2022年中考数学专题复习第十五讲二次函数的应用-学生版 .pdf

学习必备欢迎下载20XX 年中考数学专题复习第十五讲二次函数的应用【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程：二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设2、设一般式，即：设【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以 y 轴为对称轴，可设顶点在 x 轴上，可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题【提醒： 1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例 1 （2012?呼和浩特）已知：M，N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12yx上，点 N 在直线 y=x+3 上，设点 M 的坐标为（ a，b） ，则二次函数y=-abx2+（a+b）x（）A有最大值，最大值为92B有最大值，最大值为92C有最小值，最小值为92D有最小值，最小值为92分析：先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可点评：本题考查的是二次函数的最值求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法本题是利用公式法求得的最值对应训练1 （2012?兰州）已知二次函数y=a（ x+1）2-b（a0 ）有最小值1，则 a，b 的大小关系为（）Aab Bab Ca=b D不能确定考点二：确定二次函数关系式例 2 （ 2012?珠海）如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C，点 B 是点 C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点 A（1，0）及点 B（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b （x-2）2+m 的 x 的取值范围分析：（1）将点 A（1， 0）代入 y=（x-2）2+m 求出 m 的值，根据点的对称性，将y=3 代入二次A B C O x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页学习必备欢迎下载函数解析式求出B 的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象和A、B 的交点坐标可直接求出kx+b （x-2）2+m 的 x 的取值范围点评： 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出B 点坐标是解题的关键对应训练2 （ 2012?佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c 经过坐标原点，并与x 轴交于点A（2，0） （1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且 SOAB=3，求点 B 的坐标分析：（1）直接把（ 0， 0） ， （2，0）代入 y=x2+bx+c 中，列方程组求b、c 的值即可；（2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴；（3）设点 B 的坐标为（ a，b） ，根据三角形的面积公式求 b 的值，再将纵坐标b 代入抛物线解析式求a 的值，确定B 点坐标点评： 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质关键是将抛物线上两点坐标代入解析式， 列方程组求解析式， 将抛物线解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 22 页学习必备欢迎下载考点三：二次函数与x 轴的交点问题例 3 （2012?天津）若关于x 的一元二次方程（x-2） （x-3）=m 有实数根x1、x2，且 x1x2，有下列结论：x1=2，x2=3； m14；二次函数y=（x-x1） （x-x2）+m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（ 3，0） 其中，正确结论的个数是（）A0 B1 C2 D3 分析： 将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m 的不等式， 求出不等式的解集即可对选项进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0 时才能成立，故选项错误；将选项中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出二次函数图象与x 轴的交点坐标，即可对选项进行判断点评： 此题考查了抛物线与x 轴的交点， 一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题对应训练3 （2012?株洲）如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A（1，0） ，对称轴是x=-1，则该抛物线与 x 轴的另一交点坐标是（）A （-3，0） B （-2，0） Cx=-3 Dx=-2 考点四：二次函数的实际应用例 4 （ 2012?绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-112（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是m分析：根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0 时，求 x 的值即可点评：本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键例 5 （2012?重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理某企业去年每月的污水量均为12000 吨，由于污水厂处于调试阶段， 污水处理能力有限， 该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行1至 6 月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1x6，且 x 取整数）之间满足的函数关系如下表：月份 x 1 2 3 4 5 6 输送的污水量y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 2000 7 至 12 月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7x12 ，且 x 取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a 0)其图象如图所示 1 至 6月，污水厂处理每吨污水的费用：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页学习必备欢迎下载z1（元）与月份x 之间满足函数关系式：z1=12x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份 x 之间满足函数关系式：z2=34x-112x2；7 至 12 月，污水厂处理每吨污水的费用均为2 元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5 元（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1， y2与 x 之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多， 