2022年海淀区2018届高三期末数学试题及答案 2.pdf

海淀区高三年级第一学期期末练习数学文科本试卷共 4 页， 150 分。 考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分选择题，共40 分一、选择题共8 小题，每题5 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1 已知i是虚数单位 ,假设i(i)1 ia，则实数a的值为(A) 1B0C-1D -22 已知,a bR，假设ab，则(A) 2abB2abbC1122abD33ab3 执行如下图的程序框图，输出的k值为A4 B 5 (C) 6 D7开始a = 1 , k = 1 a = 2ak = k +1 结束a 10 输出 k否是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页4 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5 个同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位 :分，每道题5 分，共 8 道题 ) :甲班乙班52x530y05 0040已知两组数据的平均数相等，则的值分别为（A）0，0B 0，5C 5， 0D 5，55 已知直线0 xym与圆22:1Oxy相交于,A B两点，且OAB为正三角形，则实数m的值为A23B62C23或23-D26或266 设aR,则“1a”是“直线10axy与直线10 xay平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7 在ABC中，1ABAC，D是AC边的中点，则BD CD的取值范围是, x y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页(A) 3 1(,)4 4(B) 1(,)4C3(,+)4D1 3()4 4，8已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为 2，,M N分别是棱11、BCC D的中点，点P在平面1111A B C D内，点Q在线段1A N上 . 假设5PM，则PQ长度的最小值为(A) 21B2C3 515D3 55第二部分非选择题，共110分二、填空题共6 小题，每题5 分，共 30 分 。9已知双曲线221axy的一条渐近线方程为xy，则实数a的值为. 10假设变量,x y满足约束条件0,10,220,yxyxy则zxy的最大值是.11在ABC中，1a，7b，且ABC的面积为32，则c.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页12 某三棱锥的三视图如下图，该三棱锥四个面的面积中最大的值是.13函数2 ,0,( )(2),0 xxf xxx x的最大值为；假设函数( )fx的图象与直线(1)yk x有且只有一个公共点，则实数k的取值范围是.14某次高三英语听力考试中有5 道选择题，每题1 分，每道题在A，B，C 三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲C C A B B 4 乙C C B B C 3 丙B C C B B 2 则甲同学答错的题目的题号是；此正确的选项是. 三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。15 本小题 13 分已知等差数列na的前n项和为nS ，且52a，73aS求数列na的通项公式；1222222主视图左视图俯视图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页假设nanb2，求数列nnba的前n项和16 本小题 13 分已知函数( )cos2tan()4f xxx. 求函数( )f x的定义域；求函数( )f x的值域 . 17 本小题 13 分据中国日报网报道，2017 年 11 月 13 日，TOP500 发布了最新一期全球超级电脑500 强榜单， 中国超算在前五名中占据两席. 其中，超算全球第一“ 神威 太湖之光 ” 完全使用了国产处理器 . 为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试，结果如下： 数值越小，速度越快，单位是MIPS测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3691041121746614品牌B2854258155121021设ia、ib分别表示第i次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记iiiXab1,2,.,12i求数据12312,.XXXX的众数；从满足4iX的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果的概率；经过了解，前6 次测试是打开含有文字与表格的文件，后6 根据表中数，运用所学精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价. 18 本小题 14 分如图，三棱柱111CBAABC中，侧面11AABB底面ABC，ABAC，21AAABAC，06011BAA，FE,分别为棱BCBA,11的中点 .求证：AEAC；求三棱柱111CBAABC的体积； 在直线1AA上是否存在一点P，使得/CP平面AEF. 假设存在， 求出AP的长； 假设不存在，说明理由.19. 本小题14 分已知椭圆22:13xyCmm，直线:20lxy与椭圆C相交于P，Q两点，与x轴交于点 B，点,P Q与点B不重合 .求椭圆C的离心率；当2OPQS时，求椭圆C的方程；过原点O作直线l的垂线，垂足为.N假设PNBQ，求的值 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页20. 本小题13 分已知函数2( )(1)exfxxax.求曲线( )yf x在点(0,(0)f处的切线方程；求证： “0a” 是 “ 函数( )f x有且只有一个零点” 的充分不必要条件.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学文科一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.题号12345678选项AD BBDCAC二、填空题 :本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.(有两空的小题第一空3 分)9. 110.211.2或 2 3 答对一个给 3 分12.3213. 1 0,)14. 