2022年二次函数知识点总结与典型例题讲解 .pdf

二次函数知识点总结及典型例题讲解一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果)0,(2acbacbxaxy是常数，那么 y 叫做 x 的二次函数 。)0,(2acbacbxaxy是常数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx2对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线cbxaxy2与坐标轴的交点：当抛物线与 x 轴有两个交点时， 描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2）顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，（3）当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时，即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式)(212xxxxacbxax， 二次函数cbxaxy2可转化为 两根式)(21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页1、二次函数的性质函数二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，图像a0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时，y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页当0 时，图像与 x 轴没有交点。补充：1、两点间距离公式 （当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y 如图：点 A 坐标为（ x1，y1）点 B 坐标为（ x2，y2）则 AB 间的距离，即线段AB 的长度为221221yyxxA 0 x B 2、函数平移规律 （中考试题中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减四、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当 x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，如 果 在此 范围 内， y 随 x 的增 大 而 增大， 则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时 ，cbxaxy121最小；如 果 在此 范围 内， y 随 x 的增 大而 减 小 ， 则 当1xx时 ，cbxaxy121最大， 当2xx时 ，cbxaxy222最小。典型例题1. 已知函数22113513xxyxx，则使 y=k 成立的 x 值恰好有三个，则k 的值为（）A0 B1 C2 D3 【答案】 D2. 如图为抛物线2yaxbxc的图像， A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是Aab=1 B ab=1 C b2aDac0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页【答案】 B 3. 二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则反比例函数ayx与一次函数ybxc在同一坐标系中的大致图象是（）. 【答案】 D4. 如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过点（ 1，0） ， （1，2） ，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是【答案】12x5. 在平面直角坐标系中，将抛物线223yxx绕着它与 y 轴的交点旋转 180 ，所得抛物线的解析式是（） A2(1)2yxB2(1)4yxC2(1)2yxD2(1)4yx【答案】 B6.已 知 二 次 函 数cbxaxy2的 图 像 如 图 ， 其 对 称 轴1x， 给 出 下 列 结 果acb420abc02ba0cba0cba，则正确的结论是（）A B C D 【答案】D 7抛物线2yaxbxc上部分点的横坐标 x，纵坐标y的对应值如下表：x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 xyO11（1,- 2）cbxxy2-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页从上表可知，下列说法中正确的是 （填写序号）抛物线与 x轴的一个交点为（ 3,0） ； 函数2yaxbxc的最大值为 6；抛物线的对称轴是12x；在对称轴左侧， y 随 x增大而增大【答案】8. 如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，点 A 的坐标是（ 2，4） ，过点 A 作 ABy 轴，垂足为 B，连结 OA(1)求OAB 的面积；(2)若抛物线22yxxc经过点 A求 c 的值；将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在OAB 的内部（不包括 OAB 的边界） ，求 m的取值范围（直接写出答案即可） 解：(1) 点 A 的坐标是（ 2，4） ，ABy 轴，AB=2，OB4，1124422OABSABOB(2)把点 A 的坐标（ 2，4）代入22yxxc，得2( 2)2( 2)4c，c4 2224(1)4yxxx，抛物线顶点 D 的坐标是 (1，5)，AB 的中点 E 的坐标是（ 1，4） ，OA 的中点 F 的坐标是（1，2） ，m 的取值范围为 lm39已知二次函数 y=14x 2+ 32x 的图像如图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页（1）求它的对称轴与x 轴交点 D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴、y 轴的交点分别为A、B、C 三点，若 ACB=90 ，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以 AB 为直径， D 为圆心作 D，试判断直线 CM 与D的位置关系，并说明理由解： （1）二次函数 y=-14x2+32x 的对称轴为 x=3，D（3，0） （2）设抛物线向上平移h 个单位（ h0） ，则平移后的抛物线解析式为y=-14x2+32x+hACB=90 ，OC2=OA OB设点 A、B 的横坐标分别为x1、x2，则 h2=- x1 x2x1、x2是一元二次方程 -14x2+32x+h=0的两个根，x1 x2=-4h，h2=4h，h=4，抛物线的解析式为y=-14x2+32x+4（3）CM 与D 相切，理由如下：连结 CD、CM，过点 C 作 CNDM 于点 D，如下图所示：AB 是D 的直径， ACB=90 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页点 C 在D 上根据平移后的抛物线的解析式y=-14x2+32x+4 可得： OD=3，OC=4，DM=254，CD=5CN=3，MN=94，CM=154CM=154，CD=5，DM=254，CDM 是直角三角形且 DCM=90 ，CM 与D 相切10. 