并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12 月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担， 财政对企业处理污水的费用进行50%的补助 若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a 的整数值（参考数据：23115.2 ，41920.5 ，80928.4 ）分析：（1）利用表格中数据可以得出xy= 定值，则y1与 x 之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：图象过（7， 10049） ， （12，10144）点，求出解析式即可；（2）利用当1x6 时，以及当7x12 时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案；（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年 12 月份的基础上增加（a 一 30）%，得出等式12000（1+a%） 1.5 1+（ a-30）%（1-50%） =18000，进而求出即可点评：此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识此题阅读量较大，得出正确关于a%的等式方程是解题关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 22 页学习必备欢迎下载对应训练4 （2012?襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位： m）与滑行时间x（单位： s）之间的函数关系式是y=60 x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m 才能停下来点评：此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键5 （ 2012?益阳）已知：如图，抛物线y=a（x-1）2+c 与 x 轴交于点A（1-3，0）和点 B，将抛物线沿x 轴向上翻折，顶点P 落在点 P（1，3）处（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5 班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P作 x 轴的平行线交抛物线于C、D 两点，将翻折后得到的新图象在直线CD 以上的部分去掉，设计成一个 “W ” 型的班徽， “5”的拼音开头字母为W，“W ” 图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W ” 图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比512（约等于 0.618） 请你计算这个“W ” 图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：52.236 ，6 2.449 ，结果可保留根号）考点：二次函数的应用分析：（1）利用 P 与 P （1，3）关于 x 轴对称，得出P 点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；（2）根据已知得出C，D 两点坐标，进而得出“W ” 图案的高与宽（CD）的比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页学习必备欢迎下载考点五：二次函数综合性题目例 6 （ 2012?自贡）如图，抛物线l交 x 轴于点 A（-3，0） 、B（1，0） ，交 y 轴于点 C（ 0，-3） 将抛物线l沿 y 轴翻折得抛物线1l（1）求1l的解析式；（2）在1l的对称轴上找出点P，使点 P 到点 A 的对称点A1 及 C 两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线1l于 E、F 两点，若以EF 为直径的圆恰与x 轴相切，求此圆的半径分析：（1）首先求出翻折变换后点A、B 所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线1l的解析式；（2）如图 2 所示，连接B1C 并延长，与对称轴x=1 交于点 P，则点 P 即为所求利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论为求点P的坐标，首先需要求出直线B1C 的解析式；（3）如图 3 所示， 所求的圆有两个，注意不要遗漏 解题要点是利用圆的半径表示点F （或点 E）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页学习必备欢迎下载点评：本题考查内容包括二次函数的图象与性质、待定系数法、翻折变换、轴对称的性质、三角形三边关系、 圆的相关性质等，涉及考点较多， 有一定的难度 第（2）问中， 注意是 “ 两线段之差最大” 而不是 “ 两线段之和最大” ，后者比较常见，学生们已经有大量的训练基础，而前者接触较少，但二者道理相通；第（3）问中，首先注意圆有2 个，不要丢解，其次注意利用圆的半径表示点的坐标，运用方程的思想求出圆的半径对应训练6 （ 2012?遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c （a0 ）的图象经过原点O，交 x 轴于点 A，其顶点 B 的坐标为（ 3，3） （1）求抛物线的函数解析式及点A 的坐标；（2）在抛物线上求点P，使 SPOA=2SAOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使 AQO 与 AOB 相似？如果存在，请求出 Q 点的坐标；如果不存在，请说明理由分析：（1）根据函数经过原点，可得 c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，3）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A 的坐标（2）根据题意可得点P到 OA 的距离是点B 到 OA 距离的 2 倍，即点P的纵坐标为23，代入函数解析式可得出点P的横坐标；（3）先求出 BOA 的度数， 然后可确定Q1OA=的度数， 继而利用解直角三角形的知识求出 x，得出 Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页学习必备欢迎下载点评： 此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答【聚焦山东中考】1 （ 2012?泰安）二次函数y=ax2+bx 的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根，则 m 的最大值为（）A-3 B3 C-6 D9 考点：抛物线与x 轴的交点专题：探究型分析：先根据抛物线的开口向上可知a0，由顶点纵坐标为-3 得出 b 与 a 关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根可得到关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可点评：本题考查的是抛物线与x 轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b 的关系是解答此题的关键2 （ 2012?