2022年浙江省温州中学高一下学期期末数学试卷含解析 2.pdf

2015-2016 学年浙江省温州中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10 小题每小题4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A= 2，3，4，B= 2，4，6，8 ，C=（x，y）| x A， yB，且 logxyN*，则 C 中元素个数是（）A9 B8 C3 D4 2已知 ABC 的内角 A，B，C 满足 sin2A +sin（AB+C）=sin（ CAB）+，面积 S满足 1 S2，记 a，b，c 分别为 A，B，C 所对的边，在下列不等式一定成立的是（）Abc（b+c） 8 Bab（ a+b） 16C6 abc12 D12abc24 3若函数 f（x）=x2+ex（x0）与 g（ x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（）A （）B （）C （）D （）4函数 y=sin（2x+ ）的图象沿x 轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为（）A BC0 D5在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A，B 满足 | =| =?=2，则点集 P|=+，| |+| | 1， ， R所表示的区域的面积是（）ABCD6下列说法正确的是（）A存在 （ 0，） ，使 sin +cos =By=tanx 在其定义域内为增函数Cy=cos2x+sin（x）既有最大、最小值，又是偶函数Dy=sin| 2x+| 的最小正周期为7如图，半径为1 的半圆 O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l1，l2之间， l l1， l 与半圆相交于 F，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E，D 两点设弧的长为 x（0 x ） ，y=EB+BC+CD，若 l 从 l1平行移动到l2，则函数 y=f （x）的图象大致是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页ABCD8在如图所示的空间直角坐标系Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2） ， （ 2，2，0） ， （1，2，1） ， （2，2，2） ，给出的编号为 ， ， ， 的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A 和B 和C 和D 和 9设等差数列 an 满足：=1，公差 d（ 1，0） 若当且仅当n=9 时，数列 an的前 n 项和 Sn取得最大值，则首项a1取值范围是（）A （，）B （，）C，D，10已知二次函数f（x）=ax2+bx（| b| 2| a| ） ，定义 f1（x）=maxf（t）| 1tx1，f2（x）=min f（ t）| 1tx 1，其中 max a，b 表示 a，b 中的较大者，mina，b 表示 a，b 中的较小者，下列命题正确的是（）A若 f1（ 1） =f1（1） ，则 f（ 1） f（1）B若 f2（ 1）=f2（1） ，则 f（ 1） f（1）C若 f2（ 1）=f1（ 1） ，则 f1（ 1） f1（1）D若 f2（1）=f1（ 1） ，则 f2（ 1）f2（1）二、填空题：本大题共7 小题，每小题3 分，共 21 分11设 为第二象限角，若，则 sin +cos =12若函数f（x） =| x+1|+| 2x+a| 的最小值为3，则实数a的值为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页13若 x，y 满足条件，当且仅当x=y=3 时，z=axy 取最小值，则实数a的取值范围是14某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有 N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40 分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15 分钟后恰好不会出现排队现象根据以上信息，若要求8 分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有个15在正项等比数列an 中，a6+a7=3，则满足a1+a2+ +ana1a2 an的最大正整数n 的值为16已知菱形ABCD 的边长为2，BAD=120 ，点 E、F 分别在边BC、DC 上，=，=若=1，?