5 A三、解答题 : 本大题共 6 小题，共 80 分.15 此题共 13 分解： 设等差数列na的首项为1a ，公差为 d .dadada6335111，解得31a，2d-3 分由dnaan)(11，则12nan-5 分因此，通项公式为12nan.由可知：12nan，则122nnb-6 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页422121121nnnnbb)(因为3128b，所以nb是首项为 8，公比为4q的等比数列 . -7 分记nnba的前n项和为nT，则)()()(nnnbababaT2211)()(nnbbbaaa2121qqbaannn11211)()(-11 分314822)(nnn-13 分16此题共13分解： 24kx，Zk-2 分解得：43kx，Zk所以，函数的定义域为Zkkxx,|43-4 分注：不写Zk扣 1 分，只扣一次； 结果有一个写了集合符号，不扣分，都没写集合符号，统一扣1 分.)tan(cos)(42xxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页xxxxtantan)sin(cos1122-8 分xxxxxxxxsincoscossin)sin)(cossin(cos-9 分2)sin(cosxx12xxcossin-10 分12xsin-11 分因为3,4xkkZ，所以32,2xkkZ，所以sin 21x，所以，函数( )f x的值域为,(02. - -13 分注：结果写成 2,0扣两分 .17. 此题共 13 分解： 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11X12X124624421647所以iX等于 1有 2 次，iX=2有 3 次，iX=4有 4 次，iX=6 有 2 次，iX=7有 1次，则数据12312,.XXXX的众数为 4 -5 分设事件 D=“品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果” .-精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页-6 分满足4iX的测试共有4 次，其中品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果有 2 次即测试 3 和测试 7，不妨用 M，N 表示.品牌A的测试结果小于品牌B的测试结果有 2 次即测试 6 和测试 11，不妨用 P，Q 表示. 从中随机抽取两次，共有 MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ 六种情况，其中事件 D 发生，指的是 MP,MQ,NP,NQ四种情况 .故42()63P D.-10 分 此题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分. 给出明确结论， 1 分，结合已有数据，能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由， 2 分. 标准 1: 分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述标准 2：会用测试结果的平均数进行阐述-13 分标准 1: 会用前 6 次测试品牌 A、 品牌 B的测试结果的平均值与后6 次测试品牌 A、品牌 B的测试结果的平均值进行阐述这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度标准 2: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B的测试结果的方差与后6 次精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页测试品牌 A、品牌 B的测试结果的方差进行阐述这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动标准 3：会用品牌 A前 6 次测试结果的平均值、后6 次测试结果的平均值与品牌 B前 6 次测试结果的平均值、 后 6 次测试结果的平均值进行阐述 品牌A前 6 次测试结果的平均值大于品牌B前 6 次测试结果的平均值， 品牌 A后 6 次测试结果的平均值小于品牌B后 6 次测试结果的平均值， 品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌 A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌 B标准 4：会用品牌 A前 6 次测试结果的方差、后6 次测试结果的方差与品牌 B前 6 次测试结果的方差、 后 6 次测试结果的方差进行阐述 品牌 A前 6 次测试结果的方差大于品牌B前 6 次测试结果的方差，品牌A 后 6 次测试结果的方差小于品牌 B 后 6 次测试结果的方差， 品牌 A打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌 B，品牌 A打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌B标准 5：会用品牌 A这 12 次测试结果的平均值与品牌B这 12 次测试结果的平均值进行阐述品牌A 这 12 次测试结果的平均值小于品牌B 这 12 次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于B标准 6：会用品牌 A这 12 次测试结果的方差与品牌B这 12 次测试结果的方差进行阐述品牌A这 12 次测试结果的方差小于品牌B 这 12 次测试结果的方差，品牌 A 打开文件速度的波动小于B标准 7：会用前 6 次测试中，品牌 A测试结果大于小于品牌B测试结果的次数、后 6 次测试中，品牌 A测试结果大于小于品牌B测试结果的次数进行阐述前 6 次测试结果中，品牌A小于品牌 B的有 2 次，占 1/3. 后 6 次测试中，品牌 A小于品牌 B的有 4 次，占 2/3. 故品牌 A打开含有文字和表格的文件的速度慢于 B，品牌 A打开含有文字和图片的文件的速度快于B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页标准 8：会用这 12 次测试中，品牌 A 测试结果大于小于品牌B测试结果的次数进行阐述这12 次测试结果中，品牌A小于品牌 B的有 6 次，占1/2. 故品牌 A和品牌 B打开文件的速度相当参考数据期望前 6 次后 6 次12 次品牌 A品牌 B品牌 A 与品牌 B方差前 6 次后 6 次12 次品牌 A12.30 27.37 23.15 品牌 B5.07 31.77 32.08 品牌 A 与品牌 B8.27 27.97 18. 