2022年二次函数知识点与题型总结 .pdf
二次函数知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用ba,表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ba时，ba,和ab,是两个不同点的坐标。知识点二、函数及其相关概念 1 、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点三、概念总结及基本性质1、二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（ abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。二次函数的定义域是全体实数2. 、二次函数2yaxbxc 的结构特征：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2abc， ， 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项3、二次函数的基本形式（平移规律：左加右减，上加下减）（1）2yax 的性质： a的绝对值越大，抛物线的开口越小。（2）2yaxc 的性质：上加下减。（3）2ya xh的性质：左加右减。（4）2ya xhk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值0a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值 c 0a向下0c，y轴0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值 c 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页4、二次函数2yaxbxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc 化为顶点式2()ya xhk ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与 x轴的交点10 x ，20 x ，（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点 . 5、二次函数2yaxbxc 的性质 1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x 的增大而减小； 当2bxa时，y随 x 的增大而增大； 当2bxa时，y有最小值244acba 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa时，y随 x的增大而增大；当2bxa时，y随 x的增大而减小；当2bxa时，y有最大值244acba6、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a ，b， c 为常数，0a） ；2. 顶点式：2()ya xhk （ a ，h，k为常数，0a） ；3. 两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 知识点四、二次函数、二次方程、二次不等式相同：(1) 表达它们的都是式子：函数式、方程式、不等式；(2) 它们都含有类似的代数式：cbxax2；(3) 它们的代数式都只含有一个未知数( 一元 ) ；(4) 它们的代数式中的未知数的最高次数都是二次。区别：(1) 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的概念范畴分别是函数、方程、不等式；(2) 二次函数中，代数式cbxax2等于因变量y；一元二次方程中，代数式cbxax2等于零；一元二次不等式中，代数式cbxax2大于或小于零；(3) 图像：二次函数的图像是一条曲线：抛物线；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页一元二次方程的解是点：二个点或一个点或无点；一元二次不等式的解集是线段或射线。联系：(1) 一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识。(2) 令二次函数ycbxax2的0y，则原式变为一元二次方程cbxax2=0 ，令一元二次不等式cbxax20 的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程cbxax2=0 。(3) 二次函数ycbxax2抛物线与x轴的两交点的横坐标1x、2x（1x2x） ，即为一元二次方程cbxax2=0 的两根。（抛物线与x轴有一个交点，即方程有二个相同的根；没有交点，即方程无解。）一元二次不等式cbxax20 解集是：x1x或x2x；对于cbxax20，解集是：1xx2x。 当240bac时，图象与x 轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa. 当0时，图象与x 轴只有一个交点； 当0时，图象与x 轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y8、两点间距离公式点 A坐标为（ x1，y1）点 B坐标为（ x2，y2） 。则 AB间的距离，即线段AB的长度为221221yyxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页A O x y B O x y C O x y D O x y 【题型总结】题型一：考查二次函数的定义、性质1、已知以x为自变量的二次函数2)2(22mmxmy的图像经过原点，则m的值是2、当m_时，函数()2221mmymm x-=+是关于x的二次函数 . 3、下列函数：23yx=；()21yxxx=-+；()224yxxx=+-；21yxx=+；()1yxx=-，其中是二次函数的是题型二：综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像3、 如图，如果函数bkxy的图像在第一、 二、 三象限内，那么函数12bxkxy的图像大致是 （） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 4、 在同一直角坐标系中，函数mmxy和222xmxy（m是常数，且0m） 的图象可能是 （）题型三：考察图像平移5、把抛物线2yx向左平移1 个单位，然后向上平移3 个单位 ，则平移后抛物线的解析式为（）A2(1)3yxB2(1)3yx C2(1)3yxD2(1)3yx6、抛物线221xy向左平移8 个单位，再向下平移9 个单位后，所得抛物线的表达式是（）A. y=12(x+8)2-9 B. y=12(x-8)2+9 C. y=12(x-8)2-9 D. y=12(x+8)2+9 题型四：由抛物线的位置确定系数的符号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页7、二次函数2yaxbxc的图像如图1，则点),(acbM在（）A第一象限 B第二象限 C 第三象限 D 第四象限8、已知二次函数2yaxbxc（a0）的图象如图2 所示，?