=，则 + =17定义在非零实数集上的函数f（x）满足 f（xy）=f（ x）+f（y） ，且 f（x）在（ 0，+）上单调递增，则不等式的解集为三、解答题：本大题共4 小题，共39 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤18在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，且 a2+b2+ab=c2（1）求 C；（2）设 cosAcosB=，=，求 tan的值19已知圆O：x2+y2=4 和点 M（1，a） ，（1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若，过点 M 的圆的两条弦ACBD 互相垂直，求AC +BD 的最大值20已知数列 an满足 a1=1，| an+1an| =pn，nN*（）若 an是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；（）若p=，且 a2n1是递增数列， a2n 是递减数列，求数列 an的通项公式21设 a 为实数，设函数的最大值为g（a） （）设t=，求 t 的取值范围，并把f（x）表示为t 的函数 m（ t） ；（）求g（a） ；（）试求满足的所有实数a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页2015-2016 学年浙江省温州中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10 小题每小题4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合A= 2，3，4，B= 2，4，6，8 ，C=（x，y）| x A， yB，且 logxyN*，则 C 中元素个数是（）A9 B8 C3 D4 【考点】 对数的运算性质【分析】 由对数的运算性质，分别讨论x 取 2，3，4 时，能使 logxyN*的集合 B 中的 y 值，得到构成点（ x，y）的个数【解答】 解： logxyN*，x=2 时， y=2，或 4，或 8；x=4 时， y=4C 中共有（ 2，2） ， （2，4） ， （2，8） ， （4， 4）四个点即 C 中元素个数是4故选： D 2已知ABC的内角A，B，C满足sin2A+sin（AB+C）=sin（CAB）+，面积S满足 1 S2，记 a，b，c 分别为 A，B，C 所对的边，在下列不等式一定成立的是（）Abc（b+c） 8 Bab（ a+b） 16C6 abc12 D12abc24 【考点】 正弦定理的应用；二倍角的正弦【分析】 根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质进行证明即可得到结论【解答】 解： ABC 的内角 A，B，C 满足 sin2A+sin（AB+C）=sin（ CAB）+，sin2A +sin2B=sin2C+，sin2A+sin2B+sin2C=，2sinAcosA +2sin（B+C）cos（BC）=，2sinA（cos（BC） cos（ B+C） ）=，化为 2sinA 2sinBsin（ C） =，sinAsinBsinC=设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：=2R，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页由 S=，及正弦定理得sinAsinBsinC=，即 R2=4S，面积 S满足 1S2，4R28，即 2R，由 sinAsinBsinC=可得，显然选项C， D 不一定正确，Abc（b+c） abc8，即 bc（ b+c） 8，正确，Bab（a+b） abc8，即 ab（a+b） 8，但 ab（a+b） 16，不一定正确，故选： A 3若函数 f（x）=x2+ex（x0）与 g（ x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y 轴对称的点，则 a 的取值范围是（）A （）B （）C （）D （）【考点】 函数的图象【分析】 由题意可得ex0ln（ x0+a）=0 有负根，函数h（x）=exln（ x+a）为增函数，由此能求出a 的取值范围【解答】 解：由题意可得：存在 x0（ ，0） ，满足 x02+ex0=（ x0）2+ln（ x0+a） ，即 ex0ln（ x0+a）=0 有负根，当 x 趋近于负无穷大时，ex0ln（ x0+a）也趋近于负无穷大，且函数 h（x）=exln（ x+a）为增函数，h（0）=e0lna0，lnaln，a，a 的取值范围是（，） ，故选： A 4函数 y=sin（2x+ ）的图象沿x 轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为（）A BC0 D【考点】 函数 y=Asin （ x+ ）的图象变换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页【分析】 利用函数y=Asin （x+ ）的图象变换可得函数y=sin（2x+ ）的图象沿x 轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案【解答】 解：令 y=f（x）=sin（2x+ ） ，则 f（x+）=sin 2（x+）+ =sin（2x+ ） ，f（x+）为偶函数，+ =k +， =k +，kZ，当 k=0 时， =故 的一个可能的值为故选 B5在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A，B 满足 | =| =?=2，则点集P|=+，| |+| | 1， ， R所表示的区域的面积是（）ABCD【考点】 平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模【分析】 由两定点 A，B 满足=2，说明 O，A，B 三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用 A，B 的坐标及 ，表示，把不等式| |+| | 1 去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积【解答】 解：由两定点 A， B 满足=2，=， 则|2= （）2=2?