2022年中考压轴题之三角形的存在性问题【因动点产生的相似三角形问题】精品解析 .pdf

学习必备欢迎下载中考压轴题之三角形的存在性问题【因动点产生的相似三角形问题】精品解析【例 1】 （20XX年上海市中考第24 题）如图 1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M 的抛物线y ax2bx（a0）经过点 A 和 x 轴正半轴上的点 B，AO BO2， AOB120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结 OM，求 AOM 的大小；（3）如果点C在 x 轴上，且 ABC与 AOM 相似，求点C 的坐标图 1 思路点拨1第（ 2）题把求 AOM 的大小，转化为求BOM 的大小2因为 BOM ABO30，因此点C在点 B 的右侧时，恰好有ABC AOM3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论ABC与 AOM 相似满分解答（1）如图 2，过点 A 作 AH y 轴，垂足为H在 RtAOH中， AO2， AOH30，所以 AH1，OH3所以 A( 1, 3)因为抛物线与x 轴交于 O、 B(2,0)两点，设 yax(x2)， 代入点 A( 1,3)， 可得33a图2 所以抛物线的表达式为2332 3(2)333yx xxx（2）由2232333(1)3333yxxx，得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,)3所以3tan3BOM所以 BOM30所以 AOM150（3）由 A( 1, 3)、B(2,0)、M3(1,)3，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页学习必备欢迎下载得3tan3ABO，2 3AB，2 33OM所以 ABO 30，3OAOM因此当点C在点 B右侧时， ABC AOM150ABC与 AOM 相似，存在两种情况：如图 3，当3BAOABCOM时，2 3233BABC此时 C(4,0)如图 4，当3BCOABAOM时，33236BCBA此时 C(8,0)图 3 图 4 考点伸展在本题情境下，如果ABC与 BOM 相似，求点C的坐标如图 5，因为 BOM 是 30底角的等腰三角形，ABO30，因此 ABC也是底角为30的等腰三角形， AB AC，根据对称性，点C的坐标为 (4,0)图 5 【例 2】（20XX年苏州市中考第29 题）如图 1，已知抛物线211(1)444byxbx（ b 是实数且b2）与 x 轴的正半轴分别交于点A、B（点A 位于点 B是左侧），与 y 轴的正半轴交于点C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页学习必备欢迎下载（1）点 B 的坐标为 _，点 C 的坐标为 _（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且 PBC是以点 P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得 QCO 、 QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1 思路点拨1第（ 2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点 P到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示3第（ 3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B的坐标为 (b, 0)，点 C的坐标为 (0, 4b)（2）如图 2，过点 P作 PD x轴， PE y 轴，垂足分别为D、E，那么 PDB PEC 因此 PDPE 设点 P的坐标为 (x, x)如图 3，联结 OP所以 S四边形PCOBSPCOSPBO1152428bxb xbx2b解得165x所以点P的坐标为 (16 16,55)图 2 图 3 （3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得 A(1, 0)，OA1如图 4，以 OA、OC为邻边构造矩形OAQC ，那么 OQC QOA当BAQAQAOA，即2QABA OA时， BQA QOA所以2( )14bb解得84 3b所以符合题意的点Q 为(1,23 )如图 5，以 OC为直径的圆与直线x1 交于点 Q，那么 OQC 90。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页学习必备欢迎下载因此 OCQ QOA当BAQAQAOA时， BQA QOA此时 OQB90所以 C、Q、B三点共线因此BOQACOOA，即14bQAb解得4QA此时 Q(1,4)图 4 图 5 考点伸展第（ 3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与 QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA 与 QOC相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置如图中，圆与直线x1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB4OC矛盾精选学习资料 - 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- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页学习必备欢迎下载图 3 图 4 考点伸展第（ 3）题是否存在点G 在 x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的事实上，图3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页学习必备欢迎下载【例 5】 （20XX年临沂市中考第26 题）如图 