补充： 1.1112xxx成立，求x 的取值范围 . 2.化简：03xyx四、小结归纳1.二次根式乘法公式的双向运用；2.进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法. 五、作业设计必做习题21.2：P12：1、3（1） （2） 、4 补充作业：1计算 : (1)57；(2)2731；(3)155；(4)8423. 2.化简：(1)3227yx；(2)aba1832. 3.等边三角形的边长是3，求这个等边三角形的面积附：板书设计一复习引入二探究新知(一)二次根式乘法法则(二)积的算术平方根性质三课堂训练四小结归纳五作业设计教后反思：留白：（供心得体会与反思）授课时间： _年_月_日九年级数学上册教案备课人：杨贤课题：二次根式的乘除精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页名师精编精品教案教学内容： 21.2 二次根式的乘除（第2 课时）教学目标知 识技 能1.会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算. 2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式. 3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式过 程方 法1.经历观察、比较、习，达成目标1， 2，认识到除法法则只是进行除法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简.也可运用概括二次根式除法公式，通过公式的双向性得到商的算术平方根性质. 2.通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法. 情 感态 度类比二次根式的乘法进行知识与方法的迁移，获得新知，体验探索的乐趣. 重点难点重点：双向运用0,0 bababa进行二次根式除法运算. 难点：能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算教学准备教师准备是否需要课件学生准备教学过程设计一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除法运算. 二、探究新知(一)二次根式除法法则活动 1、 1.填空，完成课本探究1 2.用 1 中所发现的规律比较大小8282；5252活动 2、给出二次根式的除法法则活动 3、思考下列问题：公式中为什么要加a0, b0？两个二次根式相除其实就是不变，相除练习：课本例4，在（ 1）（ 2）之后补充（3）aa34归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化. (二)商的算术平方根性质活动 4.将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质完成课本例5 归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平方根分别化简. 例 6. 计算 : （1）53（2）2723；（ 3）a28分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不能含有分母，数必须是整数，利用分数的基本性质将分母变成完全平方数，开方后移到根号外；也可以留白：（ 供 教 师 个 性化设计）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页名师精编精品教案直接模仿分数的基本性质和公式aa2)(，)0,0(baabba，以去掉分母中的根号. （三）最简二次根式概念活动 5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到最简二次根式的概念. 分析概念： 1.被开方数不含分母的含义指- 因数是整数，因式是整式；2.被开方数中不能含开得尽方的因数是指-被开方数不能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是指- 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2，因此， 每一个因式的指数都是1. 完成课本例7 补充：化简2442yxyx注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和. 三、课堂训练完成课本练习 . 补充：1.1111xxxx成立，求x 的取值范围 . 2.找出下列根式中的最简二次根式3xx826x22yx1. 03.判断下列等式是否成立34916569522323212214四、小结归纳1.二次根式除法公式的双向运用；2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法. 3.最简二次根式概念五、作业设计必做：习题21.2 P12：2、3（3） （4） 、5、6、7 选做： P13：8、9、10 附：板书设计一复习引入三.课堂训练二探究新知四.小结归纳(一)二次根式除法法则五 .作业设计(二)商的算术平方根性（三）最简二次根式概念教后反思：留白：（供心得体会与反思）授课时间： _年_月_日九年级数学上册教案备课人：杨贤精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页名师精编精品教案课题：21.3 二次根式的加减教学内容： 21.3 二次根式的加减（第1 课时）教学目标知 识技 能1.知 道 在 有 理 数 范 围 内 成 立 的 运 算 律 在 实 数 范 围 内 仍 然 成 立 . 2.能 熟 练 将 二 次 根 式 化 简 成 最 简 二 次 根 式 . 3.会 运 用 二 次 根 式 加减法 法 则 进 行 二 次 根 式 的 加减运 算 . 