2022年点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用 .pdf

1 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆12222byax（ab 0）中，若直线l与椭圆相交于M、N 两点，点),(00yxP是弦 MN 的中点，弦MN 所在的直线l的斜率为MNk，则2200abxykMN. 证明：设M、N 两点的坐标分别为),(11yx、),(22yx，则有)2(.1) 1(, 1222222221221byaxbyax)2()1(，得.02222122221byyaxx.2212121212abxxyyxxyy又.22,21211212xyxyxxyyxxyykMN.22abxykMN同理可证，在椭圆12222aybx（ab0） 中， 若直线l与椭圆相交于M 、 N 两点，点),(00yxP是弦 MN 的中点，弦MN 所在的直线l的斜率为MNk，则2200baxykMN. 典题妙解例 1 设椭圆方程为1422yx，过点)1 ,0(M的直线l交椭圆于点A、 B， O 为坐标原点，点P 满足1()2OPOAOB，点 N 的坐标为21,21.当l绕点M 旋转时，求：（1）动点 P 的轨迹方程；（2）|NP的最大值和最小值. 解： （1）设动点P的坐标为),(yx.由平行四边形法则可知：点P 是弦 AB 的中点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 焦点在 y 上，.1,422ba假设直线l的斜率存在 . 由22baxykAB得：.41xyxy整理，得：.0422yyx当直线l的斜率不存在时，弦AB 的中点 P 为坐标原点)0,0(O，也满足方程。所求的轨迹方程为.0422yyx（2）配方，得：.141)21(16122yx.4141x127)61(341)21()21()21(|222222xxxyxNP当41x时，41|minNP；当61x时，.621|maxNP例 2 在直角坐标系xOy中，经过点)2,0(且斜率为k的直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点 P 和 Q. （1）求k的取值范围；（2） 设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、 B， 是否存在常数k， 使得向量OQOP与AB共线？如果存在，求k的取值范围；如果不存在，请说明理由. 解： （1）直线l的方程为.2kxy由. 12,222yxkxy得：.0224)12(22kxxk直线l与椭圆1222yx有两个不同的交点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 ) 12(83222kk0.解之得：k22或k22. k的取值范围是,2222,. （ 2） 在椭圆1222yx中，焦点在x轴上，1,2 ba，).1 ,2(),1 , 0(),0,2(ABBA设弦 PQ 的中点为),(00yxM，则).,(100yxOM由平行四边形法则可知：.2OMOQOPOQOP与AB共线，OM与AB共线 . 1200yx，从而.2200 xy由2200abxykPQ得：2122k，.22k由（ 1）可知22k时，直线l与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数k. 例 3 已知椭圆12222byax（ab 0）的左、右焦点分别为1F、2F，离心率22e，右准线方程为2x. () 求椭圆的标准方程；() 过点1F的直线l与该椭圆相交于M 、N 两点， 且3262|22NFMF，求直线l的方程 . 解： （）根据题意，得.2,222caxace1, 1,2cba.所求的椭圆方程为1222yx. （）椭圆的焦点为)0, 1(1F、)0, 1(2F. 设直线l被椭圆所截的弦MN 的中点为),(yxP. 由平行四边形法则知：PFNFMF2222. 由3262|22NFMF得：326|2PF.926)1(22yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 若直线l的斜率不存在，则xl轴，这时点P 与)0, 1(1F重合，4|2|1222FFNFMF，与题设相矛盾，故直线l的斜率存在 . 由22abxykMN得：.211 xyxy).(2122xxy代入，得.926)(21) 1(22xxx整理，得：0174592xx.解之得：317x，或32x. 由可知，317x不合题意 .32x，从而31y.11xyk所求的直线l方程为1xy，或1xy. 例 4 已知椭圆1:2222byaxC（ab0）的离心率为33，过右焦点F 的直线l与 C 相交于A、B 两点 . 当l的斜率为1 时，坐标原点O 到l的距离为22. （1）求ba,的值；（2）C 上是否存在点P，使得当l绕 F 转到某一位置时，有OBOAOP成立？若存在，求出所有点P 的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.解：（1） 椭圆的右焦点为)0,(cF， 直线l的斜率为1 时， 则其方程为cxy， 即0cyx. 原点 O 到l的距离：22222|00|ccd，1c. 又33ace，3a. 