1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0， 2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作 PMx 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M 为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得 DCA的面积最大，求出点D 的坐标,图 1 思路点拨1已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把 DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A(4，0)、B（ 1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay，代精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页学习必备欢迎下载入点 C的 坐标（0， 2） ， 解得21a 所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy（2）设点 P的坐标为)4)(1(21,(xxx如图 2，当点 P在 x 轴上方时， 1 x4，)4)(1(21xxPM，xAM4如果2COAOPMAM，那么24)4)(1(21xxx解得5x不合题意如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx解得2x此时点 P的坐标为（ 2，1） 如图 3，当点 P在点 A 的右侧时， x4，)4)(1(21xxPM，4xAM解方程24)4)(1(21xxx，得5x此时点P的坐标为)2,5(解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意如图 4，当点 P在点 B的左侧时， x1，)4)(1(21xxPM，xAM4解方程24)4)(1(21xxx，得3x此时点P的坐标为)14, 3(解方程214)4)(1(21xxx，得0 x此时点P与点 O 重合，不合题意综上所述，符合条件的点 P的坐标为（ 2，1）或)14,3(或)2,5(图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交AC于 E 直线 AC的解析式为221xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页学习必备欢迎下载设点D 的横坐标为m)41(m，那么点D 的坐标为)22521,(2mmm，点E 的坐标为)221,(mm所以)221()22521(2mmmDEmm2212因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m当2m时， DCA的面积最大，此时点D 的坐标为（ 2，1） 图 5 图 6 考点伸展第（ 3）题也可以这样解：如图 6，过 D 点构造矩形OAMN，那么 DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去CDN和 ADM的面积设点 D 的横坐标为（ m，n）)41(m，那么42)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS由于225212mmn，所以mmS42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页学习必备欢迎下载【例 6】 （20XX年苏州市中考第29 题）图 1 思路点拨1求等腰直角三角形OAB斜边上的高OH，解直角三角形POH求 k、b 的值2以 DN 为边画正方形及对角线，可以体验到， 正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点E，写出点 E的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出a3当 E在 x 轴上方时， GNP45， POB PGN，把PB PG转化为14PO PN4当 E在 x 轴下方时，通过估算得到PB PG大于 102满分解答（1）1OH，33k，2 33b（2）由抛物线的解析式(1)(5)ya xx，得点 M 的坐标为( 1,0)，点 N 的坐标为(5,0)因此 MN 的中点 D 的坐标为（ 2，0） ，DN 3因为 AOB 是等腰直角三角形，如果DNE与 AOB相似，那么DNE也是等腰直角三角形如图 2，如果 DN 为直角边，那么点E的坐标为E1（2，3）或 E2（2， 3） 将 E1（ 2，3）代入(1)(5)ya xx，求得13a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页学习必备欢迎下载此时抛物线的解析式为21145(1)(5)3333yxxxx将 E2（ 2， 3）代入(1)(5)ya xx，求得31a此时抛物线的解析式为353431)5)(1(312xxxxy如果 DN 为斜边，那么点E的坐标为 E311(3,1 )22或 E4)211,213(将 E311(3,1 )22代入(1)(5)ya xx，求得29a此时抛物线的解析式为222810(1)(5)9999yxxxx将 E4)211,213(代入(1)(5)ya xx，求得92a此时抛物线的解析式为9109892)5)(1(922xxxxy图 2 图 3 对于点 E为 E1（2，3）和 E311(3,1 )22，直线 NE是相同的， ENP45又 OBP45， P P，所以 POB PGN因此2101472PNPOPGPB对于点 E为 E2（2， 3）和 E4)211,213(，直线 NE 是相同的此时点 G 在直线5x的右侧，3314PG又334PB，所以21034143343314PGPB考点伸展在本题情景下，怎样计算PB的长？如图 3，作 AFAB 交 OP 于 F，那么 OBC OAF，OFOC 233， PF 2233，PA332(23)31223PF，所以31PB精选学习资料 - 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