+=4，则 | =2，说明 O，A，B 三点构成边长为2 的等边三角形不妨设 A（） ，B（） 再设 P（x，y） 由，得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页所以，解得 由| |+| | 1所以 等价于或或或可行域如图中矩形ABCD 及其内部区域，则区域面积为故选 D6下列说法正确的是（）A存在 （ 0，） ，使 sin +cos =By=tanx 在其定义域内为增函数Cy=cos2x+sin（x）既有最大、最小值，又是偶函数Dy=sin| 2x+| 的最小正周期为【考点】 命题的真假判断与应用【分析】 用分析法可得A 不正确通过举反例来可得B 不正确化简函数的解析式为2（cosx+）2，可得 C 正确 y=sin| 2x+| 不是周期函数，故D 不正确精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页【解答】 解：要使使sin +cos =，只要1+2sin cos =，即sin cos =，故 不可能满足 （ 0，） ，故 A 不正确由于当 x=0 时， tanx=0，当x=时，也有tanx=0， 0，故 y=tanx 在其定义域内不是增函数，故 B 不正确由于 y=cos2x+sin（x）=2cos2x1+cosx=2（cosx+）2，由于 cosx 为偶函数，故函数 y 为偶函数当 cosx=1 时， y 取得最大值为，当 cosx=时， y 取得最小值为，故 C 正确由于 y=sin| 2x+| 不是周期函数，故D 不正确，故选： C7如图，半径为1 的半圆 O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l1，l2之间， l l1， l 与半圆相交于 F，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E，D 两点设弧的长为 x（0 x ） ，y=EB+BC+CD，若 l 从 l1平行移动到l2，则函数 y=f （x）的图象大致是（）ABCD【考点】 函数的图象【分析】 由题意可知：随着l 从 l1平行移动到l2，y=EB +BC+CD 越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案【解答】 解：当 x=0 时， y=EB +BC+CD=BC=；当 x=时，此时y=AB +BC+CA=3 =2；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页当 x=时， FOG=，三角形OFG 为正三角形，此时AM=OH=，在正 AED 中， AE=ED=DA=1 ，y=EB +BC+CD=AB +BC+CA （ AE+AD ）=321=22如图又当 x=时，图中y0=+（2）=22故当 x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D 正确故选 D8在如图所示的空间直角坐标系Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2） ， （ 2，2，0） ， （1，2，1） ， （2，2，2） ，给出的编号为 ， ， ， 的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A 和B 和C 和D 和 【考点】 简单空间图形的三视图【分析】 在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论【解答】 解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为，故选： D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页9设等差数列 an 满足：=1，公差 d（ 1，0） 若当且仅当n=9 时，数列 an的前 n 项和 Sn取得最大值，则首项a1取值范围是（）A （，）B （，）C， D，【考点】 等差数列的通项公式【分析】 利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围【解答】 解：由=1，得：，即，由积化和差公式得：，整理得：，sin（3d）=1d（ 1，0） ， 3d（ 3，0） ，则 3d=，d=由=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页对称轴方程为n=，由题意当且仅当n=9 时，数列 an的前 n 项和 Sn取得最大值，解得：首项 a1的取值范围是故选： B10已知二次函数f（x）=ax2+bx（| b| 2| a| ） ，定义 f1（x）=maxf（t）| 1tx1，f2（x）=min f（ t）| 1tx 1，其中 max a，b 表示 a，b 中的较大者，mina，b 表示 a，b 中的较小者，下列命题正确的是（）A若 f1（ 1） =f1（1） ，则 f（ 1） f（1）B若 f2（ 1）=f2（1） ，则 f（ 1） f（1）C若 f2（ 1）=f1（ 1） ，则 