从而2b.3a，2b. （ 2）椭圆的方程为12322yx. 设弦AB 的中点为),(yxQ. 由OBOAOP可知，点Q是线段 OP 的中点，点P 的坐标为)2,2(yx.123422yx.若直线l的斜率不存在，则xl轴，这时点Q 与)0, 1 (F重合，)0, 2(OP，点 P不在椭圆上，故直线l的斜率存在 . 由22abxykAB得：.321 xyxy)(3222xxy.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 由和解得：42,43yx. 当42,43yx时，21xykAB，点P 的坐标为)22,23(，直线l的方程为022yx；当42,43yx时，21xykAB， 点 P 的坐标为)22,23(，直线l的方程为022yx. 金指点睛1. 已知椭圆4222yx，则以)1 , 1 (为中点的弦的长度为（）A. 23B. 32C. 330D. 2632.（06 江西）椭圆1:2222byaxQ（ab0）的右焦点为)0,(cF，过点 F 的一动直线m 绕点 F转动，并且交椭圆于A、B 两点， P 为线段 AB 的中点 . （ 1）求点 P 的轨迹 H 的方程；（ 2）略 . 3 （ 05 上海）（1）求右焦点坐标是)0,2(且过点)2, 2(的椭圆的标准方程；（ 2）已知椭圆C 的方程为12222byax（ab0）.设斜率为k的直线l，交椭圆C 于 A、B两点， AB 的中点为M. 证明：当直线l平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；（ 3）略 . 4. (05 湖北 )设 A、B 是椭圆223yx上的两点，点)3 , 1 (N是线段 AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D 两点 . （ 1）确定的取值范围，并求直线AB 的方程；（ 2）略 . 5. 椭圆 C 的中心在原点，并以双曲线12422xy的焦点为焦点，以抛物线yx662的准线为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 其中一条准线. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线)0(2:kkxyl与椭圆 C 相交于 A、B 两点，使A、B 两点关于直线)0(1:mmxyl对称，求k的值 . 参考答案1. 解：由4222yx得12422yx，2,422ba. 弦 MN 的中点)1 , 1(，由22abxykMN得21MNk，直线 MN 的方程为)1(211xy. 即32yx. .21k由324222yxyx得：051262yy. 设),(),(2211yxNyxM，则65,22121yyyy. 330)3104(54)()11 (|212212yyyykMN故答案选C. 2. 解： （1）设点 P 的坐标为),(yx，由22abxykAB得：22abxycxy，整理，得：022222cxbyaxb. 点 P 的轨迹 H 的方程为022222cxbyaxb.3解： （1）右焦点坐标是)0,2(，左焦点坐标是)0,2(. 2c.由椭圆的第一定义知，24)2()22()2()22(22222a，22a. 4222cab. 所求椭圆的标准方程为14822yx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 （ 2）设点 M 的坐标为),(yx，由22abxykAB得：22abxyk，整理得：022kyaxb. a、b、k 为定值，当直线l平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线022kyaxb上. 4. 解： （1）点)3 , 1 (N在椭圆223yx内，22313，即12.的取值范围是),12(.由223yx得1322xy，3,22ba，焦点在y 轴上 . 若直线 AB 的斜率不存在，则直线ABx轴，根据椭圆的对称性，线段AB 的中点 N 在 x 轴上，不合题意，故直线AB 的斜率存在 . 由22baxykAB得：313ABk，1ABk. 所求直线 AB 的方程为)1(13xy，即04yx. 从而线段AB 的垂直平分线CD 的方程为)1(13xy，即02yx. 5. 解： （ 1）在双曲线12422xy中，6,2, 222bacba，焦点为)6(,),6,0(21FF. 在抛物线yx622中，6p，准线为26y. 在椭圆中，262ca. 从而.3, 3 ba所求椭圆C 的方程为13922xy. （ 2） 设弦 AB 的中点为),(00yxP， 则点 P 是直线l与直线l的交点，且直线ll. km1.由2200baxykAB得：300 xyk，003xky.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 由1100 xky得：kxky00.由、得：23,200ykx. 又200kxy，2223kk，即12k.1k. 在2kxy中，当0 x时，2y， 即直线l经过定点)2 ,0(M.而定点)2,0(M在椭圆的内部，故直线l与椭圆一定相交于两个不同的交点. k的值为1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页