如图 10，在平面直角坐标系xOy中，AB 在 x 轴上，AB10，以 AB 为直径的 O 与 y 轴正半轴交于点 C，连接 BC，AC.CD 是O 的切线，ADCD 于点 D，tanCAD21，抛物线cbxaxy2过 A，B，C 三点. （1）求证： CADCAB；（2）求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点E 是否在直线 CD 上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形 PBCA 是直角梯形 .若存在，直接写出点P 的坐标（不写求解过程） ；若不存在，请说明理由 . （1）证明：连接 O C. CD 是O 的切线， O CCDADCD， O C AD， O CA CADO C O A， O CA CAB， CADCAB（2） AB是O 的直径， ACB90OCAB， CABOCB， CAOBCO，OCOBOAOC即OBOAOC2tanCAOtanCAD21，OA2OC又AB10，)210(22OCOCOC，OC0 OC4，OA8，OB2A（8，0） ，B（2，0） ，C（0，4） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页抛物线cbxaxy2过 A，B，C 三点.c4 由题意得048640424baba，解之得2341ba，423412xxy 2 设直线 DC 交 x 轴于点 F，易证 AOCADC，ADAO8. O CAD， FO C FAD，ADCOAFFO8(BF5)5(BF10)，310BF，)0, 316(F设直线 DC 的解析式为mkxy，则03164mkm，即443mk443xy由425)3(414234122xxxy得顶点 E 的坐标为)425,3(E将)425, 3(E代入直线 DC 的解析式443xy中，右边4254)3(43左边.抛物线的顶点E 在直线 CD 上11. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是直角梯形， BCAD，BAD= 90 ，BC 与 y 轴相交于点 M，且 M 是 BC 的中点， A、B、D 三点的坐标分别是A（-1，0） ，B( -1，2)，D( 3，0)，连接 DM，并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON，若抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 D、M、N（1）求抛物线的解析式（2）抛物线上是否存在点P使得 P A= PC若存在，求出点P 的坐标；若不存在请说明理由。（3）设抛物线与 x 轴的另个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的 个动点，当点 Q 在什么位置时有QEQC最大？并求出最大值。（1）解：由 题意可得 M（0，2） ，N（-3，2）2293093cabcabc，解得：19132abcy=211293xxA B C D O E N M x y 图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页（2）P A= PC ，P在 AC 的垂直平分线上，依 题意，AC 的垂直平分线经过B（-1，2） ， （1，0） ，这条直线为 y=x+12111293yxyxx解得：1133 223 2xy，22332232xyP1（33 2,23 2） ，P2（332,23 2） （3）D 为 E 关于对称轴 x=15 对称， CD 所在的直线 y=x+3yQ=45，Q（-15，45） QEQC 最大值为 CD=2222=2 2个单位 /秒（3）（）,当29t时，有最大值为4121， 此时)239,211(P12如图，抛物线 y=21x2+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（一 1，0）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；判断 ABC的形状，证明你的结论；点M(m，0)是x轴上的一个动点，当 CM+DM的值最小时，求 m的值（1）点 A（-1，0）在抛物线 y=21x2 + bx-2上，21 (-1 )2 + b (-1) 2 = 0，解得 b =23抛物线的解析式为y=21x2-23x-2. y=21x2-23x-2 =21( x2 -3x- 4 ) =21(x-23)2-825, 顶点 D 的坐标为(23, -825). （2）当 x = 0 时 y = -2, C（0，-2） ，OC = 2当 y = 0 时，21x2-23x-2 = 0，x1 = -1, x2 = 4, B (4,0) OA = 1, OB = 4, AB = 5. AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20, AC2 +BC2 = AB2. ABC是直角三角形 . （3）作出点 C 关于 x 轴的对称点 C ，则 C（0，2） ，OC=2，连接 CD 交 x 轴于点 M，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD 的值最小设直线 CD 的解析式为 y = kx + n , 则825232nkn，解得 n = 2, 1241k. 21241xy.当 y = 0 时，021241x，4124x. 4124m13.（2011浙江金华， 10 分） 在平面直角坐标系中， 如图 1， 将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a0)过矩形顶点 B、C. （1）当 n1 时，如果 a=1，试求 b 的值；（2）当 n2 时，如图 2，在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN，使 EF 在线段 CB 上，如果M，N 两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；（3）将矩形 OABC 绕点 O 顺时针旋转，使得点B 落到 x 轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，试求出当 n=3 时 a 的值； 直接写出 a 关于 n的关系式 . 解： （1）由题意可知，抛物线对称轴为直线x=12，122ba,得 b= 1；（2）设所求抛物线解析式为21yaxbx，由对称性可知抛物线经过点B（2，1）和点 M（12，2）14211121.42abab，解得4,38.3ab所求抛物线解析式为248133yxx（3）当 n=3 时，OC=1，BC=3，设所求抛物线解析式为2yaxbx，过 C 作 CDOB 于点 D，则 RtOCDRtCBD，13ODOCCDBC, 设 OD=t，则 CD=3t，222ODCDOC，222(3 )1tt，1101010t, C（1010，31010）, 又 B（10 ，0） ，把 B 、C 坐标代入抛物线解析式，得NMFEyxCBAO图 1 图 2 图 3 yxCBAOCD = 1.1 厘yxCBAOx y O A B C D x yO yx O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页01010311010.101010abab，解得:a=103；21nan. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页