2022年二次函数基础知识梳理 .pdf

精品资料欢迎下载二次函数基础知识梳理一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数， 叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似， 二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2yax的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页精品资料欢迎下载a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页精品资料欢迎下载2. 2yaxc的性质：上加下减。3. 2ya xh的性质：左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值c0a向下0c，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值ca的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页精品资料欢迎下载4.2ya xhk的性质：y随x的增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页精品资料欢迎下载三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax的形状不变， 将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：0a向下hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页精品资料欢迎下载 2. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：cbxaxy2沿y轴平移 : 向上（下）平移 m个单位，cbxaxy2变成mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿 x 轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）四、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，五、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页精品资料欢迎下载画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10 x ，20 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点： 开口方向， 对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 六、二次函数2yaxbxc的性质 1. 当0a时， 抛物线开口向上，对称轴为2bxa， 顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y有最小值244acba 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a） ；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标） . 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页精品资料欢迎下载八、二次函数的图象与各项系数之间的关系九二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式， 才能使解题简便 一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式十、二次函数图象的对称十一、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数： 当240bac时，图象与x轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是 一 元 二 次 方 程200axbxca的 两 根 这 两 点 间 的 距 离2214bacABxxa. 当0时，图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象与x轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页精品资料欢迎下载2当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y2. 抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 十二、二次函数的应用1对于任意实数 m ，下列函数一定是二次函数的是 ( ) A y=(m1) 2x2 By=(m+1) 2x2 Cy=(m2+1)x2 Dy=(m21)x22. 已知二次函数 y=（m+1 ）x2有最大值，则 m的取值范围是 _3. 抛物线 y=125x2的对称轴为 _，顶点坐标为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页精品资料欢迎下载4. 抛物线(1)(3)(0)ya xxa的对称轴是直线（）A1xB1xC 3xD3x5. 已知函数2)(22xmmmxy的图象关于 y 轴对称，则 m _；6. 抛物线2321xy+5，顶点坐标是 ,当 x 时,y 随 x 的增大而减小， 函数有最值 . 7已知二次函数 y=x22x3 的函数值 y2 Ba2 且 a2 Ca2 Da2 且 a2 15. 若二次函数mxxy22的图像与x轴没有公共点，则m的取值范围是_ 。16. 已知函数 y=x22x+k 的图象经过点（12，y1） ， （32，y2） ，则 y1与 y2的大小关系为（） Ay1y2 By1=y2 Cy1y2 D不能确定17. 抛物线 yx26x12经过平移得到 yx2，则平移方法是 ( ) A向右平移 3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度 B向右平移 3 个单位长度，再向上平移3 个单位长度精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页精品资料欢迎下载 C向左平移 3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度 D向左平移 3 个单位长度，再向上平移3 个单位长度18已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则以下结论：a+b+c1；abc0；4a2b+c1，其中正确结论的序号是 ( ) A B C D 19 已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与 x 轴交于点 ( 一 2， 0)、 (x ， 0)， 且 1x12，与 y 轴正半轴的交点在 (0，2) 的下方下列结论： 4a2b+c=0；ab0；2a6+10其中正确结论的个数是_ 20. 二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 的图象经过点 (-1,2) ， 且与 x 轴交点的横坐标分别为 x1，x2，其中-2x1-1，0 x21， （a0 ，顶点在第二象限 ) 下列结论：4a-2b+c0；2a-b0；a-1；b2+8a4ac. 其中正确的有 ( ) A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页精品资料欢迎下载21如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于 A，B两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=OC ，则下列结论： abc0；acb+1=0；OA ?OB= 其中正确结论的序号是 _22 已知关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（2，y1） ， （1， y2） ， （1，0） ，且 y10y2，对于以下结论： abc0；a+3b+2c0；对于自变量 x的任意一个取值，都有x2+x；在 2x1 中存在一个实数 x0，使得 x0=，其中结论错误的是 _（只填写序号）23如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点A（3，0） ，对称轴为直线 x=1，给出以下结论：abc0 b24ac0 4b+c0 若 B（，y1） 、C（，y2）为函数图象上的两点，则y1y2当 3x1 时，y0，其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页精品资料欢迎下载24二次函数2yaxbxc（0a）的图象如图所示，下列结论：0abc； 20ab；240acb； 30ac；2abambm（m为不等于 1 的任意实数）；若221122axbxaxbx，且12xx，则122xx其中正确结论的序号为25已知二次函数 yax2bxc( a0)中，函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如下表：x 5 4 3 2 1 y 3 2 5 6 5 则关于 x 的一元二次方程 ax2bxc2 的根是26已知一次函数 y1=kx+m （k0）和二次函数 y2=ax2+bx+c（a0）的自变量和对应函数值如表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页精品资料欢迎下载x 1 0 2 4 y10 1 3 5 x 1 1 3 4 y20 4 0 5 当 y2y1时，自变量 x 的取值范围是（）Ax1 B x4 C 1x4 D x1 或 x4 27已知关于 x 的函数 y=ax2+x+1(a 为常数 ) (1) 若函数的图象与 x 轴恰好有一个交点，求a 的值 (2) 若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求 a 的取值范围28. 已知函数9232xy. （1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 当 x= 时，抛物线有最值，是 . （3） 当 x 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x 时，y 随 x 的增大而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页精品资料欢迎下载ABCO减小. （4） 求出该抛物线与 x 轴的交点坐标及两交点间距离；（5） 求出该抛物线与 y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23xy的图象经过怎样的平移得到的？29如图，抛物线 y12 x2xa 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C ，其顶点在直线 y2x 上（1）求 a 的值；（2）求 A，B的坐标；（3）以 AC ，CB为一组邻边作 ABCD ，则点 D关于 x 轴的对称点 D 是否在该抛物线上？请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页精品资料欢迎下载30. 已知抛物线2yxbxc与x轴交于 A, B 两点，与 y 轴交于点 C , O是坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页精品资料欢迎下载原点，点 A的坐标是 (-l,0)，点 C 的坐标是 (0,-3).在第四象限内的抛物线上有一动点 D ，过 D 作 DEx轴，垂足为 E，交 BC 于点 F . 设点 D 的横坐标为m. (1)求抛物线的函数表达式 ; (2)连接 AC , AF ，若ACBFAB ，求点 F 的坐标 ; (3)在直线 DE 上作点 H ， 使点 H 与点 D 关于点 F 对称，以 H 为圆心 , HD 为半径作 H ，当 H 与其中一条坐标轴相切时，求m的值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页