2022年中考数学复习专题题型圆的有关计算与证明 .pdf

学习好资料欢迎下载（2017 浙江衢州第19 题）如图， AB为半圆 O的直径， C为 BA延长线上一点，CD切半圆 O于点 D。连结 OD ，作 BECD于点 E ，交半圆O于点 F。已知 CE=12 ，BE=9 （1）求证： COD CBE ；（2）求半圆O的半径r的长：试题解析：（1） CD切半圆 O于点 D，CD OD ， CDO=90 ，BE CD ， E=90=CDO ，又 C=C， COD CBE （2）在 RtBEC中， CE=12 ，BE=9，BC=22CEBE=15， COD CBE ODOCBEBC，即15915rr，解得： r=458考点： 1. 切线的性质； 2. 相似三角形的判定与性质. 2. （2017 山东德州第20 题）如图，已知RtABC,C=90 ， D为 BC的中点 . 以 AC为直径的圆O交 AB于点 E. （1）求证： DE是圆 O的切线 . (2) 若 AE:EB=1:2,BC=6，求 AE的长 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页学习好资料欢迎下载 (1) 如图所示，连接OE ，CE AC是圆 O的直径 AEC= BEC=90 D是 BC的中点ED 12BC DC 1=2 OE=OC 3=4 1+3=2+ 4, 即 OED= ACD ACD=90 OED=90 , 即 OE DE 又 E是圆 O上的一点DE是圆 O的切线 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页学习好资料欢迎下载考点：圆切线判定定理及相似三角形3. （2017 甘肃庆阳第27 题）如图， AN是 M的直径， NB x 轴， AB交 M于点 C（1）若点 A（ 0，6） ，N（0，2） ， ABN=30 ，求点B的坐标；（2）若 D为线段 NB的中点，求证：直线CD是 M的切线（1） A的坐标为（ 0，6） ，N（0，2） ，AN=4 ， ABN=30 ， ANB=90 ，AB=2AN=8 ，由勾股定理可知：NB=224 3ABAN，B（4 3，2） （2）连接 MC ，NC AN是 M的直径， ACN=90 ， NCB=90 ，在 Rt NCB中， D为 NB的中点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页学习好资料欢迎下载CD=12NB=ND ， CND= NCD ，MC=MN， MCN= MNC ， MNC+ CND=90 ， MCN+ NCD=90 ，即 MC CD 直线 CD是 M的切线考点：切线的判定；坐标与图形性质4.（ 2017 广西贵港第24 题）如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PAPD，Oe是PAD的外接圆. （1）求证：AB是Oe的切线；（2）若28,tan,2ACBAC求Oe的半径 . 【答案】 (1) 证明见解析； （2）3 64（1）连结 OP 、OA ，OP交 AD于 E，如图，PA=PD ，弧 AP=弧 DP ，OP AD ，AE=DE ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页学习好资料欢迎下载 1+OPA=90 ，OP=OA ， OAP= OPA ， 1+OAP=90 ，四边形ABCD 为菱形， 1=2， 2+OAP=90 ，OA AB ，直线 AB与 O相切；（2）连结 BD ，交 AC于点 F，如图，四边形ABCD 为菱形，DB与 AC互相垂直平分，AC=8 ，tan BAC=22，AF=4，tan DAC=DFAF=22，DF=22，AD=22AFDF=26，AE=6，在 RtPAE中， tan 1=PEAE=22，PE=3，设 O的半径为 R，则 OE=R 3，OA=R ，在 RtOAE中， OA2=OE2+AE2，R2=（R6）2+（3）2，R=3 64，即 O的半径为3 64精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页学习好资料欢迎下载考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形5.（ 2017 贵州安顺第25 题）如图， AB是 O的直径， C是 O上一点， OD BC于点 D，过点 C作 O的切线，交OD的延长线于点E，连接 BE （1）求证： BE与 O相切；（2）设 OE交 O于点 F，若 DF=1 ，BC=2 3，求阴影部分的面积【答案】 (1) 证明见解析； （2）4343（1）证明：连接OC ，如图，CE为切线，OC CE ， OCE=90 ，OD BC ，CD=BD ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页学习好资料欢迎下载即 OD垂中平分BC ，EC=EB ，在 OCE和 OBE中OCOBOEOEECEB， OCE OBE ， OBE= OCE=90 ，OB BE ，BE与 O相切；（2）解：设 O的半径为r ，则 