滨州）抛物线y=-3x2-x+4 与坐标轴的交点个数是（）A3 B2 C1 D0 分析：令抛物线解析式中x=0，求出对应的y 的值，即为抛物线与y 轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y 轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x 的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x 轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数点评： 此题考查了抛物线与x 轴的交点， 以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y 值即为抛物线与y 轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x 的值，即为抛物线与 x 轴交点的横坐标3（2012?济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx 小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需秒分析： 10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，则A，B 一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O 到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC 之间的时间点评：本题考查了二次函数的应用，注意到A、B 关于对称轴对称是解题的关键4 （ 2012?菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10 元/件的工艺品投放市场进行试销经过调查，得到如下数据：销售单价x（元 /件）20 30 40 50 60 每天销售量（ y 件）500 400 300 200 100 （1） 把上表中x、 y 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想 y 与 x 的函数关系，并求出函数关系式；（2） 当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页学习必备欢迎下载（利润 =销售总价 -成本总价）（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？分析：（1）利用表中x、y 的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出 y 与 x 的函数关系式，求出即可；（2）根据利润 =销售总价 -成本总价，由（1）中函数关系式得出W=（x-10） （-10 x+700 ） ， ，进而利用二次函数最值求法得出即可；（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识，此题难度不大是中考中考查重点内容5 （ 2012?青岛）在 “ 母亲节 ” 期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元 /个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y 与 x 之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6 元 /个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价 x（元 /个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900 元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页学习必备欢迎下载分析：（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；（2）销售利润 =每个许愿瓶的利润 销售量；（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润点评：此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题6 （2012?聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18 元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100 （利润 =售价 -制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于 350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？分析：（1）根据每月的利润z= （x-18）y，再把 y=-2x+100 代入即可求出z 与 x 之间的函数解析式，（2）把 z=350 代入 z=-2x2+136x-1800 ， 解这个方程即可， 将 z -2x2+136x-1800 配方，得 z=-2（x-34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少（3）结合（ 2）及函数 z=-2x2+136x-1800 的图象即可求出当25 x 43时 z 350 ，再根据限价32 元，得出25 x 32，最后根据一次函数y=-2x+100 中 y 随 x 的增大而减小，即可得出当x=32 时，每月制造成本最低，最低成本是18 （ -2 32+100）. 点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页学习必备欢迎下载【备考真题过关】一、选择题2 （2012?湖州）如图，已知点A（4，0） ，O 为坐标原点，P 是线段 OA 上任意一点（不含端点 O，A） ，过 P、O 两点的二次函数y1和过 P、A 两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线 OB 与 AC 相交于点D当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A5B453C3 D4 分析：过B 作 BFOA 于 F，过 D 作 DEOA 于 E，过 C 作 CMOA 于 M，则 BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BFDECM，求出 AE=OE=2 ，DE=5，设 P（2x，0） ，根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出 OBF ODE ， ACM ADE ，得出BFOFDEOE，CMAMDEAE，代入求出BF 和 CM，相加即可求出答案点评：本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度3 （ 2012?宜昌）已知抛物线y=ax2-2x+1 与 x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限考点：抛物线与x 轴的交点分析：根据抛物线y=ax2-2x+1 与 x 轴没有交点，得出=4-4a0，a1，再根据b=-2，得出抛物线的对称轴在y 轴的右侧，即可求出答案点评：此题考查了二次函数的图象与x 轴交点， 关键是根据二次函数的图象与x 轴交点的个数与一元二次方程的解之间的联系求出a的值，这些性质和规律要求掌握4 （ 2012?资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c 的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c0的解集是（）A-1x5 B x5 Cx-1 且 x5 Dx-1 或 x5 5 （ 2012?