过程方 法1.类比整式加减得到二次根式加减的方法，二者都是系数的加减运算. 2.在学习过程中体会有理数、整式、二次根式运算之间的联系，感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性. 重点难点重点：二次根式加减法运算方法难点：二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式教学准备教师准备是否需要课件学生准备教学过程设计一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根式的加减法运算. 二、探究新知(一)二次根式加减法法则活动 1、类比计算，说明理由 2a+3a；2322. 2a-3a；2322. 123；1812 412515思考：（ 1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？（2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什么？（3） 什么样的二次根式能够合并？（4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？活动 2、给出二次根式的加减法法则分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次根式，再逆用乘法分配律将被开方数相同的二次根式进行合并.被开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分. 练习：1课本例 1，之后补充（3）182（4）8212课本例 2，之后补充6812124分析说明：1中补充（ 3）结果为负，（4）含分数线，作为例1，例 2 的过渡。2中补充括号前是负号的. (二)二次根式加减的应用1.课本引例分析：这个实际问题的解决方法可能不同，还可以先估算两个正方形的边长，再把它们的和与木板的长比较. 2.课本例 3 留白：（ 供 教 师 个 性化设计）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页名师精编精品教案分析：利用勾股定理解决实际问题，运用二次根式的加减进行计算，计算的最后一步取近似值，使结果更精确. 三、课堂训练完成课本练习.补充：1.下列各组二次根式中，化简后被开方式相同的是（）A.2abab与B. 2222nmnm与C.nmm n11与D.29984343baba与2.二次根式的计算为什么先学乘除，后学加减？还有哪块知识也是如此？四、小结归纳1.进行二次根式加减运算的一般步骤. 2.二次根式的熟练化简. 3.二次根式加减的实际应用. 五、作业设计习题 21.3 P17：1、2 补充作业：计算 : （1）223；（ 2）27122；（3）2918；（ 4）xx2242；（5）3222xax；（ 6）23218；（7）108965475；（8）)272(43)32(21附：板书设计一复习引入三.课堂训练二探究新知四.小结归纳(一) 二次根式加减法法则1.进行二次根式加减运算的一般步骤. (二) 二次根式加减的应用2.二次根式的熟练化简 .3.二次根式加减的实际应用. 五.作业设计教后反思：留白：（供心得体会与反思）授课时间： _年_月_日九年级数学上册教案备课人：杨贤课题： 21.3 二次根式的加减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页名师精编精品教案教学内容：21.3 二次根式的加减 ( 第 2 课时 )教学目标知 识技 能在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算过 程方 法1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性. 2. 在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整式的运算的联系.情 感态 度培养学生的类比运用意识重点难点重点 : 混合运算的法则，运算律的合理使用难点 : 灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便教学准备教师准备是否需要课件学生准备教学过程设计一、复习引入导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加减运算，这节课来学习二次根式的混合运算. 二、探究新知(一)二次根式混合运算法则活动 1、类比计算，说明理由 1 (2a+3b)a；( 3322)6 2 (2a+3b)(a-b)；3262 3 (3ab-4a2 )a；3126思考：（ 1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？（2）二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是什么？（3）左边式子中的字母a、b 可以表示二次根式吗？（4）模仿整式的混合运算怎样进行二次根式的混合运算？活动 2、给出二次根式的混合运算的一般步骤. 分析法则：（ 1）进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）. （ 2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则仍然适用，整式、分式的运算法则仍然适用。（ 3）有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最关键的一步. 练习：1课本例 4，之后补充（3）27)64148(2课本例 5，之后补充2)5225(分析说明：1 中补充（ 3）是不能除尽（含分数线）的类型。2 中补充完全平方公式应用. 