则下列结论： a、b同号；当x=1 和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时，x的值只能取0. 其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (1) (2)题型五：考查用待定系数法求二次函数的解析式9、已知：关于x的一元二次方程32cbxax的一个根为2x，且二次函数2yaxbxc 的对称轴是直线2x，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2， -3) B.(2，1) C(2，3) D(3 ，2) 10、已知一条抛物线经过(0,3) ，(4,6) 两点，对称轴为35x，求这条抛物线的解析式。题型六：考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值11、 已知抛物线2yaxbxc（a0） 与x轴的两个交点的横坐标是1、 3， 与y轴交点的纵坐标是32。（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页【过手训练】1、当m_时，函数()2564mmymx-+=-+3x 是关于x的二次函数。2、抛物线2xy不具有的性质是（）A、开口向下B、对称轴是y轴C、与y轴不相交 D 、最高点是原点3、苹果熟了，从树上落下所经过的路程S与下落时间t 满足 S12gt2（g9.8 ） ，则 S与 t 的函数图像大致是（）A B C D 4、函数2axy与baxy的图象可能是（）A B C D 5、二次函数223xy，当021xx时，求1y与2y的大小关系 . s t O s t O s t O s t O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页6、函数23212xy的图象可由函数221xy的图象向平移 3 个单位，再向平移 2个单位得到 . 7、抛物线1662xxy与x轴交点的坐标为_8、二次函数122xxy的图象在x轴上截得的线段长为（）A、22 B、23 C、32 D、339、二次函数2224ymxxmm=+-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是10、已知二次函数2224mmxxy与反比例函数xmy42的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是 -2，则m= 11、二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示，对称轴是直线1x，则下列四个结论错误的是A0c B20ab C 240bac D0abc12、已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，有以下结论：0abc；1abc；0abc；420abc；1ca其中所有正确结论的序号是（）AB C D 13、二次函数)0(2acbxaxy的图象如图，下列判断错误的是（）A0a B 0bC0cD042acb14 、 二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）A0a B 0c Cacb420 Dcba0 （11 题）（12 题）（ 13 题）（ 14 题）15、已知二次函数772xkxy与x轴有交点，则k的取值范围是. 16、关于x的一元二次方程02nxx没有实数根，则抛物线nxxy2的顶点在第 _象限；17、抛物线222kxxy与x轴交点的个数为（）A、0 B、1 C、2 D、以上都不对1 1 1O x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页18、二次函数cbxaxy2对于x的任何值都恒为负值的条件是（）A、0,0aB、0,0aC、0,0aD、0, 0a19、12kxxy与kxxy2的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为（）A、0 B、 -1 C、2 D、4120、若一次函数(1)ymxm的图象过第一、三、四象限，则函数2ymxmx（）A有最大值4mB有最大值4mC有最小值4mD有最小值4m21、已知抛物线322xxy，若点P（2，5）与点 Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是22、 抛物线)0(2acbxaxy的对称轴是直线1x， 且经过点P（3， 0） ， 则cba的值为（）A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 23、二次函数cbxaxy2的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D在函数图象上，点DC,是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点DB,求（ 1）一次函数和二次函数的解析式；（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围 . 24、已知二次函数的图象经过点A（-3,0 ） ，B（0,3 ） ，C（2, 5） ，且另与x轴交于D点。（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P（ 2,3 ）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出PAD的面积；如果不在，试说明理由25、已知二次函数cbxxy2的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（ 1，0） ，与y轴的交点坐标为（0，3） 。（1）求此二次函数的解析式；O 3 1 x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围。26、已知二次函数cbxxy221的图象经过A（2， 0） 、B（0， 6）两点。（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BCBA,，求ABC的面积。27、已知二次函数12cbxxy的图象过点P(2 ，1) (1) 求证：42bc；(2) 若二次函数的图象与x轴交于点0,1xA、B(2x，0) ，ABP的面积是 3 4，求b的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页28、根据条件求二次函数的解析式（1）抛物线过（-1，-6 ） 、 （1，-2 ）和（ 2，3）三点；（2）抛物线的顶点坐标为（-1 ，-1 ） ，且与y轴交点的纵坐标为-3；（3）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3， 2） ；29、已知函数422mmxmy是关于x的二次函数，求：（1） 满足条件的m的值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x为何值时，y随x的增大而增大；（3）m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