f1（ 1） f1（1）D若 f2（1）=f1（ 1） ，则 f2（ 1）f2（1）【考点】 二次函数的性质【分析】 由新定义可知f1（ 1）=f2（ 1）=f（ 1） ，f（ x）在 1，1 上的最大值为f1（1） ，最小值为f2（ 1） ，即可判断A，B， D 错误， C 正确【解答】 解：对于 A，若 f1（ 1）=f1（ 1） ，则 f（ 1）为 f（x）在 1，1上的最大值，f（ 1） f（ 1）或 f（ 1）=f（1） 故 A 错误；对于 B，若 f2（ 1）=f2（1） ，则 f（ 1）是 f（x）在 1，1 上的最小值，f（ 1） f（ 1）或 f（ 1）=f（1） ，故 B 错误；对于 C，若 f2（1）=f1（ 1） ，则 f（ 1）为 f（x）在 1，1 上的最小值，而 f1（ 1） =f（ 1） ，f1（1）表示 f（x）在 1，1 上的最大值，f1（ 1） f1（1） 故 C 正确；对于 D，若 f2（1）=f1（ 1） ，由新定义可得f1（ 1） f2（ 1） ，则 f2（1） f2（ 1） ，故 D 错误故选： C二、填空题：本大题共7 小题，每小题3 分，共 21 分11设 为第二象限角，若，则 sin +cos =【考点】 两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系【分析】 已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tan的值，再根据为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin与 cos的值，即可求出 sin +cos的值【解答】 解： tan（ +）=，tan =，而 cos2 =，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页为第二象限角，cos =，sin =，则 sin +cos =故答案为：12若函数f（x） =| x+1|+| 2x+a| 的最小值为3，则实数a的值为4 或 8【考点】 绝对值三角不等式【分析】 本题可分类讨论，将原函数转化为分段函数，现通过其最小值，求出参数a 的值【解答】 解： （1）当，即 a2 时，f（x）在区间（ ，）上单调递减，在区间 ，+）上单调递增，当时取最小值函数 f（ x）=| x+1|+| 2x+a| 的最小值为3，a=4（2）当，即 a 2 时，f（x）在区间（ ，）上单调递减，在区间 ，+）上单调递增，当时取最小值函数 f（ x）=| x+1|+| 2x+a| 的最小值为3，a=8（3）当，即 a=2 时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页f（x）=3| x+1| 0，与题意不符综上， a=4 或 a=8故答案为： a=4 或 a=813若 x，y 满足条件，当且仅当x=y=3 时，z=axy 取最小值，则实数a的取值范围是（，）【考点】 简单线性规划【分析】 先画出可行域，根据题中条件目标函数z=axy （其中 a0） ，在（ 3，3）处取得最大值得到目标函数所在位置，求出其斜率满足的条件即可求出a 的取值范围【解答】 解：条件对应的平面区域如图：因为目标函数z=axy （其中 a0） ，仅在（ 3，3）处取得最小值，令 z=0 得 axy=0，所以直线axy=0 的极限位置应如图所示，故其斜率k=a 需满足? a故答案为：（，） 14某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有 N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40 分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15 分钟后恰好不会出现排队现象根据以上信息，若要求8 分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有4个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页【考点】 进行简单的合情推理【分析】 根据题意，构造关于M，N 的方程组，表示M，N，K 的关系，进而由8 分钟后不出现排队现象，可得不等式，由此可得结论【解答】 解：设要同时开放x 个窗口才能满足要求，则，由（ 1） 、 （2）得 K=2.5M ，N=60M ，代入（ 3）得 60M+8M82.5Mx ，解得： x3.4，故至少同时开放4 个窗口才能满足要求故答案为： 4 15在正项等比数列an 中，a6+a7=3，则满足a1+a2+ +ana1a2 an的最大正整数n 的值为12【考点】 等比数列的前n 项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和【分析】 设正项等比数列an 首项为 a1，公比为 q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+ +an及 a1a2 an的表达式，化简可得关于n 的不等式，解之可得 n 的范围，取上限的整数部分即可得答案【解答】 解：设正项等比数列 an首项为 a1，公比为q，由题意可得，解之可得： a1=，q=2，故其通项公式为an=2n6记 Tn=a1+a2+ +an=，Sn=a1a2 an=2524 2n6=254+ +n6=由题意可得Tn Sn，即，化简得： 2n1，即 2n1，因此只须n，即 n213n+100 解得n，由于 n 为正整数，因此n 最大为的整数部分，也就是12精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页故答案为： 12 16已知菱形ABCD 的边长为2，BAD=120 ，点 E、F 分别在边BC、DC 上，=，=若=1，?