此题共 14 分证明：三棱柱111CBAABC中，侧面11AABB底面ABC，ABAC，又因为侧面11ABB A底面ABABC，AC底面ABC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页所以AC平面11AABB，-3 分又因为 AE平面11AABB，所以AEAC；-4 分解：连接1AB,因为三棱柱111CBAABC中，所以ABBA11.因为12ABAA，所以1112A BAA.又因为06011BAA，所以11BAAE是棱11BA的中点，所以11BAAE，3AE.又因为ACAE，ACCA/11，所以11CAAE.因为11111ACABA ，1111,BACA底面111CBA，所以AE底面111CBA.-6 分所以三棱柱111CBAABC的体积为1111111112232 322A B CVSAEA BACAE?；8分注：证明高得 1 分，计算高的数值为3 得 1 分，面积值为 2 得 1 分，体积值为2 3 得 1 分在直线1AA 上存在点P，使得/CP平面AEF. -9 分证明如下：连接 BE并延长，与1AA的延长线相交，设交点为P.连接 CP .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页因为11/ /BBAA，故1111EAA PEPEBBBEB由于E为棱11A B的中点，所以11EAEB， 故有PEEB又F为棱BC的中点，连接 EF ，故EF为BCP的中位线，所以/ /EFCP.-11 分又EF平面AEF，CP平面AEF，所以/ /CP平面AEF.-13 分故在直线1AA 上存在点P，使得/CP平面AEF.此时112APBB，124APAA. -14 分PFEBB1AA1CC1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页注：证明线线平行2 分，证明线面平行2 分，下结论说明点P 的存在 1 分，AP的长度 1 分19. 此题共 14 分解： ma32，mb2，mc22，-2 分32222ace，故36e. -4 分设11, yxP，22, yxQ023322yxmyx，得到03122mxx12-4，依题意，由2( 12)44 (123 )0m得1m.且有121231234xxmx x，-6 分2121|2912361PQkxxmm， -7分原点到直线l的距离2d-8 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页所以11|612222OPQSPQdm-9分解得73m1，故椭圆方程为223177xy. -10 分直线l的垂线为:ONyx，-11分由20yxxy解得交点) 1 , 1(N，-12 分因为PNBQ，又123xx所以BQPN=122212221xxxx，故的值为 1.-14分20. 此题共 13 分解： 依题意，2,xfxxeax xR-1分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页所以切线的斜率00kf又因为01f，-2 分所以切线方程为 ?= -1 .-3 分先证不必要性 .当0a时，1xfxxe ，令0fx，解得1x. -4 分此时， fx 有且只有一个零点，故“fx 有且只有一个零点则0a”不成立 .-5 分再证充分性 .方法一：当0a时，2xfxx ea.令0fx，解得120,ln2xxa . -6分i当 ln20a，即12a时，10 xfxx e，所以 fx 在R上单调增 .又2010,220ffe，所以 fx 有且只有一个零点 . -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页-7 分ii当 ln20a，即102a时，fx ， fx 随x的变化情况如下 :x,ln2aln2aln2,0a00,fx00fx极大值极小值-8 分当0 x时，1 e0 xx，20ax， 所以0fx-9分又222e4e20fa所以 fx 有且只有一个零点 . -10 分说明：如果学生直接写出x时0fx，要扣 1 分iii当 ln20a，即12a时， fx ， fx 随x的变化情况如下 :x,000,ln2aln2aln2,afx00fx极大值极小值-精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页-11 分因为010f，所以(,ln(2 )xa时，0fx-12 分令01xa，则01x. 下面证明当1x时，2exx .设2( )(1)exxg xx，则(2)( )exxxg x.当(1,2)x时，( )0,( )gxg x在 1,2（） 上单调递增；当(2,+)x时，( )0,( )gxg x在 2,（） 上单调递减 .所以当=2x时，( )g x取得极大值24(2)1eg.所以当1x时，( )1g x, 即2exx.所以0022000()e(e )0 xxf xaaxa x.由零点存在定理，fx 有且只有一个零点 . 综上，0a是函数 fx 有且只有一个零点的充分不必要条件. -13 分说明：如果学生写出下面过程，010f， x时0fx，fx有且只有一个零点 .要扣 1 分方法二：当0a时，注意到0 x时，10 xxe，20ax，0fx，因此只需要考察0,上的函数零点 . -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页7 分i当 ln20a，即102a时，0,x时，0fx，fx 单调递增 . -8 分又2210,(2)e4e20fafafx 有且只有一个零点. -10 分ii当 ln20a，即12a时，以下同方法一 .方法三：令( )0f x，显然 0 不是该方程的根，所以2(1)xxeax.设2(1)( )(0)xxeh xxx,则24(22)( )xxexxh xx.当0 x时，( )0,h x( )h x在(,0)上单调减；当0 x时，( )0,h x( )h x在(0,)1,0 xx时，( )0,h x1x时，( )0.h x令01xa，则01x. 下面证明当1x时，2exx .设2( )(1)exxg xx，则(2)( )exxxg x.当(1,2)x时，( )0,( )gxg x在 1,2（） 上单调递增；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页当(2,+)x时，( )0,( )gxg x在 2,（） 上单调递减 .所以当=2x时，( )g x取得极大值24(2)1eg.所以当1x时，( )1g x, 即2exx.所以0020()xaeh xax.所以当0a时，直线ya与函数( )yh x的图象有且只有一个交点，即当0a时，函数( )f x有且只有一个零点 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页