OD=r1，在 RtOBD 中， BD=CD=12BC=3，（ r 1）2+（3）2=r2，解得 r=2，tan BOD=BDOD=3， BOD=60 ， BOC=2 BOD=120 ，在 RtOBE中， BE=3OB=23，阴影部分的面积=S四边形 OBECS扇形 BOC=2S OBES扇形 BOC=21222321202360=4343考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算6. （2017 湖北武汉第21 题）如图，ABC内接于Oe，,ABAC CO的延长线交AB于点D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页学习好资料欢迎下载（1）求证AO平分BAC；（2）若36,sin5BCBAC，求AC和CD的长【答案】（ 1）证明见解析； （2）3 10；9013. （2）过点 C作 CE AB于 E sin BAC=35, 设 AC=5m ，则 CE=3m AE=4m ， BE=m 在 RtCBE中， m2+(3m)2=36 m=3 105，AC=3 10延长 AO交 BC于点 H ，则 AH BC ，且 BH=CH=3 ，过点 O作 OF AH交 AB于点 F， HOC= BAC OH=4 ，OC=5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页学习好资料欢迎下载AH=9 tan BAH=13OF=13AO=53OF BC OFDOBCDC，即5DC-53=6DCDC=9013. 考点： 1. 全等三角形的判定与性质；2. 解直角三角形；3. 平行线分线段成比例. 7. （2017 湖南怀化第23 题） 如图，已知BC是O的直径，点D为BC延长线上的一点， 点A为圆上一点，且ABAD=，ACCD=. (1) 求证：ACDBAD；(2) 求证：AD是O的切线 . 试题解析：（1） AB=AD ， B=D，AC=CD ， CAD= D， CAD= B， D=D， ACD BAD ；（2）连接 OA ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页学习好资料欢迎下载OA=OB ， B=OAB ， OAB= CAD ，BC是 O的直径， BAC=90 ，OA AD ，AD是 O的切线考点：相似三角形的判定与性质；切线的判定11. （2017 江苏盐城第25 题）如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC的斜边 AB在 y 轴上，边AC与 x 轴交于点D，AE平分 BAC交边 BC于点 E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在 y 轴上， F 与 y 轴相交于另一点G（1）求证： BC是 F 的切线；（2）若点 A、 D的坐标分别为A （0，-1）， D（2，0），求 F 的半径；（3）试探究线段AG 、 AD 、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论【答案】（ 1）证明见解析；（2） F的半径为52；（ 3）AG=AD+2CD证明见解析 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页学习好资料欢迎下载试题解析：（ 1）连接 EF，AE平分 BAC ， FAE= CAE ，FA=FE ， FAE= FEA ， FEA= EAC ，FEAC， FEB= C=90，即 BC是 F 的切线；（2）连接 FD，设 F 的半径为 r ，则 r2=（r-1 ）2+22，解得， r=52，即 F的半径为52；（3）AG=AD+2CD证明：作FR AD于 R，则 FRC=90 ，又 FEC= C=90 ，四边形RCEF是矩形，EF=RC=RD+CD，FRAD ，AR=RD ，EF=RD+CD=12AD+CD ，AG=2FE=AD+2CD. 考点：圆的综合题13.（2017 甘肃兰州第27 题）如图，ABC内接于O，BC是O的直径，弦AF交BC于点E，延长BC到点D，连接OA，AD，使得FACAOD=，DBAF=. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页学习好资料欢迎下载(1) 求证：AD是O的切线；(2) 若O的半径为5，2CE =，求EF的长 . （1）由 BC是 O的直径，得到BAF+FAC=90 ，等量代换得到D+ AOD=90 ，于是得到结论；（2）连接 BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论（2）连接 BF， FAC= AOD ， ACE DCA ，ACAECEOCOAAC，255ACAEAC，AC=AE=10， CAE= CBF ， ACE BFE ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页学习好资料欢迎下载AEBECEEF，1082EF，EF=8 