2022年中考数学压轴题汇编函数与几何综合 .pdf

中考压轴题汇编（一）函数与几何综合的压轴题1.（2004 安徽芜湖） 如图， 在平面直角坐标系中，AB、CD 都垂直于 x 轴，垂足分别为B、D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知： A(-2,-6), C(1,-3) (1) 求证： E 点在 y 轴上；(2) 如果有一抛物线经过A，E， C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果 AB 位置不变， 再将 DC 水平向右移动k(k0)个单位，此时 AD 与 BC 相交于 E点，如图，求 AEC 的面积 S关于 k 的函数解析式. 解（ 1） （本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E 作 EO x 轴，垂足O ABEO DC,EODOEOBOABDBCDDB又 DO+ BO= DB1EOEOABDCAB=6，DC=3， EO=2又DOEODBAB，2316EODODBABDO= DO，即 O与 O 重合， E 在 y 轴上方法二：由D（1，0） ，A（-2，-6） ，得 DA 直线方程： y=2x-2再由 B（-2，0） ，C（1，-3） ，得 BC 直线方程： y=-x-2 联立得02xyE 点坐标（ 0，-2） ，即 E 点在 y 轴上（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a 0) 过 A（-2，-6） ，C（ 1，-3）图C（1， -3）A （2，-6）B D O x E y 图C （1+k， -3）A （2，-6）B D O x Ey 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页E（0，-2）三点，得方程组42632abcabcc解得 a=-1,b=0,c=-2 抛物线方程y=-x2-2 （3） （本小题给出三种方法，供参考）由（ 1）当 DC 水平向右平移k 后，过 AD 与 BC 的交点 E作 E Fx 轴垂足为F。同（ 1）可得：1E FE FABDC得： EF=2 方法一：又 EFABE FDFABDB，13DFDBSAE C= SADC- SE DC=11122223DCDBDCDFDCDB=13DCDB=DB=3+ kS=3+k 为所求函数解析式方法二： BADC， SBCA=SBDASAEC= SBDE1132322BDE FkkS=3+k 为所求函数解析式. 证法三： SDECSAEC=DEAE= DCAB=12 同理： SDECSDEB=12,又 SDECSABE=DC2AB2=14 2213992AE CABCDSSABCDBDk梯形S=3+k 为所求函数解析式. 2. （2004 广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与 y 轴交于 A、D 两点 . （1）求点 A 的坐标；（2）设过点 A 的直线 yxb 与 x 轴交于点B.探究：直线 AB 是否 M 的切线？并对你的结论加以证明；（3）连接 BC，记 ABC 的外接圆面积为S1、 M 面积为 S2，若421hSS，抛物线yax2 bxc 经过 B、M 两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式. 解（1）解：由已知AM 2，OM1，在 RtAOM 中， AO 122OMAM，点 A 的坐标为A（0， 1）（2）证：直线yx b 过点 A（0，1） 10b 即 b1yx 1 令 y0 则 x 1B（1，0） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页AB2112222AOBO在 ABM 中， AB2，AM 2，BM 2 222224)2()2(BMAMAB ABM 是直角三角形，BAM 90直线 AB 是 M 的切线（3）解法一：由得BAC 90 ，AB2， AC22，BC 10)22()2(2222ACAB BAC 90 ABC 的外接圆的直径为BC，25)210()2(221BCS而2)222()2(222ACS421hSS，5,4225hh即设经过点 B（1，0） 、M（1，0）的抛物线的解析式为：ya（ 1） （x1） ， （a0 ）即 yax2 a， a 5， a 5 抛物线的解析式为y5x2 5 或 y 5x25 解法二：（接上）求得 h5 由已知所求抛物线经过点B（1，0） 、M （1、0） ，则抛物线的对称轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0， 5）抛物线的解析式为ya（x 0）2 5 又 B（ 1,0） 、M（1,0）在抛物线上，a 50， a 5 抛物线的解析式为y5x25 或 y 5x25 解法三：（接上）求得h5 因为抛物线的方程为y ax2bxc（a0 ）由已知得5055c0b5544002cbaaabaccbacba或解得抛物线的解析式为y5x25 或 y 5x25. A B C D x M y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 32 页3.