2022年二项式定理复习课 .pdf
优秀学习资料欢迎下载二项式定理复习课一教案描述教学设想：精心设计例题，用二节课的时间对二项式定理进行复习。除理清基本概念外，着重训练定理运用中的七个层次，使学生的数学知识和数学思想都得到训练。1、会正用 . 即套用公式，这一层次的思维量较小，但对理解和巩固定理是完全必要的，例题安排上由浅入深，复习方法上以提问或学生练习为主，要做到正确、熟练。例 1、求62)32(xx的展开式中含5x的项 . 解：5333624320)3(2xxCx例 2、求45)31 ()21 (xx展开式中前三项之和. 解：计算时注意每个因式的展开式只须取前三项即可。45)31()21 (xx)2(102512xx)3(63412xx)54121)(40101(22xxxx22621xx。展开式前三项之和为22621xx. 例 3、求82) 132(xx展开式中x项. 解：若将82)132(xx化为88)1()12(xx来确定展开式中x项，解法不甚合理，注意到22x与x项无关，可转化为求8)13(x展开式中x项，即xxC24)3(78，解法较捷。本题较灵活，有助于提高学生转化能力。2、会反用 . 逆向思维的训练能加深对定理的理解，培养观察能力，但学生往往不习惯，例题和习题可逐步加深。例 4、求值 (1)1444412211nnnnnnnCCC； (2)nnnnnCCC)2(221221. 解： (1)原式即为n)14(的展开式，原式n5. (2)注意符号问题，原式nn)1()21(. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载例 5、设函数54325101051)(xxxxxxf.求)(xf的反函数)(1xf. 解：如果)(xf的表达式中第一项1 改为 -1，则为5)1(x的展开式 . 2)1()(5xxf. 易得5121)(xxf)(Rx3、会变用 . 不少问题需要将数式变形后，再运用二项式定理。这一层次要求学生有定的分析能力，复习中应引导学生观察数式特征，进行合理变形。例 6、求322)21(xx展开式中的常数项. 解：一般有两种变形方法，其一变形为3222)1(xx，其二变形为6)1(xx.后者较简，其常数项即为第四项20364CT. 例 7、设1716321xxxxx17172210)1() 1()1(xaxaxaa, 求2a. 解：为了比较系数，将左式变形为2 1)1( 1) 1(1xx17 1) 1( x.再展开之，展开式中2)1(x项的系数即为2a，81631815172413022CCCCCa. 4、会设项 . 这是二项式定理中常用的待定系数法，学生应熟练掌握。例 8、1003)32(的展开式中含有多少个有理项？解：32100100132rrrrCT,耍使其为有理数，即nr2100，mr3 (mn，为非负整数 ). 得)50(2nr，且mr3. r是6的倍数 ,可取0r，6，12,96，共17个. 例 9、设nxx)3(2131展开式的各项系数之和为t，其二项式系数之和为h，若272ht，试求展开式中2x项的系数 . 解：此题应先定n，令1x,得nt4.而nh2.27224nn.得162n，. 4nrrrrxxCT)()3(2143141由2234rr得4r.2x项系数为13044C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载5、会取值 . 二项式定理提供了从一般到特殊的思维方法训练的好教材，应抓住机遇进行这一基本思维方法的训练.例 10、求32)()2)(2(yxyxyx展开式中各项系数的和. 解：设原式662425160yayxayxaxa.令11yx，得2166210aaaa. 在熟知基本题的基础上，可适当选择些灵活性的例题例 11、求1515)3(yx展开式中所有无理系数之和. 解：考虑到展开式中无理系数为多，可以从反面求有理系数着手。有理系数项为：1515153)3(xx，1515)(yy.有理系数之和为2)1(3.令1yx，得展开式各项系数之和为1515) 13(.展开式中所有无理系数之和为2)13(1515. 例 12、设nnnxaxaaxx22102)1(.求naaaa2420的值 . 解：令1x，得nnaaaa32210.令1x，得12210naaaa. 两式相加得2132420nnaaaa. 在取值过程中，要培养学生观察能力例 13、设)1()21(10100 xaax10010022)1()1(xaxa. 求99531aaaa的值解：令2x，得1001002105aaaa.令0 x，得1100210aaaa. 两式相减，得2151009931aaa. 6、会构造 . 关于组合恒等式的证明，通常需要构造一个恒等式，比较其二项展开式的系数而得。这一层次要求有较强的观察分析能力，是个难点，例题和习题不宜太难，讲解中应慢慢引导，启发学生思维。例 14、证明下列各式(1)21931nnCCnnnnnnnCC43311. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载(2)nnnnnnnCCCCC22222120)()()()(. 证： (1)构造二项展开式baCaCbannnnn110)(nnnnnbCbaC222. 令31ba，得nnnnnnCCC3331)31(221即nnnnnnnnnCCCC4339311121. (2)构造恒等式nnnxxx2)1()1 ()1(. 两边含nx项的系数相等，即22110nnnnnnnnnCCCCCCnnnnnCCC20mnnmnCC，nm0nnnnnnnnCCCCC2222120)()()()(. 7、会综合在复习中还应注意与其它数学知识的横向联系，尤其与数列、不等式和三角的综合运用，这一层次的思维更具有广阔性。例 15、若实数yx，满足1yx，求证：16155yx证：令21x,21y,则5555)21()21(yx16152516142. 例 16、已知等差数列na及等比数列nb中，2211baba，且这两个数列都是递增的正项数列，求证：当2n时，nnba证：设bbaaba2211，, 则)(1(abnaan, 11)()(nnnaabaaabab1)1(naaba22111)(1 aabCaabCann)1(1 )(1aabnaaabnnaabna)(1(利用二项式定理证明不等式，采用“对称法”（例15 ）及“减项放缩法”（例16）较为普遍。二教案评析通过以上七个层次的复习，学生一般都能掌握二项式定理解题的常用方法。数学思想和方法也得到一次系统的训练，分析和综合能力有所提高，收到了复习的实效。二项式定理是高中数学中较为独特的一部分，教材中只简单地讲述定理的推导、性质及应用。如果没有认真分析教材，复习课往往容易产生简单化倾向，仅仅要求学生熟记公精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载式、会代公式而言。其实，二项式定理内容虽不多，但分散于教材及习题的解法却丰富地展示了待定系数法、构造法、取特殊值法和逆向思维等中学数学的基本思想方法，因此也是比较集中复习中学数学思想方法、提高思维能力的好机遇。在复习中，应认真做好基本方法的梳理工作，精心配置例题和习题，进行知识、方法和技巧的训练，才能真正掌握二项式定理。同时对学生思维发展、能力的培养和数学素质的提高也是十分有益的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
