2022年热力学与统计物理试题及参考答案 .pdf
1 / 7 中 国 海 洋 大 学 试 题 答案学年第 2 学期试题名称： 热力学与统计物理（A）共 2 页第1 页专业年级：学号姓名授课教师名杨爱玲分数一填空题（共 40分）1N 个全同近独立粒子构成的热力学系统，如果每个粒子的自由度为r，系统的自由度为（Nr ） 。系统的状态可以用（2Nr ）维 空间中的一个代表点表示。2 对于处于平衡态的孤立系统，如果系统所有可能的微观状态数为 ，则每一微观状态出现的概率为（1/?） ，系统的熵为（ kln ?） 。3玻色统计与费米统计的区别在于系统中的粒子是否遵从（泡利不相容原理）原理，其中（费米）系统的分布必须满足0 fs 1。4玻色系统和费米系统在满足（经典极限条件 (或 e - 1）条件时，可以使用玻尔兹曼统计。5lllllldadadU给出内能变化的两个原因，其中（lllda）项描述传热， （llla d）项描述做功。6对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（升高） ；如果温度足够低，则会发生（玻色爱因斯坦凝聚） 。这时系统的能量 U0（ 0） ，压强 p0（ 0） ，熵 S0（ 0） 。7已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能量表达式为bxaxpppmzyx2222)(21，粒子的平均能量为（2kTb2/4a ） 。8当温度（很低）或粒子数密度（很大）时，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。9如果系统的分布函数为s，系统在量子态s 的能量为Es，用 s和 Es表示：系统的平均能量为（sssEE） ，能量涨落为（2()sssEE） （如写成22( )EE也得分）。10与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数s具有特点（ds / dt=0 或与时间无关等同样的意思也得分） ，同时 s也满足归一化条件。二计算证明题（每题10 分，共 60 分）1假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0， ，2 ， 3 ， 。 。 。 ， 而且都是非简并的，如果系统含有6 个分子，问：（ 1）与总能量3相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么？（ 2）根据公式!lallllNaa计算每种分布的微观态数? ；（ 3）确定各种分布的概率。解：能级：1， 2， 3， 4，能量值：0， ， 2 ，3 ，简并度：1， 1，1， 1，分布数：a1, a2, a3, a4, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 / 7 分布la要满足的条件为：6llaN3lllaE满足上述条件的分布有：A：5,0,0,1,0,.laB：4,1,1,0,0,.laC：3,3,0,0,0,.la各分布对应的微观态数为：6!16;5! 1!6!130;4! 1! 1!6!1203! 3!ABC所有分布总的微观态数为：6302056ABC各分布对应的概率为：/6/ 560.107;/30/560.536;/20/ 560.357;AABBCCppp2表面活性物质的分子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以看作二维理想气体，设粒子的质量为m，总粒子数为N。（1）求单粒子的配分函数Z1；（2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位置在x 到 xdx， y到 ydy 内，动量在px到 pxdpx， py到 pydpy内的分子数dN；（3）写出分子按速度的分布；（4）写出分子按速率的分布。解： （1）单粒子的配分函数22()21221(2)ppxymxyAzedxdydp dpmkThh（2）()221xyxydxdydp dpdxdydp dpNdNeehZh（3）将（ 1）代入（ 2） ，并对 dxdy积分，得分子按速度的分布为222()()2mkTvxyxymdNNevvdv dvkT（4）有（ 3）可得分子按速率的分布为：22222()()2mvmvkTkTmmNevdvNevdvkTkT3定域系含有N 个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级1 0， 20，其中 0大于零且为外参量y 的函数。求：（1）温度为T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端高温和极端低温时粒子数比的特点；（2）系统的内能和热容量；（3）极端高温和极端低温时系统的熵。解： （1）单粒子的配分函数为：00121llZeeeee精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 / 7 处于基态的粒子数为：010011;NeeNNZee处于激发态的粒子数为：020021;NeNeNZee温度为 T 时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之为：000021kTkTNeeNee极端高温时：0kT，211NN, 即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同；极端低温时：0kT，210NN, 即粒子几乎全部处于基态。（ 2）系统的内能：00000010lnln()ZeeUNNeeNee热容量：0000220221()()1 ()VVVNUUeeCTkTkTee（ 3）极端高温时系统的熵：lnln 2ln 2NSkkNk极端低温时系统的熵：S=0 5金属中的电子可以视为自由电子气体，电子数密度n，（1）简述： T 0K 时电子气体分布的特点，并说明此时化学势0的意义；（2）证明： T 0K 时电子的平均能量0053，简并压强0025pn；（3）近似计算：在室温下某金属中自由电子的热容与晶格热容之比。（1）0表示 T0K 时电子的最能量。电子从 0 的能级开始，先占据低能级，然后占据高能级，遵从泡利不相容原理。f = 1 ( 0) (2)00000013220000011220000000( )35( )2222 323333 55fDdCVddUNfDdCVddUU NpnnnVN V(3)T0K 时: 111222fff（）；（ ）；（）T0K 时，只有在 附近 kT 量级范围内的电子可跃迁到高能级，对CV有贡献，设这部分电子的数目为Neff， 则effkTNN。每一电子对CV的贡献为3kT/2, 则金属中自由电子对Cv 的贡献为33333()()()22222eVef fffkkTNk kTNkkTNkTCkNNkTTf 1 0 T=0K 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 / 7 晶格的热容量为Cv3Nk，4510(:1010 )2eVfVfCTTCT6固体的热运动可以视为3N 个独立简正振动，每个振动具有各自的简正频率 i，内能的表达式为：ikTieUU1/0，式中的求和遍及所有的振动模式，实际计算时需要知道固体振动的频谱。（1）写出爱因斯坦模型中采用的频谱和德拜模型中采用的频谱，并加以简单说明；（2）用爱因斯坦模型求高温下固体的热容量；（3）用德拜模型证明低温下固体的热容量正比于T3。解： （1）爱因斯坦模型：N 个分子的振动简化为3N 同频率（ ）的简谐振动，每个振子的能级为1()2nn；德拜模型： N 个分子的振动简化为3N 个简正振动，每个振子的频率不同，且有上限D，2( )DdBd. (2) 爱因斯坦模型 : 12()211lnllneZeee; 1/2/2333ln21()3()(1)kTVVkTNNUNZeUeCNkTkTe高温时：/1/,1,3kTkTVekT eCNk（3）3334000/010(/)()()111DDiNikTkTkTiBkTkTUUUUBdeeekT上式的第二项与T 的 4 次方成正比，故3VCT授课教师命题教师或命题负责人签字院系负责人签字年月日精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 / 7 中 国 海 洋 大 学 命 题 专 用 纸（附页）学年第学期试题名称：共页第页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 / 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 / 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