(2004 湖北荆门 )如图，在直角坐标系中，以点P（1，1）为圆心， 2 为半径作圆，交 x 轴于A、B 两点，抛物线)0(2acbxaxy过点 A、B，且顶点 C 在P上. (1)求 P上劣弧AB的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段 OC 与 PD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解（ 1）如图，连结PB，过 P 作 PM x 轴，垂足为M. 在 RtPMB 中， PB=2,PM=1, MPB60 ， APB 120AB的长342180120（2）在 RtPMB 中， PB=2,PM=1, 则 MB MA 3. 又 OM=1 ， A（13，0） ，B（13，0） ，由抛物线及圆的对称性得知点C 在直线 PM 上，则 C(1， 3). 点 A、B、 C 在抛物线上，则cbacbacba3)31 ()31 (0)31()31 (022解之得221cba抛物线解析式为222xxy（3）假设存在点D，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形OPCD 为平行四边形，且PC OD. 又 PCy 轴，点D 在 y 轴上， OD2，即 D（0， 2） . 又点 D（0， 2）在抛物线222xxy上，故存在点D（0， 2） ，使线段 OC 与 PD 互相平分 . 4.（2004 湖北襄樊） 如图， 在平面直角坐标系内，RtABC 的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上， A、B 是x轴上是两点，且OAOB 31，以 OA、OB 为直径的圆分别交AC于点 E，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. （1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. （3）在 AOC 中，设点M 是 AC 边上的一个动点，过M 作 MNAB 交 OC 于点 N.试问：在x轴上是否存在点P，使得 PMN 是一个以MN 为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由. A B C O x y P （1，1）A B C O x y P（1，1）M A y x B E F O1Q O O2C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 32 页解(1)在 RtABC 中， OCAB， AOC COB. OC2OA OB. OAOB3 1,C(0,3), 2( 3)3.OB OBOB1.OA3. A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为2.yaxbxc则930,0,3.abcabcc解之，得3,323,33.abc经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为23233.33yxx(2)EF 与 O1、 O2都相切 . 证明：连结O1E、OE、OF. ECF AEO BFO90 , 四边形 EOFC 为矩形 . QEQO. 1 2. 3 4,2+4 90 ，EF 与 O1相切 . 同理：EF理O2相切. (3)作 MPOA 于 P，设 MNa,由题意可得MPMNa. MNOA, CMN CAO. .MNCNAOCO3.33aa解之，得3 33.2a此时，四边形OPMN 是正方形 . 3 33.2MNOP3 33(,0).2P考虑到四边形PMNO 此时为正方形，点 P 在原点时仍可满足PNN 是以 MN 为一直角边的等腰直角三角形. 故x轴 上 存 在 点P 使 得 PMN是 一 个 以MN为 一 直 角 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 且3 33(,0)2P或(0,0).PB A E F O1Q O O2y x 2 1 3 4 N M P C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 32 页X O P D C A B Y 由方程组y=ax26ax+1 y=21x+1 得： ax2（ 6a+21）x=0 5.（2004 湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(415，823)，P是以 AC 为对角线的矩形 ABCD 内部 (不在各边上 )的个动点，点D 在 y 轴，抛物线yax2+bx+1 以 P 为顶点(1)说明点 A、C、E 在一条条直线上；(2)能否判断抛物线yax2+bx+1 的开口方向 ?请说明理由；(3)设抛物线yax2+bx+1 与 x 轴有交点F、G(F 在 G 的左侧 )，GAO 与FAO 的面积差为3，且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点这时能确定a、b 的值吗 ?若能，请求出 a、b 的值；若不能，请确定a、 b 的取值范围(本题图形仅供分析参考用) 解（1） 由题意，A(0， 1)、 C(4， 3)确定的解析式为： y=21x+1. 