105考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质14. （2017 贵州黔东南州第21 题）如图，已知直线PT与 O相切于点T，直线 PO与 O相交于 A，B两点（1）求证： PT2=PA?PB ；（2）若 PT=TB=3，求图中阴影部分的面积（ 1）证明：连接OTPT是 O的切线，PTOT ， PTO=90 ， PTA+ OTA=90 ，AB是直径， ATB=90 ， TAB+ B=90，OT=OA ， OAT= OTA ， PTA= B， P=P， PTA PBT ，PTPAPBPT，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页学习好资料欢迎下载PT2=PA?PB （2） TP=TB=3， P=B=PTA ， TAB= P+PTA ， TAB=2 B， TAB+ B=90， TAB=60 ， B=30，tanB=33ATTBAT=1，OA=OT ， TAO=60 ， AOT是等边三角形，S阴=S扇形 OATSAOT=22601331360464. 考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算16. （2017 四川泸州第24 题）如图， O与 Rt ABC的直角边AC和斜边 AB分别相切于点C、D，与边 BC相交于点F，OA与 CD相交于点E，连接 FE并延长交AC边于点 G（1）求证： DFAO ；（2）若 AC=6 ，AB=10 ，求 CG的长【答案】（ 1）证明见解析； （2）2. （1）证明：连接OD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页学习好资料欢迎下载AB与 O相切与点D，又 AC与 O相切与点，AC=AD ， OC=OD ，OA CD ，CD OA ，CF是直径， CDF=90 ，DFCD ，DFAO （2）过点作EM OC于 M ，AC=6 ，AB=10 ，BC=22ABAC=8，AD=AC=6 ，BD=AB-AD=4 ，BD2=BF?BC ，BF=2，CF=BC-BF=6 OC=12CF=3，OA=22ACOC=35，OC2=OE ?OA ，OE=3 55，EM AC ，15EMOMOEACOCOA，OM=35，EM=65，FM=OF+OM=185，3.6365EMFMCGFC，CG=53EM=2 考点：切线的性质17. （2017 四川宜宾第23 题）如图， AB是 O的直径，点C在 AB的延长线上，AD平分 CAE交 O于点 D，且 AE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页学习好资料欢迎下载CD ，垂足为点E（1）求证：直线CE是 O的切线（2）若 BC=3 ，CD=32，求弦 AD的长（1）证明：连结OC ，如图，AD平分 EAC ， 1=3，OA=OD ， 1=2， 3=2，OD AE ，AE DC ，OD CE ，CE是 O的切线；（2） CDO= ADB=90 ， 2=CDB= 1， C=C， CDB CAD ，CDCBBDCACDAD，CD2=CB ?CA ，（ 32）2=3CA ，CA=6 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页学习好资料欢迎下载AB=CA BC=3 ，3 2262BDAD, 设 BD=2K，AD=2K ，在 RtADB中， 2k2+4k2=5，k=306，AD=303考点：切线的判定与性质18.（2017 新疆建设兵团第22 题）如图，AC为 O的直径，B为 O上一点，ACB=30 ，延长 CB至点 D， 使得 CB=BD ，过点 D作 DE AC ，垂足 E在 CA的延长线上，连接BE （1）求证： BE是 O的切线；（2）当 BE=3时，求图中阴影部分的面积【答案】（ 1）证明见解析； （2）33 3-22（1）如图所示，连接BO ， ACB=30 ， OBC= OCB=30 ，DE AC ，CB=BD ，RtDCE中， BE=12CD=BC ， BEC= BCE=30 ， BCE中， EBC=180 BEC BCE=120 ， EBO= EBC OBC=120 30=90，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页学习好资料欢迎下载BE是 O的切线；（2）当 BE=3时， BC=3 ，AC为 O的直径， ABC=90 ，又 ACB=30 ，AB=tan30 BC=3，AC=2AB=23，AO=3，阴影部分的面积=半圆的面积RtABC的面积 =12 AO212AB BC=12 31233=33 3-22考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算1. (2017 北京第 24 题) 如图，AB是Oe的一条弦，E是AB的中点，过点E作ECOA于点C，过点B作Oe的切线交CE的延长线于点D. （1）求证：DBDE；（2）若12,5ABBD，求Oe的半径 . （1）证明： DC OA, 1+3=90, BD为切线， OB BD, 2+5=90, OA=OB, 1=2，3=4， 4=5，在 DEB中, 4=5， DE=DB. (2) 作 DFAB于 F,连接 OE,DB=DE, EF=12BE=3 ，在 RTDEF中，EF=3 ，DE=BD=5 ，EF=3 , DF=22534sin DEF=DFDE= 45 , AOE= DEF, 在 RTAOE中， sin AOE=45AEAO , AE=6, AO=152. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页学习好资料欢迎下载考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数2. (2017 天津第 21 题) 已知AB是O的直径，AT是O的切线，050ABT，BT交O于点C，E是AB上一点，延长CE交O于点D. （1）如图，求T和CDB的大小；（2）如图，当BCBE时，求CDO的大小 . ：(1) 如图，连接AC, AB是O的直径，AT是O的切线，ATAB,即 TAB=90 . 050ABT， T=90- ABT=40 由AB是O的直径，得 ACB=90 ， CAB=90 - ABC=40 CDB= CAB=40 ; （2）如图，连接AD, 在 BCE中， BE=BC ， EBC=50 ， BCE= BEC=65 , BAD= BCD=65 OA=OD ODA= OAD=65 ADC= ABC=50 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页学习好资料欢迎下载 CDO= ODA- ADC=15 . 3. (2017 福建第 21 题) 如图， 四边形ABCD内接于Oe，AB是Oe的直径，点P在CA的延长线上，45CADo（）若4AB，求弧CD的长；（）若弧BC弧AD，ADAP，求证：PD是Oe的切线（）连接 OC ，OD ， COD=2 CAD ，CAD=45 ， COD=90 ，AB=4 ，OC=12 AB=2，CD的长 =902180=；（）BC=AD， BOC= AOD ， COD=90 ， AOD=1802COD =45 ， OA=OD ， ODA= OAD ， AOD+ ODA+ OAD=180 ， ODA=1802AOD=67.5 ，AD=AP ，ADP= APD ， CAD= ADP+ APD ，CAD=45 ， ADP=12CAD=22.5， ODP= ODA+ ADP=90 ，又 OD是半径， PD是 O的切线 . 4. (2017 河南第 18题) 如图， 在ABC中，ABAC， 以AB为直径的O交AC边于点D， 过点C作/ /CFAB，与过点B的切线交于点F，连接BD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页学习好资料欢迎下载（1）求证：BDBF；（2）若10AB，4CD，求BC的长 . (1) ABAC ABC= ACB / /CFAB ABC= FCB ACB= FCB ，即 CB平分 DCF AB为O直径 ADB=90 ，即BDACBF为O的切线BFAB/ /CFABBFCFBD=BF 考点：圆的综合题. 6.（2017 湖南长沙第23 题） 如图，AB与O相切于C，OBOA,分别交O于点ED,，?CDCE（1）求证：OBOA；（2）已知34AB，4OA，求阴影部分的面积【答案】（ 1）证明见解析（2）2=233S阴影精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 32 页学习好资料欢迎下载试题解析：（1）连接 OC ，则 OC AB ?CDCE AOC= BOC 在 AOC和 BOC中，90AOCBOCOCOCOCAOCBo AOC BOC （ ASA ）AO=BO （2）由（ 1）可得 AC=BC=12AB=2 3在 RtAOC 中， OC=2 AOC= BOC=60 11=2 32=2322BOCSBC OC26022=3603Soo扇形 BOC2=233BOCSSS阴影扇形 BOC考点： 1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积7. （2017 山东临沂第23 题）如图，BAC的平分线交ABCV的外接圆于点D，ABC的平分线交AD于点E. （1）求证：DEDB；（2）若90BAC，4BD，求ABCV外接圆的半径. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 32 页学习好资料欢迎下载【试题解析：（1）Q AD平分BAC，BE平分ABC，,BADCADABECBE，又BEDABEBAD，DBEDBCCBE，DBCDAC,BEDDBE.DEDB. （2）解：连接CD，90BACoQ，BC是圆的直径 .90BDCo，90BDCo.BADCADQ，?BDCD，BDCD，BCD是等腰直角三角形.4BDQ，4 2BC.ABC的外接圆的半径为2 2. 