2022年二次函数与幂函数典型例题 .pdf

学习必备欢迎下载二次函数与幂函数1求二次函数的解析式2求二次函数的值域与最值3利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用基础梳理1二次函数的基本知识(1)函数 f(x)ax2bxc(a0)叫做二次函数，它的定义域是R. (2)二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为 xb2a，顶点坐标是 b2a，4acb24a. 当 a0 时，抛物线开口向上， 函数在 ，b2a上递减，在 b2a， 上递增，当 xb2a时，f(x)min4acb24a；当 a0 时，抛物线开口向下， 函数在 ，b2a上递增，在 b2a， 上递减，当 xb2a时，f(x)max4acb24a. 二次函数 f(x)ax2bxc(a0)当 b24ac0 时，图象与 x 轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|x1x2|a|. (3)二次函数的解析式的三种形式：一般式： f(x)ax2bxc(a0)；顶点式： f(x)a(xm)2h(a0)；两根式： f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2幂函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载(1)幂函数的定义形如 yx( R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量， 为常数(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质第一象限一定有图像且过点（1，1）；第四象限一定无图像；当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象限图像的变化趋势；当a0 时，递增，其中 a1时，递增速度越来越快， 0a1时，递增速度越来越慢。yx yx2yx3yx12yx1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载定义域RRR0， )x|xR 且x0 值域R0， )R0， )y|yR 且y0 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0， )时，增，x(， 0时，减增增x(0， )时， 减， x(，0)时，减定点(0,0)，(1,1) (1,1) 一条主线二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系， 能用函数与方程、 分类讨论、 数形结合思想来研究与 “三个二次”有关的问题， 高考对“三个二次 ”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中两种方法二次函数 yf(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数yf(x)对定义域内x1，x2，都有 f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xx1x22；(2)对于二次函数 yf(x)对定义域内所有 x，都有 f(ax)f(ax)成立，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a 为常数 )两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2bxc0，a0 恒成立的充要条件是a0，b24ac0；(2)ax2bxc0，a0 恒成立的充要条件是a0，b24ac0.双基自测1下列函数中是幂函数的是()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载Ay2x2By1x2Cyx2xDy1x2(2011 九江模拟 )已知函数 f(x)4x2mx5 在区间 2， )上是增函数，则 f(1)的范围是 ()Af(1)25 Bf(1)25 Cf(1)25 Df(1)25 3(2011 福建)若关于 x 的方程 x2mx10，有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ()A(1,1) B(2,2) C(， 2)(2， ) D(， 1)(1， ) 4(2011 陕西)函数的图象是 ()5二次函数 yf(x)满足 f(3x)f(3x)(xR)且 f(x)0 有两个实根 x1，x2，则x1x2_. 考向一求二次函数的解析式【例 1】?已知函数 f(x)x2mxn 的图象过点 (1,3)，且 f(1x)f(1x)对任意实数都成立， 函数 yg(x)与 yf(x)的图象关于原点对称 求 f(x)与 g(x)的解析式【训练 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8.试确定此二次函数的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载考向二幂函数的图象和性质【例 2】?幂函数 yxm22m3(mZ)的图象关于 y 轴对称，且当 x0 时，函数是减函数，则 m的值为 ()A1m3 B0 C1 D2 【训练 2】 已知点 (2，2)在幂函数yf(x)的图象上，点2，12在幂函数yg(x)的图象上，若 f(x)g(x)，则 x_. 考向三二次函数的图象与性质【例 3】?已知函数 f(x)x22ax1，求 f(x)在区间0,2上的最值【训练 3】 已知 f(x)1(xa)(xb)(ab)，m，n 是 f(x)的零点，且 mn，则a，b，m，n 从小到大的顺序是 _双基自测1(人教 A 版教材习题改编 )下列函数中是幂函数的是 ()Ay2x2By1x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载Cyx2xDy1x解析A，C，D 均不符合幂函数的定义答案B 2(2011 九江模拟 )已知函数 f(x)4x2mx5 在区间 2， )上是增函数，则 f(1)的范围是 ()Af(1)25 Bf(1)25 Cf(1)25 Df(1)25 解析对称轴 xm82，m16，f(1)9m25. 答案A 3(2011 福建)若关于 x 的方程 x2mx10，有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ()A(1,1) B(2,2) C(， 2)(2， ) D(， 1)(1， ) 解析依题意判别式 m240，解得 m2 或 m2. 答案C 4(2011 陕西)函数的图象是 ()解析由幂函数的性质知：图象过(1,1)点，可排除 A，D；当指数 0 1时为增速较缓的增函数，故可排除C. 答案B 5二次函数 yf(x)满足 f(3x)f(3x)(xR)且 f(x)0 有两个实根 x1，x2，则x1x2_. 解析由 f(3x)f(3x)， 知函数 yf(x)的图象关于直线 x3 对称，应有x1x223? x1x26. 答案6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载考向一求二次函数的解析式【例 1】?已知函数 f(x)x2mxn 的图象过点 (1,3)，且 f(1x)f(1x)对任意实数都成立， 函数 yg(x)与 yf(x)的图象关于原点对称 求 f(x)与 g(x)的解析式审题视点 采用待定系数法求f(x)， 再由 f(x)与 g(x)的图象关于原点对称，求 g(x)解依题意得1mn3，m2 1，解得：m2，n0，f(x)x22x. 设函数 yf(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则 x0 x，y0y. 点 A(x0，y0)在函数 yf(x)的图象上，y0 x202x0， yx22x，yx22x，即 g(x)x22x. 