将点 E 的坐标 E(415，823)代入 y=21x+1 中，左边 =823，右边=21415+1=823，左边 =右边，点E 在直线 y=21x+1 上，即点 A、C、E 在一条直线上. （2）解法一： 由于动点P在矩形 ABCD 内部， 点 P 的纵坐标大于点A 的纵坐标， 而点 A与点 P 都在抛物线上，且P为顶点，这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：抛物线y=ax2+bx+c 的顶点 P的纵坐标为aba442，且 P在矩形 ABCD 内部，1aba4423，由 1 1ab42得ab420， a0，抛物线的开口向下. （3）连接GA 、FA， SGAO SFAO=3 21GOAO 21FOAO=3 OA=1，GOFO=6. 设 F（x1,0） 、G（x2,0） ，则 x1、x2为方程 ax2+bx+c=0 的两个根，且x1x2，又a0， x1x2=a10， x10 x2，GO= x2，FO= x1， x2（ x1）=6，即 x2+x1=6， x2+x1= abab=6，b= 6a, 抛物线解析式为：y=ax26ax+1, 其顶点 P 的坐标为（ 3，19a）, 顶点 P 在矩形 ABCD 内部，119a3, 92a0. x=0 或 x=aa216=6+a21. 当 x=0 时，即抛物线与线段AE 交于点 A，而这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点，则X G F O P D E C A B Y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页有： 06+a21415，解得：92 a121综合得：92a121 b= 6a，21b346.（2004 湖南长沙） 已知两点 O(0，0)、B(0，2)，A 过点 B 且与 x 轴分别相交于点O、C，A 被 y 轴分成段两圆弧，其弧长之比为31，直线 l 与 A 切于点 O，抛物线的顶点在直线 l 上运动 . （1）求 A 的半径；（2）若抛物线经过O、C 两点，求抛物线的解析式；（3）过 l 上一点 P 的直线与 A 交于 C、E 两点，且 PCCE，求点 E 的坐标；（4）若抛物线与x 轴分别相交于C、F 两点，其顶点P 的横坐标为m，求 PEC 的面积关于 m 的函数解析式 . 解(1)由弧长之比为31，可得 BAO 90o再由 AB AOr，且 OB2，得 r2 (2)A 的切线 l 过原点，可设l 为 ykx任取 l 上一点 (b，kb)，由 l 与 y 轴夹角为45o可得：b kb 或 bkb，得 k 1 或 k1，直线 l 的解析式为y x 或 yx 又由 r2，易得 C(2，0)或 C(2，0) 由此可设抛物线解析式为yax(x2)或 yax(x2) 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a1 抛物线为yx22x 或 yx22x6 分(3)当 l 的解析式为y x 时，由 P 在 l 上，可设P(m， m)(m0) 过 P 作 PP x 轴于 P ， OP |m|，PP |m|， OP2m2，又由切割线定理可得：OP2PC PE,且 PCCE，得 PCPEmPP 7 分 C 与 P 为同一点，即PE x 轴于 C， m 2，E(2，2)8分同理，当l 的解析式为y x 时， m 2，E(2， 2) (4)若 C(2，0)，此时 l 为 y x， P 与点 O、点 C 不重合， m 0且 m 2 ，当 m0 时， FC 2(2m)，高为 |yp|即为 m，S22(2)()22mmmm同理当 0m2 时， Sm22m；当 m2 时， Sm22m；S222 (02)2 (02)mm mmmmm或又若 C(2， 0)，此时 l 为 y x，同理可得； S222 (20)2( 20)mm mmmmm或0 x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页7.（2006 江苏连云港）如图，直线4kxy与函数)0,0(mxxmy的图像交于A、B 两点，且与x、y 轴分别交于C、 D 两点（ 1）若COD的面积是AOB的面积的2倍，求k与m之间的函数关系式；（ 2）在（1）的条件下， 是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点)0,2(P若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由解（1）设),(11yxA，),(22yxB(其中2121,yyxx)，由AOBCODSS2，得)(2BODAODCODSSS21OC2OD(21OD1y21OD2y)，)(221yyOC，又4OC，8)(221yy，即84)(21221yyyy，由xmy可得ymx，代入4kxy可得042kmyy421yy，kmyy21，8416km，即mk2又方程的判别式08416km，所求的函数关系式为mk2)0(m（2）假设存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点)0, 2(P则BPAP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、NMAP与BPN都与APM互余，MAPBPNRtMAPRtNPB，NBMPPNAM212122yxxy，0)2)(2(2121yyxx， 