归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完全平方公式、平方差公式来简化运算. (二)二次根式混合运算的应用留白：（ 供 教 师 个 性化设计）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页名师精编精品教案1.若 x=12,则 x2+x+1= 2.已知23,23yx，求1yxxy;22622yxyx的值 . 3.如图，四边形ABCD 中， AB BC,ADAB,AB=1,BC=CD=2,求四边形ABCD 的面积. 三、课堂训练完成课本练习.补充：1.海伦秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a,b,c,设p=2cba, 则三角形的面积为S=cpbpapp公式运用：在ABC中， BC=4,AC=5,AB=6, 求ABC的面积。四、小结归纳1.进行二次根式混合运算的一般步骤. 2.二次根式混合运算时，仔细观察式子的特征，灵活运用运算法则、运算律、公式来简化运算 . 2.二次根式混合运算的应用. 五、作业设计必做：P18：4、6、7 选做：P18： 8、9 1.已知236.25，求45544555的近似值 . 2.如图 21.3-3 在平行四边形ABCD 中，得 DEAB,E 点在 AB 上， DE=AE=EB=a,求平行四边形ABCD 的周长 .附：板书设计二复习引入三.课堂训练二探究新知四.小结归纳(一)二次根式混合运算法则1.进行二次根式加减运算的一般步骤. (二)二次根式混合运算的应用2.二次根式的熟练化简 .3.二次根式加减的实际应用. 五.作业设计教后反思：留白：（供心得体会与反思）授课时间： _年_月_日九年级数学上册教案备课人：杨贤EDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页名师精编精品教案课题：第21 章小结教学内容：第21 章小结教学目标知 识技 能1.学生构建知识体系2. 通过解决典型的题目，抓住本章要点； 解决易出错的题目，找出错陷阱和错因. 3. 联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用. 过 程方 法1.从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力. 2.经历观察、思考、交流，熟练、灵活解题. 重点难点重点：深化理解二次根式的概念和性质，熟练进行二次根式的化简与运算难点：进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性教学准备教师准备是否需要课件学生准备教学过程设计一、复习引入导语设计：我们已经学习了二次根式的概念，性质和运算，这节课来复习并总结本章知识 . 二、复习提升(一)基础巩固解答下列各题，注意易让你犯错的陷阱1.若x54有意义，则x 的取值范围是. 2.下列各式是最简二次根式的是（）A.a8B.2aC.abD .3a3.下列二次根式中，和32是同类二次根式的是（）A.12B.50C.27D. 244.下列运算正确的是（）A.4141B.3232C.222D.2285.计算：1)2332(3； 212192213235； 435233523归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关知识，熟练进行二次根式化简与运算. 解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的发现. 1.若x54有意义，则x 的取值范围是. 2.下列各式中不是最简二次根式的是（）A.7B.5.0C.3D .153.下列二次根式中，和32不是同类二次根式的是（）A.8B.18C.28D. 984.下列计算正确的是（）A.228B.523C.332D.1235.计算： 16)123242(； 21212731362)32(； 46262)12(2归纳：此组题与上组题考察内容相同，但问法不同，更具技巧性. (二)综合运用1.当 m 时，mm534有意义 . 留白：（ 供 教 师 个 性化设计）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页名师精编精品教案2.能使33xxxx成立的 x 的取值范围是. 3.若12aa，则a的取值范围是. 4.若的值，则mbamba,021232是. 5.当a-3 时，化简22312aa的结果是. 6.整数x满足下列两个条件：1式子13x和x20都有意义2x的值是整数，则x的值是. 7.以下结论正确的是.（填序号即可）12a=a对一切实数a都成立2aa2对一切实数a都成立 3 式子a叫做二次根式 4 一个数的平方根和它的绝对值都是非负数8. 在实数范围内分解因式：2594x的结果是. 9.2223)32(的计算结果是. 10.已知,32,321yx求22xyyx的值 . 11.如图，有一艘船在点O 处测得一小岛上的电视塔A 在北偏西600 的方向上，前进20 海里到达 B 处，测得 A 在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？归纳：这组题是本章知识的深化运用，有一定的难度， 与实数， 有理式，勾股定理等知识综合运用. (三)构建知识体系三、小结归纳1.复习巩固二次根式知识，及于其他相关知识的联系. 2.进一步理解本章知识，熟练解决相关问题. 3.补充课本未明确给出的概念及相关题目，拓展知识与能力. 4.构建知识体系，纳入知识系统. 四、作业设计必做：复习题 21 P22：1-8 选做：P22：9-11附：板书设计教后反思：留白：（供心得体会与反思）授课时间： _年_月_日二次根式概念性质运算乘除运算加减运算混合运算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页