二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组， 即运用待定系数法来求解 在具体问题中， 常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起【训练 1】 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8.试确定此二次函数的解析式解法一利用二次函数的一般式设 f(x)ax2bxc(a0)由题意得4a2bc1，abc1，4acb24a8，解之得a4，b4，c7.所求二次函数的解析式为y4x24x7. 法二利用二次函数的顶点式设 f(x)a(xm)2n(a0)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载f(2)f(1)此二次函数的对称轴为x2 1212. m12，又根据题意，函数有最大值8，即 n8. yf(x)a x1228，f(2)1，a 212281，解之得 a4. f(x)4 x12284x24x7. 考向二幂函数的图象和性质【例 2】?幂函数 yxm22m3(mZ)的图象关于 y 轴对称，且当 x0 时，函数是减函数，则 m的值为 ()A1m3 B0 C1 D2 审题视点 由幂函数的性质可得到幂指数m22m30，再结合 m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值解析由 m22m30，得 1m3，又 mZ，m0,1,2. m22m3 为偶数，经验证 m1 符合题意答案C 根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当 0 时，幂函数在 (0，)上为增函数，当 0 时，幂函数在 (0，)上为减函数，然后验证函数的奇偶性【训练 2】 已知点 (2，2)在幂函数yf(x)的图象上，点2，12在幂函数yg(x)的图象上，若 f(x)g(x)，则 x_. 解析由题意，设 yf(x)x，则 2(2)，得 2，设 yg(x)x，则12(2)，得 2，由 f(x)g(x)，即 x2x2，解得 x 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载答案 1 考向三二次函数的图象与性质【例 3】?已知函数 f(x)x22ax1，求 f(x)在区间0,2上的最值审题视点 先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论解函数 f(x)x22ax1(xa)21a2的对称轴是直线 xa，(1)若 a0，f(x)在区间 0,2上单调递增，当 x0 时，f(x)minf(0)1；当 x2 时，f(x)maxf(2)54a；(2)若 0a1，则当 xa 时，f(x)minf(a)1a2；当 x2 时，f(x)maxf(2)54a；(3)若 1a2，则当 xa 时，f(x)minf(a)1a2；当 x0 时，f(x)maxf(0)1；(4)若 a2，则 f(x)在区间 0,2上单调递减，当 x0 时，f(x)maxf(0)1；当 x2 时，f(x)minf(2)54a. 解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为ya(xm)2n(a0)的形式，得顶点 (m，n)或对称轴方程 xm，分三个类型：顶点固定，区间固定；顶点含参数，区间固定；顶点固定，区间变动【训练 3】 已知 f(x)1(xa)(xb)(ab)，m，n 是 f(x)的零点，且 mn，则a，b，m，n 从小到大的顺序是 _解析由于 f(x)1(xa)(xb)(ab)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)f(b)10，f(m)f(n)0，可得 a(m，n)，b(m，n)，所以 mabn. 答案mabn考向四有关二次函数的综合问题【例 4】?设函数 f(x)ax22x2，对于满足 1x4 的一切 x 值都有 f(x)0，求实数 a 的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载审题视点 通过讨论开口方向和对称轴位置求解解当 a0 时，f(x)a x1a21a. 1a1，f 1 a220或11a4，f1a21a0或1a4，f 4 16a820，a1，a0或14a1，a12或a14，a38.a1 或12a1 或?，即 a12；当 a0 时，f 1 a220，f 4 16a820，解得 a?；当 a0 时，f(x)2x2，f(1)0，f(4) 6，不合题意综上可得，实数 a 的取值范围是 a12. 含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、 对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力【训练 4】 已知二次函数 f(x)ax2bx1(a0)，F(x)f x ，x0，f x ，x0.若 f(1)0，且对任意实数x 均有 f(x)0 成立(1)求 F(x)的表达式；(2)当 x2,2时，g(x)f(x)kx 是单调函数，求 k 的取值范围解(1)f(1)0， ab10，ba1，f(x)ax2(a1)x1.f(x)0恒成立，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载a0， a124a0，a0，a120.a1，从而 b2，f(x)x22x1，F(x)x22x1，x0，x22x1，x0.(2)g(x)x22x1kxx2(2k)x1. g(x)在2,2上是单调函数，k222，或k222，解得 k2，或 k6. 所以 k 的取值范围为 k2，或 k6. 规范解答 3如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值， 当函数解析式中含有参数时， 要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解【解决方案】对于二次函数 f(x)ax2bxc(a0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论【示例】 ?(本题满分 12 分)(2011 济南模拟 )已知 f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有最大值 5，求 a 的值及函数表达式f(x)求二次函数 f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、 中间、右侧讨论解答示范 f(x)4 xa224a，抛物线顶点坐标为a2，4a .(1 分) 当a21，即 a2 时，f(x)取最大值 4a2. 令4a25，得 a21，a 12(舍去)；(4 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载当 0a21，即 0a2 时，xa2时，f(x)取最大值为 4a. 令4a5，得 a54(0,2)；(7 分) 当a20，即 a0 时，f(x)在0,1内递减，x0 时，f(x)取最大值为 4aa2，令4aa25，得 a24a50，解得 a5 或 a1，其中 5(， 0(10 分) 综上所述， a54或 a5 时，f(x)在0,1内有最大值 5. f(x)4x25x10516或 f(x)4x220 x5.(12 分) 求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质 最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论【试一试】设函数 yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)尝试解答 函数 yx22x(x1)21，对称轴为直线 x1，而 x1 不一定在区间 2，a内，应进行讨论当2a1 时， 函数在 2， a上单调递减，则当 xa 时，ymina22a； 当 a1时，函数在 2,1上单调递减，在 1，a上单调递增，则当x1 时，ymin1. 综上， g(a)a22a，2a1，1，a1.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页