义乌市）如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当 x 任取一值时， x 对应的函数值分别为y1、y2若 y1y2，取 y1、y2中的较小值记为M；若 y1=y2，记 M=y1=y2例如：当 x=1 时， y1=0，y2=4，y1y2，此时 M=0 下列判断：当 x 0时， y1y2；当 x0 时， x 值越大， M 值越小；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页学习必备欢迎下载使得 M 大于 2 的 x 值不存在；使得 M=1 的 x 值是12或22其中正确的是（）A B C D分析：利用图象与坐标轴交点以及M 值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，利用数形结合得出函数增减性是解题关键6 （ 2012?大连）如图，一条抛物线与x 轴相交于A、B 两点，其顶点P 在折线 C-D-E 上移动，若点 C、D、E 的坐标分别为（-1，4） 、 （3，4） 、 （3，1） ，点 B 的横坐标的最小值为1，则点 A 的横坐标的最大值为（）A1 B2 C 3 D4 分析：抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变首先，当点B 横坐标取最小值时，函数的顶点在C 点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点A 横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到E 点，结合前面求出的二次项系数以及E 点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点A 的坐标，即点 A 的横坐标最大值点评： 考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是顶点坐标注意抛物线顶点所处的C、E 两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果1 （ 2012?镇江）若二次函数y=（x+1） （ xm）的图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m的取值范围是（）Am 1 B 1m 0 C0m1 Dm1 点：抛物线与 x 轴的交点。 810360 专题 ： 探 究型。分析：先 令（ x+1） （xm）=0 求出 x 的值即可得出二次函数与x 轴的交点坐标，再根据抛物线的对称轴在y 轴的右侧即可得到关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可点评：本 题考查的是抛物线与x 轴的交点问题， 先根据函数的解析式得出二次函数的图象与x 轴的交点是解答此题的关键2 （ 2012?泰安）二次函数y=ax2+bx 的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根，则 m 的最大值为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页学习必备欢迎下载A3 B 3C6 D9考点 ： 抛 物线与 x 轴的交点。 810360 专题 ： 探 究型。分析：先 根据抛物线的开口向上可知a0，由顶点纵坐标为3 得出 b 与 a 关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0 有实数根可得到关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可点评：本 题考查的是抛物线与x 轴的交点，根据题意判断出a 的符号及a、b 的关系是解答此题的关键3 （2012?杭州）已知抛物线y=k（ x+1） （x）与 x 轴交于点A，B，与 y 轴交于点C，则能使 ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（）A2B 3C4D5考点 ：抛物线与x 轴的交点。 810360 专题 ：推理填空题。分析： 整理抛物线解析式，确定出抛物线与x 轴的一个交点A 和 y 轴的交点C，然后求出 AC 的长度，再分 k0 时，点 B 在 x 轴正半轴时， 分 AC=BC 、 AC=AB 、 AB=BC三种情况求解；k0 时，点 B 在 x 轴的负半轴时，点B 只能在点A 的左边，只有AC=AB 一种情况列式计算即可点评： 本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论二、填空题7 （2012?深圳）二次函数y=x2-2x+6 的最小值是分析：利用配方法将原式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页学习必备欢迎下载点评：本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键8 （ 2012?无锡）若抛物线y=ax2+bx+c 的顶点是A（2，1） ，且经过点B（1，0） ，则抛物线的函数关系式为三、解答题9 （2012?杭州）当 k 分别取 -1，1，2 时，函数 y=（k-1）x2-4x+5-k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值考点：二次函数的最值专题：分类讨论分析：当 k 分别取 -1，1，2 时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k 表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值10 （2012?徐州）二次函数y=x2+bx+c 的图象经过点（4，3） ， （3，0） （1）求 b、c 的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c 的图象考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质分析： （1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于b、c 的二元一次方程组即可得解；（2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式；（3）采用列表、描点法画出图象即可（3）列表如下：x 0 1 2 3 4 y 3 0 -1 0 3 描点作图如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22 页学习必备欢迎下载点评： 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，以及作二次函数图象，都是基础知识，一定要熟练掌握11 （2012?佛山）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c 的解析式；y 随 x 变化的部分数值规律如下表：x -1 0 1 2 3 y 0 3 4 3 0 有序数对（ -1，0） 、 （1，4） 、 （3，0）满足 y=ax2+bx+c ；已知函数y=ax2+bx+c 的图象的一部分（如图）（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c 的三个性质分析： （1）选择，观察表格可知抛物线顶点坐标为（1， 4） ，设抛物线顶点式，将点（0，3）代入确定a 的值；（2）根据抛物线的对称轴，开口方向，增减性等说出性质12 （2012?兰州）若x1、 x2 是关于一元二次方程ax2+bx+c（a0 ）的两个根，则方程的两个根 x1、x2和系数 a、b、c 有如下关系：x1+x2=ba，x1?x2=ca把它称为一元二次方程根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页学习必备欢迎下载与系数关系定理 如果设二次函数y=ax2+bx+c（a0 ） 的图象与x 轴的两个交点为A （x1， 0） ，B（x2，0） 利用根与系数关系定理可以得到A、B 连个交点间的距离为：AB=|x1-x2|= 21212()4xxx x=24()bcaa=22244|bacbacaa；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x 轴的两个交点A（x1，0） ，B（x2，0） ，抛物线的顶点为 C，显然 ABC 为等腰三角形（1）当 ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值；（2）当 ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值考点：抛物线与x 轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质点评： 本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与 x 轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等13 （2012?