考点： 1、三角形 的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理8. (2017 四川泸州第24 题) 如图， O与ABCRt的直角边AC和斜边AB分别相切于点;, DC与边BC相交于点F,OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G. （1）求证：DF/AO（2）若,10,6 ABAC求CG的长 . （1）证明：AB与 O相切与点DBDFBCD（弦切角定理）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页学习好资料欢迎下载又AC与 O相切与点C由切线长定理得：;,DAOCAOADACAOCD,;BDFDAODAOCAOBCD即： DF/AO （2）：过点E作OCEM与M88,622ACABBCABAC4,6ADABBDACAD由切割线定理得：BCBFBD2, 解得：;2BF;321,6FCOCBFBCFC5322OCACOA由射影定理得：553,2OEOAOEOC解之得：235;5366 .3;518;56,53;51EMCGFCFMCGEMOMOFFMEMOMOAOEOCOMACEM9. (2017山东滨州第23 题) （本小题满分10 分）如图，点E是 ABC的内心， AE的延长线交BC于点 F，交 ABC的外接圆 O于点 D；连接 BD ，过点 D作直线 DM ，使 BDM DAC （1）求证：直线DM是 O的切线；（2）求证： DE2DFDA 【答案】详见解析. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页学习好资料欢迎下载试题解析：证明： （1）如图 1，连接 DO ，并延长交 O于点 G，连接 BG ；点 E是 ABC的内心， AD平分 BAC ， BAD DAC G BAD ， MDB G ，DG为 O的直径，GBD 90， G BDG 90 MDB BDG 90直线DM是 O的切线；（2）如图 2，连接 BE 点 E是 ABC的内心， ABE CBE ， BAD CAD EBD CBE CBD ， BED ABE BAD ， CBD CAD EBD BED ，DB DE CBD BAD ， ADB ADB ， DBF DAB ，BD2DFDA DE2DFDA 10. (2017辽宁沈阳第22 题) 如图，在ABC 中，以 BC 为直径的Oe交 AC 于点E，过点E做EFAB于点F，延长EF交 CB 的延长线于点G ，且2ABGC . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 32 页学习好资料欢迎下载（1）求证：EF是Oe的切线；（2）若3sin5EGC，Oe的半径是3，求AF的长 . 【答案】（ 1）详见解析； （ 2）245. 试题解析：(1) 连接 OE ，则2EOGC , 2ABGCABGEOG/ /ABOEEFAB090AFE090GEOAFE OEEG又 OE是Oe的半径EF是Oe的切线；（2）2ABGC ，ABGCACABA=BC 又Oe的半径为3，OE=OB=OC BA=BC=2 3=6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 32 页学习好资料欢迎下载在 RtOEG 中， sin EGC=OEOG，即335OGOG=5 在 RtFGB中， sin EGC=BFGB，即352FBBF=65AF=AB-BF=6-65=245. 考点：圆的综合题. 13. (2017 山东菏泽第22 题) 如图，AB是O的直径，PB与O相切于点B， 连接PA交O于点C. 连接BC. （1）求证：CBPBAC；（2）求证：PAPCPB2；（3）当3, 6 CPAC时，求PABsin的值 . 【答案】 (1) 详见解析；（2）详见解析；（3）3. 【解析】试题分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得CBPBAC；（2）先证 PB CABP ，根据相似三角形的性质即可得结论；（3）利用PAPCPB2，得33PB，从而求PABsin=3试题解析：【解】（1）AB是O的直径 ACB=90 A+ABC=90 PB与O相切于点B CBP+ ABC=90 CBPBAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 32 页学习好资料欢迎下载(2) CBPBAC， P=P PB CABP BPPCAPPBPAPCPB2（3）3, 6 CPACAP=9 PAPCPB233PBPABsin=3339APPB14. (2017浙江金华第22 题) 如图，已知：AB是Oe的直径，点C在Oe上，CD是Oe的切线，ADCD于点,D E是AB延长线上的一点，CE交Oe于点F，连接,OC AC(1) 求证：AC平分DAO(2) 若105DAOo，30Eo求OCE的度数若Oe的半径为2 2，求线段EF的长【答案】 (1) 详见解析；（2） OCE=45 ； 23-2. （1）解：直线与O相切，OC CD ；又 AD CD, AD/OC, DAC= OCA; 又 OC=OA, OAC= OCA, DAC= OAC; AC平分 DAO. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 32 页学习好资料欢迎下载（2）解： AD/OC， DAO=105 , EOC= DAO=105 ; E=30, OCE=45 . 作 OG CE于点 G,可得 FG=CG, OC=22, OCE=45 . CG=OG=2, FG=2; 在 RTOGE 中， E=30，GE=23, EF=GE-FG=23-2. 15.（2017 浙江湖州第21 题） （本小题8 分）如图，为RtC的直角边C上一点，以C为半径的e与斜边相切于点D，交于点已知C3，C3（1）求D的长；（2）求图中阴影部分的面积【答案】（ 1）3（2）6（1）在 RtABC中， AB=22ACBC=223( 3)=23BC OC BC是 O的切线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 32 页学习好资料欢迎下载AB是 O的切线BD=BC=3AD=AB-BD=3（2）在 RtABC中， sinA=3122 3BCAB A=30AB切 O于点 D OD AB AOD=90 - A=60tan= tan30ODAADo3=33ODOD=1 2601=3606S阴影考点： 1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积16. （2017 浙江台州第22 题） 如图， 已知等腰直角三角形ABC ，点P是斜边 BC 上一点 （不与,B C重合），PE是ABP的外接圆O 的直径 . （1）求证：APE是等腰直角三角形；（2）若 O 的直径为2，求22PCPB 的值 . 【答案】（ 1）证明见解析（2）4 （1）证明：ABC是等腰直角三角形， C=ABC=45 , PEA= ABC=45 又 PE是 O的直径， PAE=90 , PEA= APE=45 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 32 页学习好资料欢迎下载 APE是等腰直角三角形. （2） ABC是等腰直角三角形，AC=AB, 同理 AP=AE, 又 CAB= PAE=90 , CAP= BAE, CPA BAE, CP=BE, 在 RtBPE中， PBE=90 ,PE=2, PB2+BE2=PE2, CP2+PB2=PE2=4. 考点： 1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理， 4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形14 （2017 四川省南充市）如图，在RtABC中， ACB=90 ，以 AC为直径作 O交 AB于点 D，E为 BC的中点，连接 DE 并延长交 AC的延长线于点F（1）求证： DE是 O的切线；（2）若 CF=2 ，DF=4 ，求 O直径的长【答案】（ 1）证明见解析； （2）6【解析】试题分析：（ 1）连接 OD 、CD ，由 AC为 O的直径知 BCD是直角三角形，结合E为 BC的中点知 CDE= DCE ，由ODC= OCD 且 OCD+ DCE=90 可得答案；（2）设 O的半径为r ，由 OD2+DF2=OF2，即 r2+42=（ r+2）2可得 r=3 ，即可得出答案试题解析：（1）如图，连接OD 、CD AC为 O的直径，BCD是直角三角形，E为 BC的中点， BE=CE=DE ， CDE= DCE ， OD=OC ， ODC= OCD ， ACB=90 ， OCD+ DCE=90 ， ODC+ CDE=90 ，即 OD DE ， DE是 O的切线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 32 页学习好资料欢迎下载（2）设 O的半径为r ， ODF=90 ， OD2+DF2=OF2，即 r2+42=（r+2 ）2，解得： r=3， O的直径为6考点：切线的判定与性质15 （2017 四川省广安市）如图，已知AB是 O的直径，弦CD与直径 AB相交于点F点 E在 O外，做直线AE ，且 EAC= D（1） 求证：直线AE是 O的切线（2）若 BAC=30 ， BC=4，cos BAD=34，CF=103，求 BF的长【答案】（ 1）证明见解析； （2）5 219（1）连接 BD ，AB是 O的直径， ADB=90 ，即 ADC+ CDB=90 ， EAC= ADC ，CDB= BAC ， EAC+BAC=90 ，即 BAE=90 ，直线AE是 O的切线；（ 2） AB 是 O 的直径，ACB=90 ， Rt ACB 中， BAC=30 ， AB=2BC=2 4=8，由勾股定理得：AC=2284=4 3，Rt ADB中， cosBAD=34=ADAB，34=8AD， AD=6 ， BD=2286 =2 7， BDC=BAC ， DFB= AFC ， DFB AFC ，BFBDFCAC，2 7104 33BF， BF=5 219考点： 1切线的判定与性质；2解直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 32 页