0)2)(2(2121yyymym，即0)(4)(222121212yyyyyymm由（ 1）知421yy，221yy，代入得01282mm，2m或6，又mk2，12km或316km，存在k,m，使得以AB为直径的圆经过点)0, 2(P，且12km或316kmOPDCBAy x y x NMOPDCBAA A B ( 2,0)C C(2,0) l O P E Px y （ 2,0）P C l O y x C F F F P P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页x y O 8. （ 2004 江苏镇江）已知抛物线2(5)5(0)ymxmxm与 x 轴交于两点1(,0)A x、2(,0)B x12()xx，与 y 轴交于点C，且 AB=6. （1）求抛物线和直线BC 的解析式 . （2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC. （3）若P过 A、B、C 三点，求P的半径 . （4）抛物线上是否存在点M，过点 M 作MNx轴于点 N，使MBN被直线 BC 分成面积比为1 3的两部分？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解（1）由题意得：12122155,6.mxxxxxxmm221212520()436,36,mxxx xmm解得1251,.7mm经检验 m=1，抛物线的解析式为：245.yxx或：由2(5)50mxmx得，1x或5xm0,m516,1.mm抛物线的解析式为245.yxx由2450 xx得125,1.xxA（ 5，0） ，B（1，0） ，C（0， 5）. 设直线 BC 的解析式为,ykxb则5,5,0.5.bbkbk直线 BC 的解析式为55.yx(2)图象略 . （3）法一：在RtAOCD中，5,45 .OAOCOAC90BPC. 又2226,BCOBOCP的半径22613.2PB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页法二：由题意， 圆心 P 在 AB 的中垂线上， 即在抛物线245yxx的对称轴直线2x上，设P（ 2， h） （h0） ，连结 PB、PC，则222222(12),(5)2PBhPCh，由22PBPC，即2222(12)(5)2hh，解得 h=2. ( 2, 2),PP的半径22(1 2)213PB. 法三：延长 CP 交P于点 F. CF为P的直径，90 .CAFCOB又,.ABCAFCACFOCBD D,.CFACAC BCCFBCOCOC又22555 2,AC225,5126,COBC5 2262 13.5CFP的半径为13.（4）设 MN 交直线 BC 于点 E，点 M 的坐标为2( ,45),t tt则点 E 的坐标为( ,55).tt若1 3,MEBENBSSDD:则1 3.ME EN:243 4,45(55).3EN MNttt:解得11t（不合题意舍去） ，25,3t5 40,.39M若3 1,MEBENBSSDD:则3 1.ME EN:21 4,454(55).ENMNttt:解得31t（不合题意舍去） ，415,t15,280 .M存在点 M，点 M 的坐标为5 40,39或（ 15，280）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页9.如图， M 与 x 轴交于 A、B 两点，其坐标分别为)03(，A、)01( ，B，直径 CD x轴于N，直线 CE 切 M 于点 C，直线 FG 切 M 于点 F，交 CE 于 G，已知点G 的横坐标为3. (1) 若抛物线mxxy22经过 A、B、D 三点，求m 的值及点D 的坐标 . (2) 求直线 DF 的解析式 . (3) 是否存在过点G 的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由. 解 (1) 抛物线过A、B 两点，11)3(m，m=3. 抛物线为322xxy. 又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点. D 点坐标为)41(，. (2) 由题意知： AB=4. CDx 轴， NA=NB=2. ON=1. 由相交弦定理得：NANB=NDNC， NC 4=22. NC=1. C 点坐标为)11(，. 设直线 DF 交 CE 于 P，连结 CF，则 CFP=90. 2+3=1+4=90. GC、GF 是切线， GC=GF. 3=4. 1=2. GF=GP. GC=GP. 可得 CP=8. P 点坐标为)17( ，设直线 DF 的解析式为bkxy则174bkbk解得82785bk直线 DF 的解析式为：82785xy(3) 假设存在过点G 的直线为11bxky，则1311bk，1311kb. 由方程组3213211xxykxky得034)2(112kxkxF B A y x O N M G E D C P 1 2 3 4 （第 27 题图）A y x O N M G F E D C B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页由题意得421k，61k. 当61k时，040，方程无实数根，方程组无实数解. 满足条件的直线不存在. 