=，则 + =【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义【分析】 利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，由?=1， 求得 4 +4 2=3 ； 再由?=， 求得 += 结合 求得 +的值【解答】 解：由题意可得若?=（+）?（+） ，=?+?+?+?=2 2cos120 +?+?+?=2+4 +4 +22cos120=4 +4 22=1，4 +4 2=3 ?=?（）=?=（1 ）?（1 ）=（1 ）?（1 ）=（1 ） （1 ） 22cos120 =（ 1 +） （ 2）=，即 += 由求得 + =，故答案为：17定义在非零实数集上的函数f（x）满足 f（xy）=f（ x）+f（y） ，且 f（x）在（ 0，+）上单调递增，则不等式的解集为 1，0）（ 0，2 3，5）（5，6 【考点】 抽象函数及其应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页【分析】 首先判断出函数f（x）定义在非零实数集上的偶函数，再将抽象不等式利用函数单调性转化成具体不等式1x（x5） 1 去解【解答】 解：在 f（xy）=f（ x）+f（y）中，令 x=y=1 ，得 f（1） =2f（1） ， f（1）=0，令 x=y= 1，得 f（1）=2f（ 1） ，f（ 1）=0 令 y=1，得 f（ x）=f （x） +f（ 1）=f （x） ，函数 f（x）定义在非零实数集上的偶函数不等式可以化为fx（x5） f（1 ） ， 1x（x5） 1 ，6x（x 5） 6且 x0，x50在坐标系内，如图函数y=x （x5）图象与y=6，y=6 两直线由图可得x 1，0）（ 0， 2 3，5）（ 5，6故答案为： 1， 0）（ 0，2 3，5）（ 5， 6三、解答题：本大题共4 小题，共39 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤18在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，且 a2+b2+ab=c2（1）求 C；（2）设 cosAcosB=，=，求 tan的值【考点】 余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数【分析】 （1）利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入求出cosC 的值，由 C 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数；（2）已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切，利用多项式乘多项式法则计算，由 A+B 的度数求出sin（A+B）的值，进而求出cos（A+B）的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+B） ，将 cosAcosB的值代入求出sinAsinB 的值， 将各自的值代入得到tan的方程，求出方程的解即可得到tan的值【解答】 解： （1） a2+b2+ab=c2，即 a2+b2c2=ab，由余弦定理得：cosC=，又 C 为三角形的内角，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页则 C=；（2）由题意=，（ cosAtan sinA） （cosBtan sinB）=，即 tan2 sinAsinB tan （sinAcosB+cosAsinB）+cosAcosB=tan2 sinAsinB tan sin（A+B）+cosAcosB=，C=，A+B=，cosAcosB=，sin （A+B） =， cos （A+B） =cosAcosB sinAsinB=sinAsinB=， 即 sinAsinB=，tan2 tan +=，即 tan2 5tan +4=0，解得： tan =1 或 tan =419已知圆O：x2+y2=4 和点 M（1，a） ，（1）若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a的值，并求出切线方程；（2）若，过点 M 的圆的两条弦ACBD 互相垂直，求AC +BD 的最大值【考点】 圆的切线方程；直线和圆的方程的应用【分析】 本题考查的是圆的切线方程，即直线与圆方程的应用（1）要求过点M 的切线方程，关键是求出切点坐标，由M 点也在圆上，故满足圆的方程，则易求M 点坐标，然后代入圆的切线方程，整理即可得到答案（2）由于直线AC 、BD 均过 M 点，故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程，但由于点斜式方程不能表示斜率不存在的情况，故要先讨论斜率不存在和斜率为0 的情况，然后利用弦长公式，及基本不等式进行求解【解答】 解： （1）由条件知点M 在圆 O 上，1+a2=4 a=当 