武汉） 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB 组成，已知河底ED 是水平的， ED=16 米， AE=8 米，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离是11 米，以 ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页学习必备欢迎下载面直角坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40 小时内，水面与河底ED 的距离 h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=1128（t-19）2+8（0 t 40） ，且当水面到顶点C 的距离不大于 5 米时，需禁止船只通行， 请通过计算说明： 在这一时段内， 需多少小时禁止船只通行？分析：（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B 坐标代入即可求解；（2）水面到顶点C 的距离不大于5 米时，即水面与河底ED 的距离 h 至多为 6，把 6 代入所给二次函数关系式，求得t 的值，相减即可得到禁止船只通行的时间点评： 考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合（1）得到 h 的最大高度14 （2012?无锡）如图，在边长为24cm 的正方形纸片ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D 四个顶点正好重合于上底面上一点）已知 E、F 在 AB 边上， 是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x （cm） （1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x 应取何值？分析：（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=2x，EF=2a=2x，再利用 AB=24cm ，求出x 即可得出这个包装盒的体积V；（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页学习必备欢迎下载15 （2012?黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时， 每件按 3000 元销售； 若一次购买该种产品超过 10 件时， 每多购买一件， 所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于 2600 元（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元？（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获得的利润为y 元，求 y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多， 公司所获得的利润反而减少这一情况为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）分析：（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600 元，列方程求解；（2）由利润y=销售单价 件数，及销售单价均不低于2600 元，按 0 x10，10 x50 ，x50 三种情况列出函数关系式；（3）由（2）的函数关系式， 利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x 的值，确定销售单价点评： 本题考查了二次函数的运用关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页学习必备欢迎下载16 （2012?河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在550 之间每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位： cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的 浮动价与薄板的边长成正比例在营销过程中得到了表格中的数据薄板的边长（cm）20 30 出厂价（元 /张）50 70 （1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm 的薄板，获得的利润为26 元（利润 =出厂价 -成本价），求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c （a0 ）的顶点坐标为（24,24bbacaa）分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；（2）首先假设一张薄板的利润为p 元，它的成本价为mx2元，由题意，得： p=y-mx2，进而得出 m 的值，求出函数解析式即可；利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法17 （2012?资阳）抛物线y=14x2+x+m 的顶点在直线y=x+3 上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、 N 两点（点M 在点 N 的左边），MA x 轴于点 A，NB x 轴于点 B（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示） ，再求 m 的值；（2）设点 N 的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF=NB ；（3）若射线NM 交 x 轴于点 P，且 PA?PB=1009，求点 M 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页学习必备欢迎下载分析：（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；（2）首先利用点N 在抛物线上，得出N 点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出 NF2=NB2，即可得出答案；（3）求点 M 的坐标，需要先求出直线PF的解析式首先由（2）的思路得出MF=MA ，然后连接AF、FB，通过证明PFA PBF，利用相关的比例线段将PA?PB 的值转化为PF的值，进而求出点F 的坐标和直线PF的解析式，即可得解点评： 考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识， （3）题通过构建相似三角形将PA?PB转化为 PF 的值是解题的关键，也是该题的难点18（2012?株洲）如图，一次函数y=-12x+2 分别交 y 轴、 x 轴于 A、 B 两点，抛物线 y=-x2+bx+c过 A、B 两点（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直 x 轴的直线x=t，在第一象限交直线AB 于 M，交这个抛物