10. （2004 山西）已知二次函数212yxbxc的图象经过点A（ 3，6） ，并与 x 轴交于点 B（ 1，0）和点 C，顶点为P. （1）求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（2）设 D 为线段 OC 上的一点，满足DPC BAC ，求点 D 的坐标；（3）在 x 轴上是否存在一点M，使以 M 为圆心的圆与AC、PC 所在的直线及y 轴都相切？如果存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 解（ 1）解：二次函数212yxbxc的图象过点A（ 3，6） ，B（ 1，0）得9362102bcbc解得132bc这个二次函数的解析式为：21322yxx由解析式可求P（ 1， 2） ，C（ 3，0）画出二次函数的图像（2）解法一：易证：ACB PCD45又已知： DPC BAC DPC BAC DCPCBCAC易求6 2,22,4ACPCBC43DC45333OD5,03D解法二：过A 作 AEx 轴，垂足为E. 设抛物线的对称轴交x 轴于 F. 亦可证 AEB PFD、PEEBPFFD.易求： AE6，EB2，PF2 23FD25133OD5,03D（3）存在 . （1 ）过 M 作 MH AC ，MG PC 垂足分别为H、 G，设 AC 交 y 轴于 S， CP 的延长线交 y 轴于 T SCT 是等腰直角三角形，M 是 SCT 的内切圆圆心，MG MH OM x O y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页A B C M O x y 又2MCOM且 OM MC OC 23,3 23OMOMOM得3 23,0M（2 ）在 x 轴的负半轴上，存在一点M同理 OM OCM C，2OMOCOM得3 23OMM3 23,0即在 x 轴上存在满足条件的两个点. 11. （2004 浙江绍兴）在平面直角坐标系中，A（ 1，0） ，B（3，0）. （1）若抛物线过A，B 两点，且与y 轴交于点（ 0， 3） ，求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A，B 两点的抛物线如果与y 轴负半轴交于点C，M 为抛物线的顶点，那么ACM 与 ACB 的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB 的中垂线l 的抛物线与x 轴交于点E，F，与 y 轴交于点C，过 C作 CP x 轴交 l 于点 P， M 为此抛物线的顶点.若四边形PEMF 是有一个内角为60 的菱形，求次抛物线的解析式. 解（ 1）322xxy，顶点坐标为（1， 4）. （2）由题意， 设 y a （x1） （x 3） ，即 yax22ax3a，A（ 1，0） ，B（ 3，0） ，C（0，3a） ，M（1，4a） ，MT 1 1 -1 -2 4 -3 2 3 0 5 6 E -1 -2 2 3 A C x y B D M F S G H P 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页SACB21 4a36a，而 a0， SACB6A、作 MD x 轴于 D，又 SACMSACOSOCMDSAMD21 1 3a21（3a4a）21 2 4aa，SACM：SACB1：6. （3）当抛物线开口向上时，设ya（x1）2k，即 yax22axak，有菱形可知kak，ak0，k0，k2a，y ax22ax2a，2EF. 记 l 与 x 轴交点为D，若 PEM60 ，则 FEM 30 ，MD DE tan30 66，k66，a36，抛物线的解析式为666326312xxy. 若 PEM120 ，则 FEM 60 ，MD DE tan60 26，k26，a6，抛物线的解析式为266262xxy. 当抛物线开口向下时，同理可得666326312xxy，266262xxy. 12. （2005 北京）已知：在平面直角坐标系xOy 中，一次函数ykxk4的图象与 x 轴交于点 A，抛物线yaxbxc2经过 O、A 两点。（1）试用含a 的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以 D 为圆心， DA 为半径的圆被x 轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x 轴翻折，翻折后的劣弧落在D 内，它所在的圆恰与OD 相切，求 D 半径的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页长及抛物线的解析式；（3）设点B 是满足（ 2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x 轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得POAOBA43？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。