a=时，点 M 为（ 1，） ，kOM=，此时切线方程为：y=（x 1）即： x+y4=0 当 a=时，点 M 为（ 1，） ，kOM=，此时切线方程为：y+=（x1）即： xy4=0 所求的切线方程为：x+y4=0 或即： xy4=0 （2）当 AC 的斜率为0 或不存在时，可求得AC+BD=2 （+）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页当 AC 的斜率存在且不为0 时，设直线 AC 的方程为y=k（ x1） ，直线 BD 的方程为y=（ x1） ，由弦长公式l=2可得： AC=2BD=2AC2+BD2=4（+）=20 （ AC+BD）2=AC2+BD2+2ACBD2（ AC2+BD2）=40 故 AC+BD 2即 AC+BD 的最大值为220已知数列 an满足 a1=1，| an+1an| =pn，nN*（）若 an是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；（）若p=，且 a2n1是递增数列， a2n 是递减数列，求数列 an的通项公式【考点】 数列的求和；数列递推式【分析】（）根据条件去掉式子的绝对值，分别令n=1，2 代入求出a2和 a3，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“ an是递增数列 ” 对求出的 p 的值取舍；（）根据数列的单调性和式子“ | an+1an| =pn” 、不等式的可加性，求出和 a2n+1a2n=，再对数列 an 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列an 的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来【解答】 解： （）数列an是递增数列，an+1an0，则| an+1an| =pn化为： an+1an=pn，分别令 n=1，2 可得， a2a1=p，即 a2=1+p，a1， 2a2，3a3成等差数列，4a2=a1+3a3，即 4（1+p）=1+3（p2+p+1） ，化简得 3p2p=0，解得或 0，当 p=0 时，数列an为常数数列，不符合数列 an 是递增数列，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页；（2）由题意可得，| an+1 an| =，则| a2n a2n1| =，| a2n+2a2n+1| =，数列 a2n1是递增数列，且 a2n 是递减数列，a2n+1a2n1 0，且 a2n+2a2n0，则（ a2n+2a2n） 0，两不等式相加得a2n+1a2n1（ a2n+2a2n） 0，即 a2n+1a2n+2a2n1a2n，又 | a2na2n1| =| a2n+2 a2n+1| =，a2na2n1 0，即，同理可得： a2n+3 a2n+2a2n+1a2n，即 | a2n+3a2n+2| | a2n+1a2n| ，则 a2n+1a2n=当数列 an 的项数为偶数时，令n=2m（mN*） ， ，这 2m1 个等式相加可得，=，则；当数列 an 的项数为奇数时，令n=2m+1（mN*）， ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页这 2m 个等式相加可得， +=，则，且当 m=0 时 a1=1 符合，故，综上得，21设 a 为实数，设函数的最大值为g（a） （）设t=，求 t 的取值范围，并把f（x）表示为t 的函数 m（ t） ；（）求g（a） ；（）试求满足的所有实数a【考点】 函数最值的应用【分析】（I）先求定义域，再求值域由转化（II ）求 g（ a）即求函数的最大值严格按照二次函数求最值的方法进行（III ）要求满足的所有实数a，则必须应用g（a）的解析式，它是分段函数，必须分情况选择解析式进行求解【解答】 解： （I）要使有 t 意义，必须1+x0 且 1x0，即 1x1，t0t 的取值范围是由 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页m（t）=a（）+t=（II ）由题意知g（a）即为函数的最大值注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论（1）当 a0 时，函数y=m（t） ，的图象是开口向上的抛物线的一段，由 0 知 m（t）在上单调递增，g（a）=m（ 2）=a+2 （2）当 a=0 时， m（t）=t，g（a）=2（3）当 a0 时，函数y=m（t） ，的图象是开口向下的抛物线的一段，若，即则若，即则若，即则 g（a）=m（ 2）=a+2 综上有（III ）情形 1：当 a 2 时，此时，由，与 a 2 矛盾情形 2：当，时，此时，解得，与矛盾精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 23 页情形 3：当，时，此时所以，情形 4：当时，此时，解得矛盾情形 5：当时，此时 g（ a）=a+2，由解得矛盾情形 6：当 a0 时，此时g（a）=a+2，由，由 a0 得 a=1综上知，满足的所有实数a 为：，或 a=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 23 页2016 年 8 月 25 日精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页