解（ 1）解法一：一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A 点 A 的坐标为（ 4，0）抛物线yaxbxc2经过 O、A 两点cab01640，ba4解法二：一次函数ykxk4的图象与x 轴交于点A 点 A 的坐标为（ 4，0）抛物线yaxbxc2经过 O、A 两点抛物线的对称轴为直线x2xba22ba4（2）由抛物线的对称性可知，DODA 点 O 在 D 上，且 DOA DAO 又由（ 1）知抛物线的解析式为yaxax24点 D 的坐标为（24，a）当a0时，如图 1， 设 D 被 x 轴分得的劣弧为OmA， 它沿 x 轴翻折后所得劣弧为OnA， 显然OnA所在的圆与 D 关于 x 轴对称，设它的圆心为D 点 D与点 D 也关于 x 轴对称点 O 在 D上，且 D 与 D相切点 O 为切点DOOD DOA DOA 45 ADO 为等腰直角三角形OD2 2点 D 的纵坐标为2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页421242aaba，抛物线的解析式为yxx1222当a0时，同理可得：OD2 2抛物线的解析式为yxx1222综上， D 半径的长为2 2，抛物线的解析式为yxx1222或yxx1222（3）抛物线在x 轴上方的部分上存在点P，使得POAOBA43设点 P 的坐标为（ x， y） ，且 y0 当点 P 在抛物线yxx1222上时（如图2）点 B 是 D 的优弧上的一点O B AAD O1245P O AO BA4360过点 P 作 PEx 轴于点 E t ant anP O EEPOEyxyx603由yxyxx31222解得：xyxy112242364300，（舍去）点 P 的坐标为42 364 3，当点 P 在抛物线yxx1222上时（如图3）同理可得，yx3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页由yxyxx31222解得：xyxy112242364 300，（舍去）点 P 的坐标为42 364 3，综上，存在满足条件的点P，点 P 的坐标为42 364 3，或42 364 3，13. （2005 北京丰台）在直角坐标系中，O1经过坐标原点O，分别与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴交于点A、B。（1）如图，过点A 作O1的切线与y 轴交于 点C ， 点O到 直 线AB的 距 离 为123sin55ABC，求直线AC 的解析式；（2）若O1经过点 M（2，2） ，设BOA的内切圆的直径为d，试判断d+AB 的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。解（ 1）如图 1，过 O 作OGB于 G，则OG125设OAk kAOBABC309035(),sinABkOBk54，OA OBAB OGSkkkAOB23451251,OAOBAB345，A（3，0）A OB 90 ,AB 是O1的直径AC切O1于 A，BA ACBAC,90在Rt ABC中cos,ABCABBCBCOCBCOB4525494y B O1O A x C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页C()094，设直线 AC 的解析式为ykxb，则3094kbbkb3494，直线 AC 的解析式为yx3494（2）结论：dAB的值不会发生变化设AOB的内切圆分别切OA、OB、AB 于点 P、Q、T，如图 2 所示y B M O1Q P O A N x T 图 2 BQBTAPATOQOPdBQBTOBdAPATOAdABBTATOBdOAdOAOBd，22222,则dABdOAOBdOAOB在 x 轴上取一点N，使 AN=OB ，连接 OM、BM 、AM 、MN MOM( , ),2 2平分AOBOM,22B O MM O NAMBMMANOBM OBAN45 ,又B O MA N MB O MA N MA NMM O N,45OMNMOMN,90OAOBOAANONOMMNOM22222 24dAB的值不会发生变化，其值为4。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页14.（2005 福建厦门） 已知：O 是坐标原点， P（m，n）(m0)是函数y kx(k 0) 上的点，过点 P 作直线 PAOP 于 P， 直线 PA 与 x 轴的正半轴交于点A （a， 0） (am) . 设 OPA的面积为 s，且 s1n44. （1）当 n1 时，求点A 的坐标；（2）若 OPAP，求 k 的值；(3 ) 设 n 是小于 20 的整数，且kn42，求 OP2的最小值 . 解过点 P作 PQx 轴于 Q，则 PQn，OQm(1) 当 n1 时，s54 a2sn52(2) 解 1： OPAP PAOP OPA 是等腰直角三角形 mna2 1n4412an 即 n44n2 40 k24k40 k2 解 2：OPAP PAOP OPA 是等腰直角三角形 mn设 OPQ 的面积为s1则： s1s212mn12(1n44) 即： n44n240 k24k40 k2 (3) 解 1：PAOP， PQOA OPQ OAP 设： OPQ 的面积为s1，则s1sPO2AO2即：12k1n44n2k2n24 (1n44)2n2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 32 页化简得： 2n42k2k n44k0 （k2） （2kn4） 0 k2 或 kn42(舍去 )当 n 是小于 20 的整数时， k2. OP2n2m2 n2k2n2又 m0，k2， n 是大于 0 且小于 20 的整数当 n1 时， OP2 5 当 n2 时， OP2 5 当 n3 时， OP2 32432949859当 n 是大于 3 且小于 20 的整数时，即当 n 4、5、6、 19 时， OP2得值分别是：42442、52452、62462、 192419219241921824182 324325 OP2的最小值是5.解 2： OP2n2m2n2k2n2n222n2(n2n)24 当 n2n时，即当n2时， OP2最小；又 n 是整数，而当n1 时， OP25；n2 时， OP25 OP2的最小值是5.解 3：PAOP， PQOA OPQ P AQ PQQAOQPQnammn化简得： 2n42k2k n44k0 （k2） （2kn4） 0 k2 或 kn42(舍去 )解 4：PAOP， PQOA OPQ P AQ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页s1ss1OQ2PQ2化简得： 2n42k2k n44k0 （k2） （2kn4） 0 k2 或 kn42(舍去 )解 5：PAOP， PQOA OPQ OAP OPOAOQOP OP2OQOA化简得： 2n42k2k n44k0 （k2） （2kn4） 0 k2 或 kn42(舍去 )15. （2005 湖北黄冈课改）如图，在直角坐标系中，O 是原点， A、B、C 三点的坐标分别为A（18， 0） ，B（18，6） ，C（8，6） ，四边形OABC 是梯形，点P、Q 同时从原点出发，分别坐匀速运动，其中点P 沿 OA 向终点 A 运动，速度为每秒1 个单位，点Q 沿 OC、CB 向终点 B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。（1）求出直线OC 的解析式及经过O、A、C 三点的抛物线的解析式。（2）试在中的抛物线上找一点D，使得以O、A、D 为顶点的三角形与AOC 全等，请直接写出点D 的坐标。（3）设从出发起，运动了t 秒。如果点Q 的速度为每秒2 个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围。（4）设从出发起，运动了t 秒。当 P、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 的周长的一半，这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能， 请求出 t 的值；如不可能，请说明理由。解（1） O、 C 两点的坐标分别为O0 ,0，C6,8设 OC 的解析式为bkxy，将两点坐标代入得：43k，0b，xy43A，O 是x轴上两点，故可设抛物线的解析式为180 xxay再将 C6, 8代入得：403axxy20274032（2）D6,10QP O C（8，6）B（18，6）A（18，0）x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 32 页（3）当 Q 在 OC 上运动时，可设Qmm43,，依题意有：222243tmmtm58， Qtt56,58，50t当 Q 在 CB 上时， Q 点所走过的路程为t2， OC10， CQ102tQ 点的横坐标为228102tt， Q6,22t，105t（4）梯形 OABC 的周长为44，当 Q 点 OC 上时， P运动的路程为t，则 Q 运动的路程为t22OPQ 中， OP 边上的高为：532221,5322tttOPQS梯形 OABC 的面积846101821，依题意有：2184532221tt整理得：0140222tt01404222，这样的t不存在当 Q 在 BC 上时， Q 走过的路程为t22， CQ 的长为：tt121022梯形 OCQP 的面积tt102262136 8421这样的t值不存在综上所述，不存在这样的t值，使得P，Q 两点同时平分梯形的周长和面积16.（2005 湖北荆门）已知：如图，抛物线mxxy332312与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点， ACB 90 ，（1）求 m 的值及抛物线顶点坐标；（2）过 A、B、 C 的三点的 M 交 y 轴于另一点D，连结 DM 并延长交 M 于点 E，过 E点的 M 的切线分别交x 轴、 y 轴于点 F、G，求直线 FG 的解析式；（3）在（ 2）条件下，设P 为CBD上的动点（ P 不与 C、D 重合） ，连结 PA 交 y 轴于点 H，问是否存在一个常数k，始终满足AH APk，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由 . 解（ 1）由抛物线可知，点C 的坐标为（ 0，m） ，且 m0. 设 A（x1，0） ，B（x2，0）.则有 x1 x23m又OC是RtABC的 斜 边 上 的 高 ， AOC COBOBOCOCOA21xmmx，即 x1 x2 m2A B C D E F G M x y O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 32 页 m23m，解得m0或 m 3而 m0，故只能取m 3 这时，4)3(31333231